山东省青岛市莱西市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题（解析版）

这是一份山东省青岛市莱西市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了考试结束后，请将答题卡上交， “”是“函数， 某食品的保鲜时间y， 若，，，则以下不等式正确的是， 已知函数，若，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，请将答题卡上交.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，其中是实数集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由可得或，则，
又，故.
故选：B.
2. 命题“，使得”的否定形式是（ ）
A. ,使得
B. 使得,
C. ,使得
D. ,使得
【答案】D
【解析】根据全称命题与存在性命题互为否定关系，
原命题的否定形式是“,使得”.
故选：D
3. 若实数，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：D
4. 如图是下列四个函数中某一个的部分图象，则该函数为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】对于A，要使函数有意义，则，即，
所以或或或，
所以函数的定义域为，A不正确；
对于B，，而已知函数图象过原点，B不正确；
对于C，对于函数，则，当时，，
则函数在上单调递增，不符合题中图象，C不正确，
对于D，对于函数，定义域为，且，
，当时，，当时，，
当时，，所以函数在上单调递减，
在上单调递增，在上单调递减，符合图象，故D正确.
故选：D.
5. “”是“函数（且）在上单调递减”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若，则的图象为：
可知在上单调递增；
若，则的图象为：
可知在上单调递减；
综上所述：“”是“函数（且）在上单调递减”的充要条件.
故选：C．
6. 已知函数，若函数的图象关于点对称，则（ ）
A. -3B. -2C. D.
【答案】C
【解析】方法一：依题意将函数的图象向左移1个单位长度关于原点对称，
即是奇函数，
因奇函数的定义域关于原点对称，而时函数无意义，
故时也无意义，
即，解得
此时为奇函数，则
解得故.
故选：C．
方法二：依题意恒成立，代入得
化简得，,
整理得：，
即(*)，
依题意，此式在函数的定义域内恒成立，故须使，则得，
回代(*)可得，，即，故
故选：C.
7. 某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0的保鲜时间是192小时，在22的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是（ ）
A. 16小时B. 20小时C. 24小时D. 28小时
【答案】C
【解析】由已知得①，②，
将①代入②得，则．
当时，，
所以该食品在33℃的保鲜时间是24小时，
故选：C．
8. 若，，，则以下不等式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为，
令，定义域为，则，
当时，，当 时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又因为，所以，
又，所以，
所以，即.
故选：D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分.
9. 已知函数，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】由，得或，解得或，
故选：AC
10. 已知定义在上的函数满足，且，若，则（ ）
A.
B. 的图象关于直线对称
C. 是周期函数
D.
【答案】BCD
【解析】由，得，
则，即，因此是周期为4的周期函数，C正确；
令，得，则，因此，A错误；
由，得，则，
因此的图象关于直线对称，B正确；
由，得的图象关于直线对称，
因此直线及均为图象的对称轴，
从而，令，得，
即，则，
故
，D正确.
故答案为：BCD
11. 已知实数a，b，c满足，，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C.
D. 若，则的最小值为2
【答案】BC
【解析】对于A，等价于，当时，显然不成立，故A错误；
对于B，，，，故B正确；
对于C，，，，故C正确；
对于D，，，，所以，
所以，
所以当时，的最小值为2，此时，显然不满足，故D错误.
故选：BC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数（，且）恒过的定点是______．
【答案】
【解析】令，解得，此时，
所以函数（，且）恒过的定点是.
故答案为：.
13. 定义在上的两个函数和，已知，.若图象关于点对称，则______.
【答案】3
【解析】函数的定义域为，且图象关于点对称，
所以，所以，
又，当时，，所以.
故答案为：3.
14. 已知在区间上有最小值，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】由函数，可得，
当或时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减，
即为函数的极小值点；
要使得函数在区间上有最小值，
则满足，即，
因为，可得，即，解得，
所以，即实数的取值为.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数，.
（1）若在区间上最大值为2，求实数的值；
（2）当时，求不等式的解集.
解：（1）函数图象的对称轴为，
当，即时，，
解得，则；
当，即时，，
解得，矛盾，
所以.
（2）显然，而，
因此不等式为，
当，即时，不等式解集为；
当，即时，不等式解集为；
当，即时，不等式解集为，
所以当时，不等式解集为；当时，不等式解集为
当时，不等式解集为.
16. 已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围
解：（1），
当时，，即，
当时，，解得，即，
当时，，解得，此时无解，
综上：不等式的解集为；
（2）时上述不等式显然成立，
当时，上述不等式可化为，
令，当且仅当时等号成立，
所以，即实数的取值范围为．
17. 已知函数处取得极值，其中．
（1）求的值；
（2）当时，求的最大值和最小值．
解：（1）由求导得，
依题意可知，即，解得，
此时，，
由求得或，
当时，，函数递增，当时，函数递减，
故时，函数取得极大值，故.
（2）由（1）得，
令解得或，因，
故当时，函数递减，
当时，函数递增，
当 时， 取得极小值， 无极大值，
所以 ，
所以在区间上，的最大值为或，
而．
所以在区间上的最大值为4，最小值为．
18. 已知函数（且）．
（1）求的定义域；
（2）若当时，函数在有且只有一个零点，求实数b的范围；
（3）是否存在实数a,使得当定义域为时，值域为，若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．
解：（1）由，得或．
所以的定义域为．
（2）令，可知在上为增函数，
可得，且，可知的值域为，
因为，则在定义域内为减函数，
可得，
所以函数在上的值域为，
又因为函数在有且只有一个零点，
即在上有且只有一个解，
所以b的范围是．
（3）存在，理由如下：
假设存在这样的实数a，使得当的定义域为时，值域为，
由且，可得，且．
令，可知在上为增函数，
因为，则在定义域内为减函数，
所以在上为减函数，
可得，
可知在上有两个互异实根，可得，
即有两个大于1相异实数根．
则，
解得，
所以实数a的取值范围.
19. 已知函数，若过点可作曲线两条切线，求a的取值范围.
解：依题意，，
设过点直线与曲线相切时的切点为，
则斜率，
所以切线方程为：
又点在切线上，
所以 ，
即有，
由过点可作曲线两条切线，得方程有两个不相等的实数根，
令，则函数有2个零点，
求导得，
若， 由，得或，
由，得，
即函数在， 上单调递增，在 上单调递减，
所以当时，取得极大值，当时，取得极小值，
又，
当 时，恒成立 ，所以函数最多1个零点，不合题意；
若恒成立，函数在上单调递增，
因此函数最多1个零点，不合题意；
若，由，得或 ，
由， 得，
即函数在上单调递增，在 上单调递减，
则当时，取得极大值， 当时，取得极小值，
又， 显然当时，恒成立，
所以函数最多1个零点，不合题意；
若， 显然，
当时， ，
当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，取得最大值，
要函数有2个零点，必有，得 ，
当时，，
而函数在(0,1)上的值域为 ，
因此在上的值域为，
当时，令，求导得，
所以函数在上单调递减， 则，
，
而函数在上单调递减，值域为，
因此函数在上的值域为，
于是当时，函数有两个零点，
所以过点可作曲线两条切线时，
所以的取值范围是