山西省临汾市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（解析版）

这是一份山西省临汾市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容， 若，则， 已知，则， 已知随机变量 X 的分布列为等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第三册.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 现有6幅不同的风景画，2幅不同的人物画，3幅不同的水彩画，从这些画中选1幅布置房间，则不同的选法共有（ ）
A. 11种B. 18种C. 30种D. 36种
【答案】A
【解析】共有幅画，所以共有种不同的选法.
故选：A.
2. 现有10本散文集，5本诗歌，若从这15本课外读物中任取3本，则至少有1本是散文集的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】从这15本课外读物中任取3本，则至少有1本是散文集的对立事件是，
从这15本课外读物中任取3本，则3本都是诗歌，
所以所求概率为.
故选：A
3. 核糖核酸（RNA）是存在于生物细胞及部分病毒、类病毒中的携带遗传信息的物质.参与形成RNA的碱基有4种，分别用A，C，G，U表示.在一个RNA分子中，各种碱基能够以任意次序出现，假设某一RNA分子由20个碱基组成，则不同的RNA分子的种数为（ ）
A. 24B. 80C. D.
【答案】D
【解析】每个碱基有4种可能，根据分步乘法计数原理，可得不同的RNA 分子的种数为.
故选：D
4. 一个家庭有5个成员，其中有父、母亲以及3个孩子，现安排站一排照一张全家福，要求父、母亲相邻站队，则不同的站法种数为（ ）
A. 24B. 48C. 16D. 12
【答案】B
【解析】安排站一排照一张全家福，要求父、母亲相邻站队，
则不同的站法种数为.
故选：B.
5. 若，则（ ）
A. 121B. 122C. D.
【答案】D
【解析】令，得，
令，得，
两式相加得.
故选：D.
6. 在如图所示的电路中，5个盒子表示保险匣，盒子中所示数值表示通电时保险丝熔断的概率，则下列结论正确的是（ ）

A. A，B两个盒子并联后FG 段畅通的概率为
B. D，E两个盒子串联后GH 段畅通的概率为
C. C，D，E三个盒子混联后GK 段畅通的概率为
D. 当开关合上时，整个电路畅通的概率大于整个电路不通的概率
【答案】D
【解析】对于A，A，B两个盒子并联后FG 段畅通的概率为，A错误；
对于B，D，E两个盒子串联后GH段畅通的概率为，B错误；
对于C，由选项B知，GH 熔断的概率为，
因此C，D，E三个盒子混联后GK 段畅通的概率为，C错误；
对于D，由选项AC知，整个电路畅通的概率为不通的概率为，D正确.
故选：D
7. 中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设中国空间站要安排含甲、乙的六名航天员开展实验，其中天和核心舱安排三人，剩下的两个实验舱每个实验舱至少安排一人.若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案有（ ）
A. 16种B. 52种C. 88种D. 72种
【答案】C
【解析】按照甲、乙是否在天和核心舱划分情况：
①甲、乙有且只有一人在天和核心舱，需要在除甲、乙外的四人中选两人去天和核心舱，剩下的三人去剩下的两个实验舱，有种不同的安排方案；
②甲、乙都不在天和核心舱，从甲、乙外的四人中选三人去天和核心舱，再将甲、乙安排去剩下的两个实验舱，且一人去一个实验舱，
剩下一人可以去问天实验舱和梦天实验舱中的任何一个实验舱，有种不同的安排方案.
根据分类加法计数原理，共有种不同的安排方案.
故选：C.
8. 将10个诗歌朗诵比赛名额全部分给6个不同的班，每个班至少有1个名额，则不同的分配方案种数为（ ）
A. 56B. 126C. 210D. 462
【答案】B
【解析】将10个诗歌朗诵比赛名额全部分给6个不同的班，
每个班至少有1个名额的分法，
类比于用5个隔板插入10个小球中间的空隙中，将球分成6堆，
由于 10 个小球中间共有9个空隙，
因此共有 种不同的分法.
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，则（ ）
A. A与相互独立B. 与相互对立
C. D.
【答案】AC
【解析】对于A，由，得，即，A与相互独立，A正确；
对于B，由选项A知，，则，即与不互斥，不对立，B错误；
对于CD，，C正确，D错误.
故选：AC
10. 已知随机变量 X 的分布列为
且a，b，c成等差数列，下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 若，则D. 可能等于0.1
【答案】ABD
【解析】依题意，，解得，
对于A，，A正确；
对于B，，B正确；
对于C，，则，
解得或，C错误；
对于D，当时，，D正确.
故选：ABD
11. 单个水果的质量Y（单位:克）服从正态分布，且，规定单个水果的质量与15克的误差不超过2克即是优质品.现从这批水果中随机抽取n个，其中优质品的个数为 X，下列结论正确的是（ ）.
A. 若，则的最大值为3
B. 若，当取最大值时，
C. 当，n为偶数时，
D. 若 ，，则n的最小值为6
【答案】AC
【解析】由题意可知，优质品的质量位于13克至17克之间，即，可知.
对于 A，，
当且仅当时，取得最大值3，故A正确.
对于 B，，当取最大值时，，
即，解得，即或9，故B错误.
对于 C，，故C正确.
对于 D，，因为，所以，
所以，化简得，
令，
因为，所以单调递减，
又，，所以n的最小值为5，故D错误.
故选：AC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设，为两个随机事件，已知，，，则_______.
【答案】
【解析】由，
则有，所以.
故答案为：.
13. 已知展开式中所有奇数项的二项式系数和为64，现将展开式中的各项重新排列，则有理项互不相邻的概率为_______.
【答案】
【解析】依题意，，解得，因此二项式的展开式共8项，
展开式的通项为，
当时，是有理项，则展开式的有理项共 4项，
所以将展开式中的各项重新排列，其中有理项互不相邻的概率.
故答案为：
14. 如图，这是一面含A，B，C，D，E，F六块区域的墙，现有含甲的五种不同颜色的油漆，一位工人要对这面墙涂色，相邻的区域不同色，则共有____种不同的涂色方法；若区域D 不能涂甲油漆，则共有_______种不同的涂色方法.

【答案】1200；960
【解析】第一空：若C，E的涂色相同，则共有种方法；
若C，E的涂色不相同，则共有种方法.
故共有种不同的涂色方法.
第二空：因为区域D不能涂甲油漆，所以区域D 的涂色方法有4种.
若C，E的涂色相同，则共有种方法；
若C，E的涂色不相同，则共有种方法.
故共有种不同的涂色方法.
故答案为：1200，960.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15 （1）解方程:
（2）计算
（3）解不等式.
解：（1）因为 所以,
又因为，所以，解得.
（2）由
.
（3）因为所以
因为，所以，即 ，解得，
所以，又，所以或.
16. 某研究小组为更好地诊断某种疾病，调查了大量患者该种疾病各种医学指标，发现大部分患者有一项指标大幅高于正常水平，而这在未患病群体中并不常见.现随机抽取200人，得到了如下数据：20人患病，其中该项指标大幅高于正常水平的有15人；不患病人群中有70人该项指标大幅高于正常水平.
（1）用频率估计概率，已知某人指标大幅高于正常水平，求其患病的概率；
（2）依据小概率值的独立性检验，能否认为患病与指标大幅高于正常水平有关联?
附
解：（1）指标大幅高于正常水平的有85人，其中患者有15人，
所以某人指标大幅高于正常水平，其患病的概率.
（2）依题意，列联表如下：（单位:人）
零假设为：患病与指标大幅高于正常水平无关联.
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为患病与指标大幅高于正常水平有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005.
17. 全球新能源汽车产量呈上升趋势.以下为2018−2023年全球新能源汽车的销售量情况统计.
若与的相关关系拟用线性回归模型表示，回答如下问题：
（1）求变量与的样本相关系数（结果精确到0.01）；
（2）求关于的线性回归方程，并据此预测2024年全球新能源汽车的销售量.
附：线性回归方程，其中，，
样本相关系数.
参考数据：，，，.
解：（1）因为，
，
所以，
，
所以.
（2）由题意得，
所以
得关于的线性回归方程为
所以可以预测2024年全球新能源汽车的销售量为百万辆.
18. 某工厂生产一批机器零件，现随机抽取 100件对某一项性能指标进行检测，得到一组数据，如下表:
（1）求该项性能指标的样本平均数的值.若这批零件的该项指标 X 近似服从正态分布 ，其中近似为样本平均数的值，，试求的值.
（2）若此工厂有甲、乙两台机床加工这种机器零件，且甲机床的生产效率是乙机床的生产效率的2倍，甲机床生产的零件的次品率为0.02，乙机床生产的零件的次品率为0.03，现从这批零件中随机抽取一件.
①求这件零件是次品的概率；
②若检测出这件零件是次品，求这件零件是甲机床生产的概率；
③在①的条件下，若从这批机器零件中随机抽取300件，每次抽取的结果相互独立，记抽出的零件是次品，且该项性能指标恰好在内的零件个数为，求随机变量的数学期望（精确到整数）.
参考数据：若随机变量服从正态分布，则 ，，.
解：（1），
因为，所以，
则
；
（2）①设“抽取的零件为甲机床生产”记为事件，
“抽取的零件为乙机床生产”记为事件， “抽取的零件为次品”记为事件，
则，，，，
则；
②；
③由（1）及（2）①可知，这批零件是次品且性能指标在内的概率，
且随机变量，
所以，
所以随机变量Y的数学期望为1.
19. 2023年10月7日，杭州第19届亚运会女子排球中国队以3：0战胜日本队夺得冠军，这也是中国女排第9个亚运冠军，她们用汗水诠释了几代女排人不屈不挠、不断拼搏的女排精神，某校甲、乙、丙等7名女生深受女排精神鼓舞，组建了一支女子排球队，其中主攻手2人，副攻手2人，接应手1人，二传手1人，自由人1人．现从这7人中随机抽取3人参与传球训练
（1）求抽到甲参与传球训练的概率；
（2）记主攻手和自由人被抽到的总人数为，求的分布列及期望；
（3）若恰好抽到甲，乙，丙3人参与传球训练，先从甲开始，甲传给乙、丙的概率均为，当乙接到球时，乙传给甲、丙的概率分别为，当丙接到球时，丙传给甲、乙的概率分别为，假设球一直没有掉地上，求经过n次传球后甲接到球的概率．
解：（1）设“抽到甲参与传球训练”记为事件，则.
（2）由题意知的可能取值为0，1，2，3，
，
，
所以的分布列为：
即.
（3）解法一：设经过n次传球后，排球被甲、乙、丙接到的概率分别为，，，
易得：，，
当时，，，，
则，
由，得，，
代入，得，
则，即，
所以是首项为，公比为的等比数列，
，
则时：，，，
由累加法得：
，可得，
又令时，，满足，
所以.
解法二：经过次传球后，排球被甲接到球的概率为．
则，即
而，
所以是首项为，公比为的等比数列，
则，则.x
0
1
2
P
a
b
c
0.25
α
0.05
0.01
0.005
x
3.841
6.635
7.879
该种疾病
该项指标
合计
大幅高于正常水平
不大幅高于正常水平
某人患病
某人未患病
合计
年份
2018
2019
2020
2021
2022
2023
年份编号
1
2
3
4
5
6
销售量/百万辆
2.02
2.21
3.13
6.70
10.80
14.14
性能指标
66
77
80
88
96
产品件数
10
20
48
19
3
0
1
2
3