江苏省盐城市五校联盟2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题 含解析

这是一份江苏省盐城市五校联盟2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题 含解析，共17页。
注意事项：
1．本试卷中所有试题必须作答在答题纸上规定的位置，否则不给分.
2．答题前，务必将自己姓名，准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题纸上.
3．作答非选择题时必须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答题纸的指定位置上，作答选择题必须用2B铅笔在答题纸上将对应题目的选项涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持答题纸清洁，不折叠、不破损.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由平面向量的坐标表示即可得出答案．
【详解】由，，
则．
故选：A．
2. 在中，D是AB边上的中点，则=（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量的加减法运算法则算出即可.
【详解】
故选：C
【点睛】本题考查的是向量的加减法，较简单.
3. 设函数的零点为，则所在的区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用零点存在定理可求得所在的区间.
【详解】由题意可知，函数在上为增函数，
，，，因此，.
故选：C.
4. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（ ）
A. 向左平行移动个单位长度B. 向右平行移动个单位长度
C. 向左平行移动个单位长度D. 向右平行移动个单位长度
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用函数的图象的平移变换求出结果.
【详解】因为，
所以为了得到函数的图象，
只需把函数的图象上所有的点右平行移动个单位长度，故D正确；
经检验，其他选项都不正确.
故选：D.
5. 已知非零向量，满足，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知条件求出，再利用向量的夹角公式求出与的夹角.
【详解】已知，则
因为，所以，，，则可得：
，
又因为，所以，即.
，将代入上式可得：

设与的夹角为，，根据向量的夹角公式.
因为，，所以.
因为，且，所以.
与的夹角为.
故选：D.
6. 已知向量，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据两向量平行的坐标关系求出的值，再将所求式子转化为关于的表达式，最后代入的值进行计算.
【详解】已知，，且.
可得：，即..
，将其变形为.
分子分母同时除以（因为，若，则，此时，，两向量不平行），
得到.
将代入可得：
，则.
故选：D.
7. 已知函数其中．若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】作出函数的图象，依题意，可得，解之即可.
【详解】当时，的图象如图所示，
因为时，，
所以要使得关于的方程有三个不同的根，
必须,
即，
所以的取值范围是.
故选：C.
8. 已知点为的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据判断出，，三点共线，再结合外心的性质得到的形状，最后根据投影向量的定义求出的值.
【详解】已知，将其变形可得，即.
根据向量共线定理，可知与共线，所以，，三点共线.
因为点为的外心，外心是三角形三边垂直平分线的交点，且，，三点共线，
所以为外接圆的直径，那么，即是直角三角形.

根据投影向量的定义求的值，，
可得，即，
又因为，所以，因为，所以.
的值为.
故选：D.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 向量与的夹角为D. 若在上的投影向量为
【答案】AD
【解析】
【分析】先利用向量减法运算的坐标运算可判断A；求得向量的模判断B；利用向量夹角坐标表示求得向量的夹角判断C；利用投影向量的运算公式求解可判断D.
【详解】因为，所以，故A正确；
由已知可得，，故B错误；
因为，又，所以，故C错误；
在上的投影向量为，故D正确.
故选：AD.
10. 已知M为的重心（三角形三条中线的交点），D为BC的中点，则下列等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】利用三角形重心定理，结合向量线性运算，逐项分析判断作答.
【详解】如图，为的重心，D为BC的中点，
因三角形重心到三顶点的距离不一定相等，A不正确；
，则，B正确；
，C正确.
，D不正确；
故选：BC
11. 已知函数，若存在实数使得方程有四个互不相等的实根，，，，且，则下列叙述中正确的有（ ）
A. B.
C. D. 有最小值
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据题意画出图象，利用数形结合可判断A选项；由韦达定理可得，可判断B选项；结合且，利用基本不等式可判断C选项；由，得，进而利用二次函数的最小值可判断D选项.
【详解】根据题意画出图象，如图所示：
对于A：由图象可得，故A正确；
对于B：因为是的两个实数根，
所以，即，故B错误；
对于C：因为且，即，
所以，即，，故C正确；
对于D：因为，
所以，又，
因此时取得最小值，故D正确.
故选：ACD.
三、本题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
12 已知向量，，若，则______．
【答案】1
【解析】
【分析】根据向量坐标运算求出与的坐标，再根据向量垂直的性质列出方程，最后求解方程得到的值.
【详解】已知，.
则；
.
因为，可得.
所以. 解得.
故答案为：.
13. 已知函数在区间上恰有一个零点，则的取值范围______．
【答案】．
【解析】
【分析】先求出的取值范围，再结合正弦函数的性质，根据函数在给定区间上恰有一个零点来确定的取值范围.
【详解】已知，，则，所以.
因为函数（）在区间上恰有一个零点.
正弦函数的零点为，.
当时，；
当时，.
要使函数在上恰有一个零点，则.
解不等式可得：.
的取值范围是.
故答案为：.
14. 北京冬奥会开幕式上的“雪花”元素惊艳了全世界（图①），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（图②）．已知这个正六边形的边长为1，且是其内部一点（包含边界），则的最大值是______．

【答案】3
【解析】
【分析】根据正六边形的性质建立合适的平面直角坐标系，将向量用坐标表示出来，再通过向量数量积的坐标运算公式进行计算，最后根据点的位置确定数量积的最大值.
【详解】因为正六边形的边长为，以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系.

根据正六边形的性质可知：，，.
根据向量坐标运算，可得.
因为是正六边形内部一点（包含边界），设，那么.
所以.
由正六边形的性质可知，点在正六边形内部（包含边界），的最大值在点处取得，此时.代入，可得的最大值为.
故答案为：3.
四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知向量，，．
（1）求满足的实数，；
（2）若，求实数．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用平面向量坐标运算和向量相等列出方程组即可求解；
（2）由平面向量坐标运算法则得的坐标，再由垂直能求得实数.
【小问1详解】
因为，所以
所以，解得
【小问2详解】
，，
因为，所以，解得.
16. 若函数的图象经过点，且相邻的两条对称轴之间的距离为.
（1）求函数的解析式；
（2）若将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，当时，的值域．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据函数图象两条相邻对称轴之间的距离可求出周期，并利用周期公式可求出的值，再将点代入函数的解析式，结合的范围，可求出的值，由此可得出函数的解析式；
（2）根据图象的平移规律得出，由，计算出的取值范围，结合正弦函数的性质可求出函数的值域.
【详解】（1）函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为，
记的周期为，则，
又，，.
函数的图象经过点，，
则，.
函数的解析式为；
（2）将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，
由（1）得，，
函数的解析式为.
当时，，则.
综上，当时，函数的值域为.
【点睛】本题考查三角函数解析式求解，同时也考查了利用三角函数图象变换，以及三角函数在定区间上的值域，考查计算能力，属于中等题.
17. 为了节能减排，某企业决定安装一个可使用年的太阳能供电设备，并接入本企业的电网.安装这种供电设备的费用（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：平方米）成正比，比例系数为.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式.设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积（单位：平方米）之间的函数关系是（为常数）.已知太阳能电池板面积为平方米时，每年消耗的电费为万元，记（单位：万元）为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业年所消耗的电费之和.
（1）求常数的值；
（2）写出的解析式；
（3）当为多少平方米时，取得最小值?最小值是多少万元?
【答案】（1）
（2）
（3）当为平方米时，取得最小值，最小值是万元
【解析】
【分析】（1）由可得出关于的等式，即可解得的值；
（2）分、两种情况讨论，根据可得出函数的解析式；
（3）求出函数在、时的最小值，比较大小后可得出结论.
【小问1详解】
依题意得，，所以，解得，故的值为.
【小问2详解】
依题意可知，又由（1）得，，
当时，
，
当时，，
所以.
【小问3详解】
当时，，
因为在上单调递增，在上单调递减，
所以；
当时，
，
当且仅当，即时等号成立，
所以；
又，故.
答：当为平方米时，取得最小值，最小值是万元.
18. 如图，在等边中，，点O在边BC上，且.过点O的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N.
（1）设，，试用，表示；
（2）求；
（3）设，，求的最小值.
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）利用给定的基底表示向量.
（2）利用向量的数量积定义、运算律及夹角公式求解.
（3）利用共线向量的推论及基本不等式求出最小值.
【小问1详解】
由，得，所以.
【小问2详解】
在等边中，，
由（1）得，
，，，
，
所以.
【小问3详解】
由（1）知，，而，，
因此，而共线，则，
又，于是，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是.
19. 已知函数对一切实数，，都有成立，且，.
（1）求的值；
（2）求解析式；
（3）若关于方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用赋值法进行求解即可；
（2）利用赋值法进行求解即可；
（3）根据指数函数的性质、绝对值的性质，结合换元法、一元二次方程根的分布性质进行求解即可.
小问1详解】
在中，
令，得，
因解得；
【小问2详解】
在中，
令，得即，
所以，；
【小问3详解】
由（2）可知：，
由，可得，
即得：，其中，即，
令，函数图象如下图所示：
则有，
因为关于x的方程有三个不同的实数解，
所以方程有两个不相等的实根，不妨设为，
由函数的图象可知：，或，
设，由二次函数的图象可得：
，或，
解得或，所以，
故实数k 的取值范围为.