江苏省盐城市五校2024-2025学年高一下学期5月期中联考 数学试题（含解析）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量的加减法，可得答案.
【详解】.
故选：A.
2. 若复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数代数形式的乘法、除法运算化简，即可判断.
【详解】因为，
所以，所以的虚部为.
故选：D
3. 在中，角的对边分别是，若，则（ ）
A 2B. 3C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，由正弦定理化简得到，进而得到，再由正弦定理，得到，即可求得的值.
【详解】因为，
由正弦定理，可得，所以，
又因为，所以，所以，
又由正弦定理，可得，即
因为，所以.
故选：A.
4. 下列说法正确的是（ ）
A. 三点确定一个平面
B. 和两条异面直线都相交的两条直线必定是异面直线
C. 水平放置的矩形的直观图是平行四边形
D. 以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥
【答案】C
【解析】
【分析】根据公理判定A；根据异面直线的定义判断B；根据斜二测画法的规则判断C；根据圆锥的概念判断D.
【详解】对于A：共线的三点不能确定一个平面，故A错误；
对于B：和两条异面直线都相交的两直线是异面直线或相交直线，故B错误；
对于C：由斜二测画法规则知，水平放置的矩形的直观图是平行四边形，故C正确；
对于D：以直角三角形的斜边为轴旋转一周所得的旋转体是两个圆锥的组合体，故D错误．
故选：C
5. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】运用两角和与差的正弦公式，结合已知条件即可求解.
【详解】

，即
故选：D.
6. 在中，角A、B、C所对边分别为a、b、c.若，则该三角形一定是（ ）
A. 正三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形
【答案】B
【解析】
【分析】应用二倍角余弦公式及余弦边角关系得到，即可得.
【详解】由，则，
所以，可得，不能确定是否成立，
所以一定是直角三角形.
故选：B
7. 设，，，则有（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用两角和的余弦公式及诱导公式化简，将切化弦，再由二倍角公式化简，利用二倍角公式化简，结合正弦函数的性质判断即可.
【详解】因为，
，
，
因为在上单调递增，所以，所以.
故选：D
8. 如图，“六芒星”是由两个边长为正三角形组成，中心重合于点且三组对边分别平行，点，是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点在“六芒星”上（内部以及边界），则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】如图，以为原点，分别为轴建立平面直角坐标系，则由题意求出点的坐标，设，然后表示出，再根据的取值范围可求得结果.
【详解】如图，以为原点，分别为轴建立平面直角坐标系，
因为“六芒星”是由两个边长为正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，
所以六边形为边长为的正六边形，，
所以，
所以，
设，则，
所以，
因为动点P在“六芒星”上（内部以及边界），
所以，所以，
所以，即的取值范围是.
故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分.
9. 已知非零复数，，其共轭复数分别为，，则下列选项正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用共轭复数定义及其运算，模长的求法依次判断各项的正误.
【详解】A：若，，则，故，对；
B：若，则，故，错；
C：若，，，则，，
所以，，
所以，对；
D：同C分析，，
，
所以，对.
故选：ACD
10. 已知，与夹角为，若且，则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，在上的投影向量为B. 当时，
C. 当时，D. 的最大值为0
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据已知得是边长为2的等边三角形，且，由投影向量的定义及向量的线性关系判断A；由题设在中边的中线上，进而有判断B；应用向量数量积的运算律及模长列方程求参数值判断C；化，进而得到，结合有，即可得判断D.
【详解】由题设，是边长为2的等边三角形，且，
A：当时，，又，即，故在上的投影向量为，错；
B：当时，，即在中边的中线上，
又为等边三角形，故，即，对；
C：当时，，则，
所以，
所以，即，又，故（负值舍），对；
D：,
由，即①，
所以，要使该值最大，只需最小，
由①得，则，所以，对.
故选：BCD
11. 在锐角中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且.则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 角B的范围是
C. 若的平分线交BC于D，，，则
D. 的取值范围是
【答案】ACD
【解析】
【分析】应用正弦边角关系及和差角正弦公式化简得，结合三角形内角的性质判断A；由A结论及三角形内角和列不等式判断B；设，则，，进而得到，应用三角恒等变换化简求值判断C；由，结合B分析即可得范围判断D.
【详解】由正弦边角关系有，
所以，又且，
所以，A对；
由上，可得，B错；
对于C，如下图示，设，则，，
由，则，且，则，
所以，
而，且，则，所以，C对；
由，
而，且在上单调递增，则值域为，D对.
故选：ACD
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，满分15分.
12. 已知向量，，，若，，三点共线，则_______.
【答案】
【解析】
【分析】首先表示出，依题意，根据向量共线的坐标表示计算可得.
【详解】因为，，，
所以，
又，，三点共线，即，
所以，解得.
故答案为：
13. 已知，，且，，
（1）_______；（2）_______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
分析】根据条件可得、，利用差角正切公式求得，即有，再应用和角正切公式求得，结合求角.
【详解】因为，，所以，故，
所以，
所以，解得，
所以，故，
因为，所以，故，
因为，
所以.
故答案为：，.
14. 如图，在四边形ABCD中，，，，，，的面积分别为，，则_______.
【答案】
【解析】
【分析】设，，根据已知构建合适的直角坐标系，得，若轴，，得，应用差角正切公式列方程求得，再应用余弦定理、三角形面积公式得，即可得.
【详解】设，，构建如下图示直角坐标系，其中为原点，
且，若轴，，如上图示，
易知，则，
由，
所以，整理得，解得，
所以，，
由，即，
，，
所以.
故答案为：
四、解答题：共5个小题，满分77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）已知，若为纯虚数，求的值.
（2）设复数，.若实数，求；
（3）已知复数满足，求.
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）利用乘法运算并结合纯虚数定义得到方程，即可求出参数的值；
（2）由已知求得a，再由复数代数形式的乘除运算化简求得；
（3）依题意可设，由复数相等解方程可得结果.
【详解】（1）因为为纯虚数，
所以且，解得；
（2）因为，，
所以，又是实数，
，即，则，
所以；
（3）因为，且，因此可设，
则，
由题意可得，所以，
解得，即.
16. 已知三棱锥满足，.
（1）证明：直线与直线是异面直线；
（2）若为的中点，为的中点，求异面直线与所成角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据异面直线的定义，结合点平面，点平面，即可判断；
（2）取的中点，连接，，根据平行关系可证明异面直线与所成角为（或其补角），结合余弦定理可得解.
【小问1详解】
因为直线平面，点平面，
点，点平面，所以直线与直线是异面直线．
【小问2详解】
如图：取的中点，连接，，
因为为的中点，为的中点，
所以，，
所以异面直线与所成角（或其补角），
因为，所以，，
在中，，则，
所以，即，
在中由余弦定理得，
因为异面直线所成角范围为，所以异面直线与所成角的余弦值为.
17. 在直角梯形ABCD中，，，，点F是BC边上的中点.
（1）若点E满足，且，求的值；
（2）若点P是线段AF上的动点（含端点），求的取值范围.
【答案】（1）2； （2）.
【解析】
【分析】（1）根据图形用表示出，即可得参数值；
（2）令且，进而得，，再应用向量数量级的运算律求得，即可得范围.
【小问1详解】
由，
又，即，故；
【小问2详解】
如下图，令且，
，
，
所以，
所以.
18. 在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
（1）求角的大小；
（2）若，求的取值范围；
（3）若点为所在平面内一点，且满足.求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用两角和的正切公式及诱导公式求出，即可得解；
（2）利用正弦定理转化为的三角形函数，结合三角形为锐角三角形求出的范围，最后由正切函数的性质计算可得；
（3）根据数量积的运算律推导出为的外心，则，，再转化为关于的三角函数，即可得解.
【小问1详解】
因，即，
整理可得，即，
在中，，故，
又为锐角三角形，故.
【小问2详解】
因为，可得，
由正弦定理，，即，
则，
又，故，则；
由为锐角三角形可得：，可得，
所以，则，则.
【小问3详解】
因为，
所以，
所以，，即，
所以为的外心，
所以，，
所以
,
由（2）同理可得，则，
所以，
所以.
19. 射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，为透视中心，平面内四个点经过中心投影之后的投影点分别为.对于四个有序点，定义比值叫做这四个有序点的交比，记作.

（1）若点分别是线段的中点，求；
（2）证明：；
（3）已知，点为线段的中点，，，求.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据条件，可求得，，即可求出结果；
（2）根据条件，将边长之比转化成面积之比，再结合题设定义，即可证明结果；
（3）方法一：根据条件得到，再利用几何关系得到，设，，利用有，再利用余弦定理和正弦定理，建立方程，即可求解；方法二：设，根据条件，得到，再利用及余弦定理，建立方程，即可求解.
【小问1详解】
由已知，，所以.
【小问2详解】
在，，，中，
，同理，
所以，
又在，，，中，
，同理，
所以，
又，，，，
所以，所以.
【小问3详解】
方法一：
由，可得，即，所以，
又点B为线段AD的中点，即，所以，
又，所以，，，
又已知，所以.
设，，由，得，
即，解得，…①
在中，由正弦定理可得，得，…②
在中，由正弦定理可得，得，…③
又，
得，即，…④
由①④解得，（负值舍去），即，，
所以.
方法二：
因为，所以，设，则，
又B为线段AD的中点，所以，
又已知，，所以，
所以，得，
所以，，
由，得，
所以，设，则，
由，互补得
，即，
解得，所以，，
所以.
【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的．遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．