江苏省盐城市五校联盟2024-2025学年高一下学期3月月考数学试卷（Word版附解析）

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（试卷满分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1．本试卷中所有试题必须作答在答题纸上规定的位置，否则不给分.
2．答题前，务必将自己姓名，准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题纸上.
3．作答非选择题时必须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答题纸的指定位置上，作答选择题必须用2B铅笔在答题纸上将对应题目的选项涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持答题纸清洁，不折叠、不破损.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若，，则等于（ ）
A. B. C. D.
2. 在中，D是AB边上的中点，则=（ ）
A. B. C. D.
3. 设函数的零点为，则所在的区间为（ ）
A. B. C. D.
4. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（ ）
A. 向左平行移动个单位长度B. 向右平行移动个单位长度
C. 向左平行移动个单位长度D. 向右平行移动个单位长度
5. 已知非零向量，满足，则与夹角为（ ）
A B. C. D.
6. 已知向量，，若，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数其中．若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知点为的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 向量与的夹角为D. 若在上的投影向量为
10. 已知M为的重心（三角形三条中线的交点），D为BC的中点，则下列等式成立的是（ ）
A B.
C. D.
11. 已知函数，若存在实数使得方程有四个互不相等的实根，，，，且，则下列叙述中正确的有（ ）
A. B.
C. D. 有最小值
三、本题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
12. 已知向量，，若，则______．
13. 已知函数在区间上恰有一个零点，则的取值范围______．
14. 北京冬奥会开幕式上的“雪花”元素惊艳了全世界（图①），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（图②）．已知这个正六边形的边长为1，且是其内部一点（包含边界），则的最大值是______．

四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知向量，，．
（1）求满足的实数，；
（2）若，求实数．
16. 若函数的图象经过点，且相邻的两条对称轴之间的距离为.
（1）求函数解析式；
（2）若将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，当时，的值域．
17. 为了节能减排，某企业决定安装一个可使用年的太阳能供电设备，并接入本企业的电网.安装这种供电设备的费用（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：平方米）成正比，比例系数为.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式.设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积（单位：平方米）之间的函数关系是（为常数）.已知太阳能电池板面积为平方米时，每年消耗的电费为万元，记（单位：万元）为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业年所消耗的电费之和.
（1）求常数的值；
（2）写出的解析式；
（3）当为多少平方米时，取得最小值?最小值是多少万元?
18. 如图，在等边中，，点O在边BC上，且.过点O的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N.
（1）设，，试用，表示；
（2）求；
（3）设，，求最小值.
19. 已知函数对一切实数，，都有成立，且，.
（1）求的值；
（2）求的解析式；
（3）若关于的方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围.