2024-2025学年江苏省南通市海安市十三校联考八年级（下）期中数学试卷（解析版+原卷版）

这是一份2024-2025学年江苏省南通市海安市十三校联考八年级（下）期中数学试卷（解析版+原卷版），文件包含2024-2025学年江苏省南通市海安市十三校联考八年级下期中数学试卷原卷版docx、2024-2025学年江苏省南通市海安市十三校联考八年级下期中数学试卷docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共26页， 欢迎下载使用。
1．要使式子3−a在实数范围内有意义，字母a的取值必须满足（ ）
A．a≥3B．a≤3C．a≠3D．a≠0
【分析】根据二次根式有意义：被开方数为非负数，可得出关于a的不等式，解出即可得出答案．
【详解】解：∵3−a有意义，
∴3﹣a≥0，
解得：a≤3．
故选：B．
【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，属于基础题，解答本题的关键是掌握二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，难度一般．
2．下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（ ）
A．3，4，5B．6，8，10C．1，3，7D．5，12，13
【分析】根据勾股定理的逆定理，即可求得．
【详解】解：A、32+42＝52，故是直角三角形，故A选项不符合题意；
B、62+82＝102，故是直角三角形，故B选项不符合题意；
C、12+32=(10)2≠(7)2，故不是直角三角形，故C选项符合题意；
D、52+122＝132，故是直角三角形，故D选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断，掌握勾股定理的逆定理是解决本题的关键．
3．将直线y＝2x向下平移3个单位长度后，得到的直线是（ ）
A．y＝2x+3B．y＝2x﹣3C．y＝2（x+3）D．y＝2（x﹣3）
【分析】根据解析式“上加下减”的平移规律解答即可．
【详解】解：把直线y＝2x向下平移3个单位长度得到直线为y＝2x﹣3．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象与几何变换，求直线平移后的解析式时要注意平移时k的值不变，只有b发生变化．解析式变化的规律是：左加右减，上加下减．
4．下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．∠A＝∠C，AB∥CDB．AB∥CD，AB＝CD
C．AB＝CD，AD∥BCD．AB∥CD，AD∥BC
【分析】根据平行四边形的判定方法，逐一进行判断即可．
【详解】解：如图：
A、∵AB∥CD，
∴∠A+∠D＝180°，
∴∠C+∠D＝180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；故A选项不符合题意；
B、∵AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；故B选项不符合题意；
C、在等腰梯形ABCD中，满足AB＝CD，AD∥BC，但无法判断四边形ABCD是平行四边形；故C选项符合题意；
D、∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；故D选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法，是解题的关键．
5．下列计算正确的有（ ）
A．2+3=5B．23−3=2C．12=22D．2×6=23
【分析】根据二次根式的加法，减法，乘法，除法法则进行计算，逐一判断即可解答．
【详解】解：A、2与3不能合并，故A不符合题意；
B、23−3=3，故B不符合题意；
C、12=22，故C不符合题意；
D、2×6=23，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
6．在直角坐标平面内，一次函数y＝ax+b的图象如图所示，那么下列说法正确的是（ ）
A．当y＞1时，x＞0
B．方程ax+b＝0的解是x＝2
C．当x＜0时，1＜y＜2
D．不等式ax+b＜0的解集是x＜2
【分析】根据函数的图象直接进行解答即可．
【详解】解：一次函数y＝ax+b的图象与x轴，y轴的交点为（2，0），（0，1），
当y＞1时，x＜0，故A错误，不符合题意；
方程ax+b＝0的解是x＝2，B选项正确，符合题意；
当x＜0时，y＞1，C选项错误，不符合题意；
不等式ax+b＜0的解集是x＞2，故D错误，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查的是一次函数的图象，利用数形结合求解是解答此题的关键．
7．如图，在菱形ABCD中，若AB＝5，AC＝8，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．24B．20C．16D．12
【分析】先求出对角BD长，根据菱形的面积公式等于对角线乘积的一半或底乘以高．
【详解】解：设AC与BD交于点O，作出BC边的高h，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO⊥BO，且AC＝2AO，BD＝2BO．
在Rt△AOB中利用勾股定理可得BO=52−42=3．
∴BD＝2BO＝8．
∴菱形的面积为12BD×AC=12×6×8＝24．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，解题的技巧是利用面积法求高．
8．甲、乙两名同学骑自行车从A地出发沿同一条路前往B地，他们离A地的距离s（km）与甲离开A地的时间t（h）之间的函数关系的图象如图所示，根据图象提供的信息，有下列说法：
①甲、乙同学都骑行了18km
②甲、乙同学同时到达B地
③甲停留前、后的骑行速度相同
④乙的骑行速度是12km/h
其中正确的说法是（ ）
A．①③B．①④C．②④D．②③
【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：由图象可得，
甲、乙同学都骑行了18km，故①正确，
甲比乙先到达B地，故②错误，
甲停留前的速度为：10÷0.5＝20km/h，甲停留后的速度为：（18﹣10）÷（1.5﹣1）＝16km/h，故③错误，
乙的骑行速度为：18÷（2﹣0.5）＝12km/h，故④正确，
故选：B．
【点睛】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
9．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD＝4，CE＝2，连接DE，若M、N分别为线段DE、BC的中点，则线段MN的长为（ ）
A．3B．5C．23D．25
【分析】作CH∥AB，连接DN，延长DN交CH于H，连接EH，首先证明CH＝BD，∠ECH＝90°，解直角三角形求出EH，利用三角形中位线定理即可．
【详解】解：作CH∥AB，连接DN并延长交CH于H，连接EH，
∵BD∥CH，
∴∠B＝∠NCH，∠ECH+∠A＝180°，
∵∠A＝90°，
∴∠ECH＝∠A＝90°，
在△DNB和△HNC中，
∠B=∠NCHBN=CN∠DNB=∠HNC，
∴△DNB≌△HNC（ASA），
∴CH＝BD＝4，DN＝NH，
在Rt△CEH中，CH＝4，CE＝2，
∴EH=CH2+CE2=42+22=25，
∵DM＝ME，DN＝NH，
∴MN=12EH=5，
故选：B．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
10．如图，矩形纸片ABCD的边AB长为4，将这张纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，已知折痕EF长为25，则BC长为（ ）
A．4.8B．6.4C．8D．10
【分析】利用翻折变换的知识，可得到AE＝AF，过点F作FG⊥BC于G，得矩形AFGB，用勾股定理可求出EG，由翻折变换设AE＝AF＝BG＝x，利用勾股定理可求出x的值，进而可以解决问题．
【详解】解：由折叠可知：∠AEF＝∠CEF，
∵AD∥BC，
∴∠AFE＝∠FEC，
∴∠AFE＝∠AEF，
∴AE＝AF，
过点F作FG⊥BC于G，得矩形AFGB，
∴FG＝AB＝4，AF＝BG，
在Rt△FEG中，EF＝25，
∴EG=EF2−FG2=20−16=2，
由折叠可知：AE＝CE，
∴AE＝AF＝CE，
在Rt△ABE中，设AE＝AF＝BG＝x，AB＝4，
∴BE＝BG﹣EG＝x﹣2，
∴x2﹣42＝（x﹣2）2，
∴x＝5，
∴AE＝AF＝CE＝5，BE＝x﹣2＝3，
∴BC＝CE+BE＝5+3＝8．
故选：C．
【点睛】本题考查了折叠的知识，矩形的性质，勾股定理等知识点的理解和运用，关键是根据题意得出方程．
二．填空题（共8小题，11，12每题3分，13～18每题4分，共30分）
11．已知正比例函数y＝4x，当x＝3时，函数值y＝ 12 ．
【分析】将x＝3代入函数表达式即可求解．
【详解】解：当x＝3时，
y＝4x＝4×3＝12，
故答案为：12．
【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，正比例函数的性质，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键．
12．在平行四边形ABCD中，若∠B+∠D＝160°，∠C＝ 100° ．
【分析】根据平行四边形的对角相等求得∠D＝∠B＝80°；然后由平行四边形的对边平行和平行线的性质解答．
【详解】解：在▱ABCD中，∠B+∠D＝160°，∠D＝∠B，则∠D＝∠B＝80°．
在▱ABCD中，AB∥CD，则∠B+∠C＝180°，
所以∠C＝180°﹣80°＝100°．
故答案为：100°．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，平行四边形的对角相等，平行四边形的对边平行．
13．用一个x的值说明“x2=x”是错误的，则x的值可以是 ﹣2（答案不唯一） ．
【分析】直接利用二次根式的性质，进而得出符合题意的答案．
【详解】解：∵“x2=x”是错误的，
∴x的值可以是﹣2（答案不唯一）．
故答案为：﹣2（答案不唯一）．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
14．如图，在平行四边形ABCD中，BC＝10，DE＝4，∠ABC的平分线BE交AD于点E，则AB的长为 6 ．
【分析】由平行四边形的性质可得AD∥BC，AD＝BC＝10，由平行线的性质和角平分线的性质可求AB＝AE，即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝10．
∴∠AEB＝∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE＝BC﹣DE＝10﹣4＝6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，求出AB＝AE的长是本题的关键．
15．“尺”“寸”“丈”都是我国传统的长度单位，其中1丈＝10尺，1尺＝10寸．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何．”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？设门高x尺，根据题意，可列方程为 x2+（x﹣6.8）2＝102 ．
【分析】设长方形门高x尺，则宽是（x﹣6.8）尺，根据勾股定理即可列方程求解．
【详解】解：设长方形门高x尺，则宽是（x﹣6.8）尺，
根据题意得x2+（x﹣6.8）2＝102，
故答案为：x2+（x﹣6.8）2＝102．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列方程是关键．
16．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，点M为AB的中点，连接OM，若AC＝6，BD＝8，则OM的长为 52 ．
【分析】由菱形的性质得AC⊥BD，OA＝OC=12AC＝3，OB＝OD=12BD＝4，则∠AOB＝90°，所以AB=OA2+OB2=5，由点M为AB的中点，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得OM=12AB=52，于是得到问题的答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，
∴AC⊥BD，OA＝OC=12AC=12×6＝3，OB＝OD=12BD=12×8＝4，
∴∠AOB＝90°，
∴AB=OA2+OB2=32+42=5，
∵点M为AB的中点，
∴OM=12AB=52，
故答案为：52．
【点睛】此题重点考查菱形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，根据勾股定理求出AB的长是解题的关键．
17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，E是AB上的动点，过点E分别作AC，BC的垂线段，垂足分别为F，G，连接FG，则FG的最小值为 3 ．
【分析】连接CE．利用矩形的性质证明FG＝CE，根据垂线段最短可知，当CE⊥AB时，CE的值最小，根据三角形面积公式求出CE的最小值即可解决问题．
【详解】解：如图，连接CE．
∵EF⊥AC，EG⊥BC，
∴∠EFC＝∠EGC＝∠FCB＝90°，
∴四边形FEGC是矩形，
∴FG＝CE，
∴当CE最小时，FG的值最小，
根据垂线段最短可知，当CE⊥AB时，CE的值最小，
在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，
∴AB＝2BC＝4，
∴AC=AB2−BC2=23，
当CE⊥AB时，S△ABC=12AB•CE=12AC•BC，
∴CE=AC⋅BCAB=23×24=3，
即CE的最小值为3，
∴FG的最小值为3．
故答案为：3．
【点睛】此题考查了矩形的判定与性质、垂线段最短、含30°角的直角三角形的性质，熟练运用矩形的判定与性质、垂线段最短、含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．
18．已知一次函数y＝x﹣k，若对于x＜2范围内任意自变量x的值，其对应的函数值y都小于k，则k的取值范围是 k≥1 ．
【分析】根据题意一次函数的性质和题意，可以得到3﹣k≤2k，然后求解即可．
【详解】解：∵一次函数y＝x﹣k，
∴y随x的增大而增大，
∵对于x＜2范围内任意自变量x的值，其对应的函数值y都小于k，
∴2﹣k≤k，
解得k≥1，
故答案为：k≥1．
【点睛】本题考查一次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式．
三．解答题（共8小题，共90分）
19．（10分）计算：
（1）24÷3−12×18+32．
（2）（2）8a3−4a2⋅18a−2a⋅a2(a＞0)．
【分析】（1）先算乘除法，化简二次根式，然后计算加减法即可；
（2）先化简，然后化简二次根式即可．
【详解】解：（1）24÷3−12×18+32
=8−9+42
＝22−3+42
＝62−3；
（2）（2）8a3−4a2⋅18a−2a⋅a2(a＞0)
＝2a2a−a2a−a2a
＝0．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
20．（10分）在平面直角坐标系中有A（﹣1，4），B（﹣3，2），C（0，5）三点．
（1）求过A，B两点的直线的函数解析式；
（2）判断A，B，C三点是否在同一条直线上？并说明理由．
【分析】（1）根据点A、B坐标，利用待定系数法求解函数解析式即可；
（2）将点C坐标代入（1）中解析式中，判定是否符合函数解析式即可作出判断．
【详解】解：（1）设过A，B两点的直线的函数解析式y＝kx+b，
则−k+b=4−3k+b=2，
解得k=1b=5，
∴直线AB的函数解析式为y＝x+5；
（2）A，B，C三点在同一条直线上，
理由：由（1）知，直线AB的解析式为y＝x+5，
当x＝0时，y＝5，
∴点C（0，5）在直线AB上，
即A，B，C三点在同一条直线上．
【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式、判定点是否在直线上，熟练掌握一次函数图象上的点的坐标特征是解答的关键．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx+b（k≠0）与x轴交于点A（6，0），与y轴交于点B，与直线l2：y=12x相交于点M(m，32)．
（1）求直线l1的函数表达式；
（2）点C为x轴上一点，若△ABC的面积为12，求点C的坐标．
【分析】（1）待定系数法求出l1的解析式即可；
（2）先求出点B坐标得到OB＝3，设点C的坐标为（n，0），利用三角形面积公式流程关于n的方程求出n值即可得到点C坐标．
【详解】解：（1）∵点M(m，32)在直线l2上，
∴32=12m，解得m＝3，
∴M(3，32)，
∵点A（6，0），M（3，32）在直线l1上，
6k+b=03k+b=32，解得k=−12b=3，
∴直线l1的解析式为：y=−12x+3；
（2）由直线解析式可知点B（0，3）即OB＝3，
设点C的坐标为（n，0），则AC＝|6﹣n|，
S△ABC=12×|6−n|×3=12，
解得：n＝﹣2或14，
∴C（﹣2，0）或（14，0）．
【点睛】本题考查了两条直线相交问题，用待定系数法求函数解析式并且求出点C坐标是解决本题的关键．
22．（10分）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，点D为△ABC内一点，且∠BDC＝90°，CD＝2，BD＝AC．
（1）求BC的长；
（2）求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）直接根据勾股定理求出BC的长即可；
（2）先根据勾股定理判断出△ABC是直角三角形，再根据S阴影＝S△ABC﹣S△BCD解答即可．
【详解】解：（1）∵∠BDC＝90°，CD＝2，BD＝AC，AC＝4，
∴BC=BD2+CD2=42+22=25；
（2）∵AB＝6，AC＝4，BC＝25，42+（25）2＝62，即AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，
∴S阴影＝S△ABC﹣S△BCD
=12AC•BC−12CD•BD
=12×4×25−12×2×4
＝45−4．
【点睛】本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．
23．（12分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且DE∥AC，CE∥BD．
（1）请判断四边形OCED的形状，并说明理由；
（2）若∠BAC＝60°，CE＝4，求矩形ABCD的面积．
【分析】（1）根据平行四边形的判定得出四边形OCED是平行四边形，根据矩形的性质求出OC＝OD，再根据菱形的判定得出四边形OCED是菱形．
（2）四边形OCED是菱形，推出OC＝CE＝4，则AC＝2OC＝8，因为∠BAC＝60°，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，所以AB=12AC=4，利用勾股定理求出BC，则矩形ABCD的面积可求．
【详解】解：（1）四边形OCED是菱形．理由如下：
∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，
∴OC＝OD，
∴▱OCED是菱形；
（2）∵四边形OCED是菱形，
∴OC＝CE＝4，
∴AC＝2OC＝8，
∵∠BAC＝60°，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，
∴AB=12AC=4，
BC=AC2−AB2=82−42=43．
∴矩形ABCD的面积＝4×43=163．
【点睛】本题考查了矩形的性质和菱形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：菱形的面积等于对角线积的一半．
24．（12分）某经销商购进甲、乙两种产品，甲种产品进价为8元/kg；乙种产品的进货总金额y（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的关系如图所示．已知甲、乙两种产品的售价分别为12元/kg和18元/kg．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）若该经销商购进甲、乙两种产品共600kg，并能全部售出．其中乙种产品的进货量不低于160kg，且不高于400kg，经销商该如何进货，才能使总利润最大？最大利润为多少元？
【分析】（1）分当0≤x≤200时，当x＞200时，利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意可知，分当160≤x≤200时，当200＜x≤400时，分别列出w与x的函数关系式，根据一次函数的性质可得出结论．
【详解】解：（1）当0≤x≤200时，设y＝k′x，
根据题意可得，200k′＝3000，
解得k′＝15，
∴y＝15x；
当x＞200时，设y＝kx+b，
根据题意可得，200k+b=3000400k+b=5400，
解得k=12b=600，
∴y＝12x+600．
∴综上所述，y关于x的函数解析式为y=15x(0≤x≤200)12x+600(x＞200)；
（2）根据题意可知，设购进乙种产品x千克，则购进甲种产品（600﹣x）千克，
当160≤x≤200时，乙种产品进价为3000÷200＝15（元/千克），
w＝（12﹣8）（600﹣x）+18x﹣15x＝﹣x+2400，
∵﹣1＜0，
∴w随x的增大而减小，
∴当x＝160时，w的最大值为﹣1×160+2400＝2240（元）；
当200＜x≤400时，w＝（12﹣8）（600﹣x）+18x﹣（12x+600）＝2x+1800，
∵2＞0，
∴w随x的增大而增大，
∴当x＝400时，w的最大值为800+1800＝2600（元），
综上，购进甲产品200千克，乙产品400千克时利润最大，最大利润为2600元．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出函数关系式．
25．（13分）已知一次函数y＝2x+b的图象经过点A，B．点A的坐标为（1，5），点B的横坐标为m．
（1）求b的值；
（2）若线段AB的最高点与最低点的纵坐标差为6，求m的值；
（3）已知点C（m+1，2m+2），以坐标原点O为中心构造矩形CDEF，且CD⊥x轴，若线段AB与矩形CDEF只有一个公共点，求m的取值范围．
【分析】（1）把A（1，5）代入y＝2x+b即可求出b的值；
（2）由（1）得一次函数解析式为y＝2x+3，则B（m，2m+3），根据题意得2m+3﹣3＝6或3﹣（2m+3）＝6，解方程即可求得；
（3）由题可知E（﹣m﹣1，﹣2m﹣2），D（m+1，﹣2m﹣2），F（﹣m﹣1，2m+2），将D、F分别代入表达式，求出m即可．
【详解】解：（1）把点A的坐标为（1，5）代入y＝2x+b得，5＝2+b，
∴b＝3，
即b的值为3；
（2）∵点B的横坐标为m，
∴y＝2m+3，
∴点B（m，2m+3），
∵线段AB的最高点与最低点的纵坐标差为6，
∴5﹣（2m+3）＝6或2m+3﹣5＝6，
∴m＝﹣2或m＝4；
（3）∵点C（m+1，2m+2），
∴点C在直线y＝2x的图象上，
以坐标原点O为中心构造矩形CDEF，且CD⊥x轴，且与线段AB只有一个交点，则作图如上，
∴E（﹣m﹣1，﹣2m﹣2），D（m+1，﹣2m﹣2），F（﹣m﹣1，2m+2），
当直线AB与矩形CDEF只有一个交点时，
若m＜0，D在y＝2x+3上，将D（m+1，﹣2m﹣2）代入表达式，
∴﹣2m﹣2＝2（m+1）+3，
∴m=−74；
若m＞0，F在y＝2x+3上，将F（﹣m﹣1，2m+2）代入表达式，
∴2m+2＝﹣2（m+1）+3，
∴m=−14（舍）；
当直线AB与矩形CDEF有两个交点时，
若m＜0，则DE和CD与直线AB有交点M，N，
则M（−2m−52，﹣2m﹣2），N（m+1，2m+5），
∵B一定在CD的左侧，
∴当M不在线段AB上时，只有一个交点，
∴−2m−52＞1，
∴m＜−72；
若m＞0，则CF和EF与直线AB有交点R，S，
则R（2m−12，2m+2），S（﹣m﹣1，1﹣2m），
∵S在y轴左侧，A，B都在y轴右侧，R在B点左侧，
∴当R在线段AB上时，只有一个交点，
∴2m−12≥1，
∴m≥32；
综上所述：m=−74或m＜−72或m≥32．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，根据题意列出不等式组是解题的关键．
26．（13分）阅读下面的例题及点拨，并解决问题：
如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点，且AM＝MN．求证：∠AMN＝60°．
（1）点拨：如图②，作∠CBE＝60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM．易证：△ABM≌△EBM（SAS），请完成剩余证明过程：
（2）拓展：如图③，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点（不含端点B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，且A1M1＝M1N1．求证：∠A1M1N1＝90°．
【分析】（1）作∠CBE＝60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM，易证△ABM≌△EBM（SAS），可得AM＝EM，∠1＝∠2；又AM＝MN，则EM＝MN，可得∠3＝∠4；由∠3+∠1＝∠4+∠5＝60°，进一步可得∠1＝∠2＝∠5．又因为∠2+∠6＝120，所以∠5+∠6＝120°，所以∠AMN＝60°；
（2）延长AB至E，使EB＝AB，连接EMC、EC，则EB＝BC，∠EBM中＝90°＝∠ABM，得出△EBC是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出∠BEC＝∠BCE＝45°，证出∠BCE+∠MCN＝180°，得出E、C、N，三点共线，由SAS证明△ABM≌△EBM得出AM＝EM，∠1＝∠2，得出EM＝MN，由等腰三角形的性质得出∠3＝∠4，证出∠1＝∠2＝∠5，得出∠5+∠6＝90°，即可得出结论．
【详解】证明：（1）点拨：如图2，作∠CBE＝60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM，
易证△ABM≌△EBM（SAS），
∴AM＝EM，∠1＝∠2；
∵AM＝MN，
∴EM＝MN，
∴∠3＝∠4；
∵∠3+∠1＝∠4+∠5＝60°，
∴∠1＝∠2＝∠5．
∵∠2+∠6＝120，
∴∠5+∠6＝120°，
∴∠AMN＝60°；
（2）拓展：延长AB至E，使EB＝AB，连接EMC、EC，如图所示：
则EB＝BC，∠EBM中＝90°＝∠ABM，
∴△EBC是等腰直角三角形，
∴∠BEC＝∠BCE＝45°，
∵N是正方形ABCD的外角∠DCH的平分线上一点，
∴∠MCN＝90°+45°＝135°，
∴∠BCE+∠MCN＝180°，
∴E、C、N，三点共线，
在△ABM和△EBM中，
AB=EB∠ABM=∠EBMBM=BM，
∴△ABM≌△EBM（SAS），
∴AM＝EM，∠1＝∠2，
∵AM＝MN，
∴EM＝MN，
∴∠3＝∠4，
∵∠2+∠3＝45°，∠4+∠5＝45°，
∴∠1＝∠2＝∠5，
∵∠1+∠6＝90°，
∴∠5+∠6＝90°，
∴∠AMN＝180°﹣90°＝90°．
【点睛】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质，通过作辅助线构造三角形全等是解本题的关键．