宁夏银川市第二中学2024−2025学年高三下学期二模 数学试卷（含解析）

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一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．设 为非零向量，则 “存在 ，使得 ” 是 “ ” 的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．已知，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知是递增的等比数列，且，则（ ）
A．的公比为－2B．
C．的前n项和为D．是等比数列
6．若直线与曲线有公共点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．图①是底面边长为2的正四棱柱，直线经过其上，下底面中心，将其上底面绕直线顺时针旋转，得图②，若为正三角形，则图②所示几何体外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知，则（ ）
A．B．C．D．
10．随机事件A、B满足，，，下列说法正确的是（ ）
A．事件与事件B相互独立B．
C．D．
11．在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌.艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转后所得三条曲线与围成的（如图阴影区域），为与其中两条曲线的交点，若，则（ ）

A．开口向上的抛物线的方程为
B．
C．直线截第一象限花瓣的弦长最大值为
D．阴影区域的面积大于4
三、填空题（本大题共3小题）
12．学校运动会需要从5名男生和2名女生中选取4名志愿者，则选出的志愿者中至少有一名女生的不同选法的种数是 （请用数字作答）
13．已知函数是定义在上的奇函数，在上单调递减，且，则不等式的解集为 .
14．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中提出了一阶等差数列的问题，即一个数列本身不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列，则称数列为一阶等差数列．类比一阶等差数列的定义，我们亦可定义一阶等比数列．设数列：1，1，2，8，64，…是一阶等比数列，则 ； ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．在中，．
(1)求B；
(2)求函数在上的最大值．
16．如图，在四棱锥中，平面平面，且．

(1)证明：平面平面；
(2)求平面与平面夹角的正弦值．
17．为了解居民体育锻炼情况，某地区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查.统计其中400名居民体育锻炼的次数与年龄，得到如下的频数分布表.
(1)若把年龄在的锻炼者称为青年，年龄在的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过2次的称为体育锻炼频率低，不低于3次的称为体育锻炼频率高，根据小概率值的独立性检验判断体育锻炼频率的高低与年龄是否有关联；
(2)从每周体育锻炼5次及以上的样本锻炼者中，按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在与的人数分别为，求ξ的分布列与期望；
(3)已知小明每周的星期六、星期天都进行体育锻炼，且两次锻炼均在跑步、篮球、羽毛球3种运动项目中选择一种，已知小明在某星期六等可能选择一种运动项目，如果星期六选择跑步、篮球、羽毛球，则星期天选择跑步的概率分别为 ，求小明星期天选择跑步的概率.
参考公式：
附：
18．已知为实数，函数（其中是自然对数的底数）.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若对任意的恒成立，求的最小值.
19．已知曲线，当变化时得到一系列的椭圆，我们把它称为“2~1椭圆群”．
(1)若“2~1椭圆群”中的两个椭圆，对应的分别为，如图所示，直线与椭圆依次交于M，N，P，Q四点，证明：．
(2)当时，直线与椭圆在第一象限内的交点分别为，设．
（i）求证：为等比数列，并求出其通项公式；
（ii）令数列，求证．
参考答案
1．【答案】B
【详解】因为，所以或或或，
解得或或或，
所以，
由，即，所以，
所以.
故选B.
2．【答案】A
【详解】由题意，存在正数，使得，所以，同向，
所以，即充分性是成立的；
反之，当非零向量夹角为锐角时，满足，而不成立，即必要性不成立，
所以“存在 ，使得 ” 是 “ ” 的充分不必要条件.
故选A.
3．【答案】B
【详解】由题意可得：，
所以z在复平面内对应的点为，位于第二象限.
故选B.
4．【答案】B
【详解】因为，
则，即，
所以.
故选B.
5．【答案】B
【详解】在等比数列中，由等比数列性质可知.
又已知，则、可看作方程的两个根.
解这个方程，可得或，即或.
因为是递增的等比数列，所以，.
设公比为，根据等比数列通项公式，可得，即，化简得，
解得或，又因为数列递增，所以，故A选项错误，B选项正确.
根据等比数列前项和公式可得：，故C选项错误.
设，则.
不是常数，所以不是常数，不是等比数列，故D选项错误.
故选B.
6．【答案】C
【详解】由，则，故直线随的变化上下平移，
由，则，则可作图如下：

由图可知分别为直线平移的边界，
将代入，可得，解得，即；
原点到直线的距离，由图可得，解得，即.
所以.
故选C.
7．【答案】D
【详解】因为（），所以.
因为函数有两个极值点，所以有两个不同的正的变号根.
由（）.
设（），则.
由；由.
所以在上单调递增，在上单调递减.
且，，当时，.
所以要想方程（）有两个不同的解，须有，
即.
故选D.
8．【答案】A
【详解】
如图，设正四棱柱的上下底面中心分别为点,过点作于点，连接，
依题意，易得直角梯形,因为边长为2的正三角形,则，且,
又，则.
设该几何体外接球球心为点,半径为,则点为的中点，则,
在中，,
于是该几何体外接球的表面积为.
故选A.
9．【答案】ABD
【详解】因为，所以，故A正确；
因为，所以，故B正确；
因为，不妨令，，得，
此时，故C错误；
因为，所以，故D正确．
故选ABD
10．【答案】AC
【详解】根据，可得；
又，可得；
即满足，因此事件与事件B相互独立，即A正确；
易知，因此B错误；
由可得，即可知C正确；
计算可得，所以，即D错误.
故选AC.
11．【答案】BCD
【详解】对A，根据题意，开口向右的抛物线的方程为，焦点为，
所以开口向上的抛物线的焦点为，则对应的抛物线方程为，A错误；
对B，联立，解得或，所以,
根据对称性可知，,
所以,B正确；
对C，

如图，直线与开口向右、向上的抛物线在第一象限的交点为，
因为关于直线对称，所以设点，则，
因为，所以，
所以，
因为二次函数在单调递减，单调递增，
且，
所以时，有最大值，最大值为，C正确；
对D，由于对称性，每个象限的花瓣形状相同，
故可以先求部分面积的近似值，
如图，

取开口向上的抛物线上一点，
则点到直线的距离等于，
所以，
所以阴影部分的面积，D正确；
故选BCD.
12．【答案】30
【详解】选出的志愿者中，1个女生3个男生时，方法数有种，2个女生2个男生时，方法数有种，所以不同选法有种.
13．【答案】
【详解】由题意可得函数在上单调递减，，，
则当时，，当时，，
由，则，解得，
由，则，解得，
所以的解集为.
14．【答案】 32
【详解】由题意，设数列：1，1，2，8，64，…是一阶等比数列，
设，所以为等比数列，其中，公比为，
所以，则．
则，
所以，
所以
．
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）在中，由正弦定理得
或．
又为钝角
.
（2）由（1）可知．
∴当，即时
．
16．【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】(1)先由线段关系证，结合面面垂直的性质判定线线垂直，利用线线垂直证线面垂直；
(2)建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算面面角即可.
【详解】(1)由题意，则，
因为，所以，
因为平面平面，平面平面，
且平面，
所以平面，
因为平面，所以，
且平面，所以平面，
又平面，所以平面平面；
(2)如图，以A为原点，分别为轴，轴正方向，在平面内过点A作平面ABC的垂线为z轴，
建立空间直角坐标系，

则，
所以，，
设平面的一个法向量，
则，令，得，
设平面的法向量，
则，令，得，
设平面与平面的夹角为，则，
所以平面与平面夹角的正弦值为．
17．【答案】(1)有关
(2)分布列见解析；期望为
(3)
【分析】
（1）求出卡方值并与临界值比较即可得到结论；
（2）根据步骤列出分布列，利用数学期望公式即可得到答案；
（3）利用全概率公式即可得到答案.
【详解】（1）零假设：体育锻炼频率的高低与年龄无关，
由题得列联表如下：
，
根据小概率值的独立性检验推断不成立，
即认为体育锻炼频率的高低与年龄有关，此推断犯错误的概率不大于0.01.
（2）由数表知，利用分层抽样的方法抽取的8人中，年龄在内的人数分别为1，2，
依题意，的所有可能取值分别为为0，1，2，
所以，
，
，
所以的分布列：
所以的数学期望为.
（3）记小明在某一周星期六选择跑步、篮球、羽毛球，分别为事件A，B，C，
星期天选择跑步为事件，则，
，
所以
，
所以小明星期天选择跑步的概率为.
18．【答案】(1)答案见解析
(2)
【详解】（1）易知，因为，所以，
当时，恒成立，此时在上单调递增，
当时，由，得到，
当时，，当时，，即在区间上单调递减，在区间上单调递增，
综上，时，在上单调递增，
时，的减区间为，增区间为.
（2）因为当时，时，，
由（1）知，要使对任意的恒成立，则，且恒成立，
即恒成立，得到，
所以，
令，则，由，得到，
当时，，时，，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，故的最小值为.
19．【答案】(1)证明见解析；
(2)（i）证明见解析，；（ii）证明见解析.
【详解】（1）由题意，联立方程可得，
，即，
由图可知，椭圆与直线的交点为点，设，则，
同理，将与直线联立可得：，
，即，
可得，则线段的中点与线段中点重合，设为点，
即有，所以，即.
（2）（i）由题意，联立方程可得，即.
因为交点在第一象限内，所以点的横坐标，同理可得点的横坐标，
则.
所以，数列是首项为2，公比为2的等比数列，其通项公式为.
（ii）由（i）可知，，则.
设，
设，
由时，，可得，
，
即.
，
即得证.
年龄
次数
[20,30)
[30,40)
[40,50)
[50,60]
每周0~2次
70
55
36
59
每周3~4次
25
40
44
31
每周5次及以上
5
5
20
10
α
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
青年
中年
合计
体育锻炼频率低
125
95
220
体育锻炼频率高
75
105
180
合计
200
200
400
0
1
2