宁夏回族自治区银川市第二中学2025届高三下三模数学试题（含答案解析）

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一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 已知集合，，则（ ）
2. （ ）
3. 已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为个圆，则该圆锥的母线长为（ ）
4. 设，，，则（ ）
5. 已知双曲线的右焦点为，点在双曲线的渐近线上，是腰长为的等腰三角形（为原点），，则双曲线的方程为
6. 已知样本数据的平均数为6，方差为16；样本数据的平均数为11，方差为21，现将两组样本数据合并，则新的样本数据，的方差为（ ）
7. 在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则角的大小为（ ）
8. 已知函数，若函数恰有5个零点，则实数的取值范围为（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 记为等比数列的前项和，已知，则（ ）
10. 函数的部分图象如图所示，则（ ）
11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线交椭圆于两点，则（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分)
12. 已知随机变量．若，则__________，若，则的方差为__________．
13. 在直角梯形中，，，，E是的中点，若，则______.
14. 已知正方体的棱长为1，点P在正方体的内切球表面上运动，且满足平面，则的最小值为______.
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 10 分，共 50 分)
15. 某校组织“一带一路”答题抽奖活动，凡答对一道题目可抽奖一次.设置甲、乙、丙三个抽奖箱，每次从其中一个抽奖箱中抽取一张奖券.已知甲箱每次抽取中奖的概率为，乙箱和丙箱每次抽取中奖的概率均为，中奖与否互不影响.
(1)已知一位同学答对了三道题目，有两种抽奖方案供选择：
方案一：从甲、乙、丙中各抽取一次，中奖三次获得价值50元的学习用品，中奖两次获得价值30元的学习用品，其他情况没有奖励.
方案二：从甲中抽取三次，中奖三次获得价值70元的学习用品，中奖两次获得价值40元的学习用品，其他情况没有奖励；
通过计算获得学习用品价值的期望，判断该同学选择哪个方案比较合适？
(2)若一位同学答对了一道题目.他等可能的选择甲、乙、丙三个抽奖箱中的一个抽奖.已知该同学抽取中奖，求该同学选择乙抽奖箱的概率.
16. 记数列的前n项和为，已知，.
(1)证明：数列为等差数列；
(2)求数列的前n项和.
17. 如图，在矩形中，，，为EC中点，将沿AD翻折至，使得.
(1)证明：平面平面；
(2)线段PB上是否存在一点，使得AT与平面PAD所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
18. 抛物线的弦与弦的端点处的两条切线形成的三角形称为阿基米德三角形，由抛物线的三条切线围成的三角形称为抛物线的切线三角形.已知抛物线C：的焦点为F，直线l：过点F，过x轴下方的一点P作C的两条切线，，且，分别交x轴于点A，B，交l于点M，N.
(1)若为阿基米德三角形，求；
(2)证明：切线三角形的外接圆过定点.
19. 已知函数．
(1)当时，证明：在上单调递增；
(2)当，时，求的零点；
(3)当，时，若在上有2个零点，求b的取值范围．
宁夏回族自治区银川市第二中学2025届高三三模数学试题
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、等式与不等式、复数、空间向量与立体几何、函数与导数、平面解析几何、计数原理与概率统计、三角函数与解三角形、数列、平面向量
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．4
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．18
B．24
C．26
D．28
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．的最小值为
A．
B．的图象关于直线对称
C．将的图象向右平移个单位长度后得到的图象
D．在区间上的值域为
A．的周长为8
B．若直线经过点，则的最小值是1
C．若线段中点坐标为，则直线的方程为
D．若点M是椭圆上的任意一点，点N是圆上的任意一点，则的最大值为
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
容易
1
较易
3
适中
12
较难
2
困难
1
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.94
交并补混合运算；解不含参数的一元二次不等式
2
0.85
复数的乘方；复数的除法运算
3
0.85
圆锥表面积的有关计算
4
0.65
比较指数幂的大小；比较对数式的大小
5
0.65
根据a、b、c求双曲线的标准方程
6
0.65
计算几个数据的极差、方差、标准差
7
0.65
二倍角的余弦公式；余弦定理解三角形；辅助角公式
8
0.65
根据函数零点的个数求参数范围；利用导数研究函数的零点
二、多选题
9
0.65
等比数列通项公式的基本量计算；求等比数列前n项和
10
0.65
三角函数图象的综合应用；求图象变化前（后）的解析式；由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）
11
0.65
用两点间的距离公式求函数最值；由弦中点求弦方程或斜率；椭圆中焦点三角形的周长问题；椭圆中的通径问题
三、填空题
12
0.85
方差的性质；指定区间的概率
13
0.65
利用平面向量基本定理求参数；用基底表示向量
14
0.4
面面平行证明线面平行；点到平面距离的向量求法；立体几何中的轨迹问题
四、解答题
15
0.65
求离散型随机变量的均值；利用全概率公式求概率；计算条件概率
16
0.65
由递推关系证明数列是等差数列；裂项相消法求和；求等差数列前n项和；利用an与sn关系求通项或项
17
0.65
证明面面垂直；已知线面角求其他量；证明线面垂直；线面垂直证明线线垂直
18
0.4
求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；圆锥曲线新定义；由圆心（或半径）求圆的方程
19
0.15
根据函数零点的个数求参数范围；利用导数研究函数的零点；求函数的零点；用导数判断或证明已知函数的单调性
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1
2
等式与不等式
1
3
复数
2
4
空间向量与立体几何
3,14,17
5
函数与导数
4,8,18,19
6
平面解析几何
5,11,14,18
7
计数原理与概率统计
6,12,15
8
三角函数与解三角形
7,10
9
数列
9,16
10
平面向量
13