2023-2024学年广东省广州市番禺区高二下学期期末教学质量监测数学试题（含答案）

这是一份2023-2024学年广东省广州市番禺区高二下学期期末教学质量监测数学试题（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={1,−1}，B={1,0,−1}，则集合C={a−b|a∈A,b∈B}中元素的个数为( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
2.已知复数z=2−ii，则z的虚部为( )
A. 2B. 2iC. −2D. −2i
3.“a=1”是“函数fx=2x−a2x+1为奇函数”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，m，12，14，21，若该组数据的中位数是极差的25，则该组数据的第45百分位数是( )
A. 4B. 6C. 8D. 12
5.过坐标原点O向圆C:x2+y2−4x−2y+4=0作两条切线，切点分别为M,N，则tan∠MON=( )
A. 34B. 43C. 3D. 12
6.菱形ABCD中，AC=2,BD=4，点E在线段CD上，则AB⋅AE的取值范围是( )
A. 2,3B. 0,1C. 0,2D. −3,2
7.为了预测某地的经济增长情况，某经济学专家根据该地2023年1∼6月的GDP的数据y(单位：百亿元)建立了线性回归模型，得到的经验回归方程为y=0.4x+a，其中自变量x指的是1∼6月的编号，其中部分数据如表所示：
参考数据：i=16yi2=796,i=16yi−y2=70.则下列说法不正确的是( )
A. 经验回归直线经过点3.5,11
B. a=9.6
C. 根据该模型，该地2023年12月的GDP的预测值为14.4百亿元
D. 相应于点x4,y4的残差为0.1
8.油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史.将油纸伞撑开后摆放在户外场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为 2的圆，圆心到伞柄底端距离为 2，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子(某时刻，阳光与地面夹角为60∘)，若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的离心率为( )
A. 2− 3B. 2−1C. 3−1D. 22
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数fx=sinx⋅csx，则( )
A. fx是奇函数B. fx的最小正周期为π
C. fx的最小值为−12D. fx在0,π2上单调递增
10.设函数f(x)=2x3−3ax2+1，则( )
A. 当a>1时，f(x)有三个零点
B. 当a<0时，x=0是f(x)的极大值点
C. 存在a，b使得x=b为曲线y=f(x)的对称轴
D. 存在a使得点(1,f(1))为曲线y=f(x)的对称中心
11.半正多面体(semiregular slid)亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.传统的足球，就是根据这一发现而制成，最早用于1970年的世界杯比赛.二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成(如图所示)，若这个二十四等边体的棱长都为2，则下列结论正确的是( )
A. MQ⊥平面AEMHB. 异面直线BC和EA所成角为60∘
C. 该二十四等边体的体积为40 23D. 该二十四等边体外接球的表面积为16π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.二项式2 x+1x37的展开式中的常数项为 .(用数字作答)
13.某中学1600名学生参加一分钟跳绳测试，经统计，成绩X近似服从正态分布N150,σ2，已知成绩小于130的有300人，则可估计该校一分钟跳绳成绩X在150∼170次之间的人数约为 ．
14.已知在锐角ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcsC=ccsB，则1tan A+1tan B+1tan C的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
在▵ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，且sinC+ 3csC= 3ab．
(1)求角B；
(2)若a+c=2,b= 3,∠ABC的角平分线交AC于点D，求BD．
16.(本小题12分)
人工智能研究实验室发布了一款全新聊天机器人模型，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话.在测试聊天机器人模型时，如果输入的问题没有语法错误，则聊天机器人模型的回答被采纳的概率为85%；如果输入的问题出现语法错误，则聊天机器人模型的回答被采纳的概率为50%．
(1)在某次测试中输入了8个问题，聊天机器人模型的回答有5个被采纳.现从这8个问题中抽取3个.以ξ表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求ξ的分布列和数学期望；
(2)已知输入的问题出现语法错误的概率为10%．
(i)求聊天机器人模型的回答被采纳的概率；
(ii)若已知聊天机器人模型的回答被采纳，求该输入的问题没有语法错误的概率．
17.(本小题12分)
如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2,E,F,G分别是棱AB,B1C1,C1D1的中点．
(1)求直线B1D与平面EFG所成角的正弦值；
(2)求平面C1GF与平面EGF的夹角的余弦值；
(3)若点H为棱DD1的中点，试探究点H是否在平面EFG上，请说明理由．
18.(本小题12分)
已知数列an为等差数列，a1=1,a3=4 3+1，其前n项和为Sn，数列bn满足：bn=Snn．
(1)求证：数列bn为等差数列；
(2)试探究数列an中是否存在三项构成等比数列？若存在，请求出这三项；若不存在，请说明理由．
19.(本小题12分)
已知函数fx=ex−1x．
(1)求曲线y=fx在点1,f1处的切线方程；
(2)判断函数fx的单调性；
(3)若fx>ax，其中a>0且a≠1，求实数a的值．
参考答案
1.D
2.C
3.C
4.A
5.B
6.D
7.D
8.A
9.ABC
10.AD
11.BCD
12.448
13.500
14.2 73
15.(1)
由正弦定理可得sinC+ 3csC= 3ab= 3sinAsinB，
即有sinBsinC+ 3sinBcsC= 3sinA= 3sinBcsC+ 3sinCcsB，
即sinBsinC= 3sinCcsB，又C∈0,π，故sinB= 3csB，
即tanB= 3，又B∈0,π，故B=π3；
(2)
S▵ABC=S▵BAD+S▵BCD，即12acsinB=12c⋅BD⋅sinB2+12a⋅BD⋅sinB2，
即acsinπ3=c⋅BD⋅sinπ6+a⋅BD⋅sinπ6，即 3ac=BDa+c=2BD，
即BD= 32ac，
由余弦定理b2=a2+c2−2accsB可得3=a2+c2−ac=a+c2−3ac=4−3ac，
即ac=13，故BD= 32ac= 32×13= 36．

16.(1)
易知ξ的所有可能取值为0,1,2,3，
此时Pξ=0=C50C33C83=156，Pξ=1=C51C32C83=1556，
Pξ=2=C52C31C83=3056=1528，Pξ=3=C53C30C83=1056=528，
所以ξ的分布列为：
则Eξ=0×156+1×1556+2×1528+3×528=158；
(2)
(i)记“输入的问题没有语法错误”为事件A，
记“输入的问题有语法错误”为事件B，
记“聊天机器人模型的回答被采纳”为事件C，
则PA=0.9，PB=0.1，PC|B=0.5，PC|A=0.85，
PC=PCB+PCA=PBPC|B+PAPC|A
=0.1×0.5+0.9×0.85=0.815；
(ii)若聊天机器人模型的回答被采纳，则该问题的输入没有语法错误的概率为：
PA|C=PACPC=PAPC|APC=0.9×．

17.(1)
以D为原点建立如图所示空间直角坐标系，
则有D0,0,0，B12,2,2，E2,1,0，F1,2,2，G0,1,2，
则B1D=−2,−2,−2，EF=−1,1,2，EG=−2,0,2，
设平面EFG的法向量为m=x1,y1,z1，
则有m⋅EF=−x1+y1+2z1=0m⋅EG=−2x1+2z1=0，令x1=1，则有y1=−1，z1=1，
即m=1,−1,1，
则有csm,B1D=m⋅B1Dm⋅B1D=−2+2−2 3⋅ 12=13，
故直线B1D与平面EFG所成角的正弦值为13；
(2)
由z轴⊥平面C1GF，则平面C1GF的法向量可为n=0,0,1，
则有csm,n=m⋅nm⋅n=1 3= 33，
故平面C1GF与平面EGF的夹角的余弦值 33；
(3)
由点H为棱DD1的中点，则H0,0,1，则HG=0,1,1，
由m⋅HG=0−1+1=0，则m⊥HG，又G∈平面EFG，
故HG⊂平面EFG，故点H在平面EFG上.

18.(1)
由数列an为等差数列，则其公差d=a3−a12=2 3，
故an=1+2 3n−1=2 3n+2 3−1，
故Sn=1+2 3n+2 3−1n2= 3n2+ 3n，
则bn=Snn= 3n+ 3，可得相邻两项差为常数 3，故数列bn为等差数列；
(2)
假设存在，且为am,as,atm≠s≠t三项构成等比数列，则有amat=as2，
即有2 3m+2 3−12 3t+2 3−1=2 3s+2 3−12，
即有6mt+6m+t− 3m+t=6s2+12s−2 3s，
由m、t、s均为整数，则有mt+m+t=s2+2sm+t=2s,
即有mt+m+t=m+t22+m+t，化简得m−t2=0，
即m=t，其与m≠s≠t矛盾，故数列an中不存在三项构成等比数列．

19.(1)
由题意f1=e−1，即切点为1,e−1，
f′x=xex−ex+1x2，k=f′1=1，
所以曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为y=x−1+e−1，
即y=x+e−2；
(2)
证明：由f′x=x−1ex+1x2，设gx=x−1ex+1，
则g′x=xex，
所以当x<0时，g′x<0，gx单调递减，
当x>0时，g′x>0，gx单调递增，又g0=0，
所以对于任意的x≠0有gx>0，即f′x>0，
因此fx在(−∞,0)单调递增，在(0,+∞)单调递增，
即ℎx=ex−x−1，则ℎ′x=ex−1，
所以x<0时，ℎ′x<0，ℎx单调递减，
所以ℎx>ℎ0=0，即ex−1>x，即ex−1x<1，
x>0时，ℎ′x>0，ℎx单调递增，所以ℎx>ℎ0=0，
即ex−1>x，即ex−1x>1，所以fx是其定义域上的增函数．
(3)
由(2)可知，x<0时，fx<1，所以ax<1，故a>1，
令a=ek，k>0，Fx=e1−kx−e−kx−x，
由题意x<0时，Fx<0，x>0时，Fx>0，
若k≥1，则当x>1时，Fx=e1−kx−e−kx−x≤1−e−kx−x<0，
不满足条件，所以0令G(x)=F′x，
则G′x=1−k2e1−kx−k2e−kx=e−kx1−k2ex−k2，
令G′x=0，得x=2lnk1−k，
F′x在−∞,2lnk1−k单调递减，在2lnk1−k,+∞单调递增，
若2lnk1−k<0，则当2lnk1−k此时Fx>F0=0，不满足题意；
若2lnk1−k>0，则当0此时Fx若2lnk1−k=0，
则当x<0时，F′x>F′0=0，Fx单调递增，此时Fx且当x>0时，F′x>F′0=0，Fx单调递增，此时Fx>F0=0，满足题意，
所以2lnk1−k=0，解得k=12，
综上所述，a= e．
时间
1月
2月
3月
4月
5月
6月
编号x
1
2
3
4
5
6
y百亿元
y1
y2
y3
11.1
y5
y6
ξ
0
1
2
3
P
156
1556
1528
528