广东省广州市番禺区2021-2022学年高二上学期期末教学质量监测数学试题含解析

这是一份广东省广州市番禺区2021-2022学年高二上学期期末教学质量监测数学试题含解析，共23页。试卷主要包含了 已知集合，则， 直线与直线，则“”是“”的， 函数y＝ln， 已知，下列说法正确的有等内容，欢迎下载使用。


2021学年第一学期高中教学质量监测试题
高二数学
一､选择題：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 设是虚数单位，则复数对应的点在平面内位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C 第三象限 D. 第四象限
3. 直线与直线，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 函数y＝ln（1﹣x）的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
5. 在空间四边形OABC中，，，，点M在线段OA上，且，N为BC的中点，则等于（ ）
A. B.
C. D.
6. 与直线关于轴对称的直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
7. 过双曲线的左焦点作x轴的垂线交曲线C于点P，为右焦点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8. 在等差数列中，已知，，则使数列的前n项和成立时n的最小值为（ ）
A. 6 B. 7 C. 9 D. 10
二､多选题：本題共4小题，每小題5分，共20分.在每小題给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知，下列说法正确的有（ ）
A. 的最小正周期是
B. 最大值为2
C. 的图象关于对称
D. 图象关于对称
10. 在空间中，已知a，b，c是三条不同的直线，是一平面，下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
11. 定义“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积.已知数列是公积不为0的等积数列，且，前7项的和为14.则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. 公积为1 D.
12. 设抛物线的焦点为F，准线为l.过焦点F的直线交曲线C于，两点，则（ ）
A. 以为直径的圆与准线l相切 B. 以为直径的圆与准线l相切
C. D.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知向量，，若，则实数m的值是___________.
14. 甲、乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别为，则密码被成功破译的概率_________．
15. 已知圆，过点作圆O切线，则切线方程为___________.
16. 已知A，B为x，y正半轴上动点，且，O为坐标原点，现以为边长在第一象限做正方形，则的最大值为___________.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 已知数列的前n项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前n项和.
18. 已知在△中，角A，B，C对边分别是a，b，c，且.
（1）求角C的大小；
（2）若，求△的面积S的最大值.
19. 2020年3月20日，中共中央、国务院印发了《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》（以下简称《意见》），《意见》中确定了劳动教育内容要求，要求普通高中要注重围绕丰富职业体验，开展服务性劳动、参加生产劳动，使学生熟练掌握一定劳动技能，理解劳动创造价值，具有劳动自立意识和主动服务他人、服务社会的情怀．我市某中学鼓励学生暑假期间多参加社会公益劳动，在实践中让学生利用所学知识技能，服务他人和社会，强化社会责任感，为了调查学生参加公益劳动的情况，学校从全体学生中随机抽取100名学生，经统计得到他们参加公益劳动的总时间均在15~65小时内，其数据分组依次为：，，，，，得到频率分布直方图如图所示，其中．

（1）求，的值，估计这100名学生参加公益劳动的总时间的平均数（同一组中的每一个数据可用该组区间的中点值代替）；
（2）学校要在参加公益劳动总时间在、这两组的学生中用分层抽样的方法选取5人进行感受交流，再从这5人中随机抽取2人进行感受分享，求这2人来自不同组的概率．
20. 如图，在四棱锥中，底面四边形为角梯形，，，，O为的中点，，.


（1）证明：平面；
（2）若，求平面与平面所成夹角的余弦值.
21. 已知点，，设动点P满足直线PA与PB的斜率之积为，记动点P的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）若动直线l经过点，且与曲线E交于C，D（不同于A，B）两点，问：直线AC与BD的斜率之比是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．
22. 已知函数是定义在实数集上的奇函数，且当时，．
（1）求的解析式；
（2）若在上恒成立，求的取值范围．
高二数学
一､选择題：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解一元二次不等式求集合A，再由集合的交运算求即可.
【详解】由题设，，
∴.
故选：C.
2. 设是虚数单位，则复数对应的点在平面内位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】计算出复数即可得出结果.
【详解】由于，对应的点的坐标为，在第一象限，
故选：A.
3. 直线与直线，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
分析】
根据直线与直线的垂直，列方程，求出，再判断充分性和必要性即可.
【详解】解：若，则，解得或，
即或，
所以”是“充分不必要条件.
故选：A.
【点睛】本题考查直线一般式中直线与直线垂直的系数关系，考查充分性和必要性的判断，是基础题.
4. 函数y＝ln（1﹣x）的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数的定义域和特殊点，判断出正确选项.
【详解】由，解得，也即函数的定义域为，由此排除A,B选项.当时，，由此排除D选项.所以正确的为C选项.
故选：C
【点睛】本小题主要考查函数图像识别，属于基础题.
5. 在空间四边形OABC中，，，，点M在线段OA上，且，N为BC的中点，则等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意结合图形，直接利用，求出，然后即可解答.
【详解】解：因为空间四边形OABC如图，，，，
点M在线段OA上，且，N为BC的中点，
所以.
所以.
故选：B.

6. 与直线关于轴对称的直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】把方程中换成，整理即得．
【详解】直线关于轴对称的直线的方程为，即．
故选：B．
7. 过双曲线的左焦点作x轴的垂线交曲线C于点P，为右焦点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题知是等腰直角三角形，，又根据通径的结论知，结合可列出关于的二次齐次式，即可求解离心率.
【详解】由题知是等腰直角三角形，且，
，
又，，即，
，，即，
解得，
，.
故选：D.
8. 在等差数列中，已知，，则使数列的前n项和成立时n的最小值为（ ）
A. 6 B. 7 C. 9 D. 10
【答案】D
【解析】
【分析】根据等差数列的性质及等差中项结合前项和公式求得，,从而得出结论.
【详解】，，，，，
，,使数列的前n项和成立时n的最小值为10，
故选：D.
二､多选题：本題共4小题，每小題5分，共20分.在每小題给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知，下列说法正确的有（ ）
A. 最小正周期是
B. 最大值为2
C. 的图象关于对称
D. 的图象关于对称
【答案】BD
【解析】
【分析】利用二倍角公式以及辅助角公式对化简整理，对于选项A：利用最小正周期公式即可求出周期；对于选项B：根据解析式即可求解；对于选项CD：根据正弦型三角函数的对称轴和对称点的特性即可求解.
【详解】因为，
所以的最小正周期为，故A错误；
由的解析式可知，最大值为2，故B正确；
因为，故C错误；
因为 ，所以的图象关于对称，故D正确.
故选：BD．
10. 在空间中，已知a，b，c是三条不同的直线，是一平面，下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
【答案】AC
【解析】
【分析】根据空间中的线面、面面关系逐一判断即可.
【详解】线线关系中，平行具有传递性，垂直没有传递性，故A正确，B错误.；
由线面垂直的性质定理可得C正确；
平行于同一平面的两条直线不一定平行，可以相交或异面，故D错误；
故选：AC.
11. 定义“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积.已知数列是公积不为0的等积数列，且，前7项的和为14.则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. 公积为1 D.
【答案】AB
【解析】
【分析】根据等积数列的定义，可判断A的正误，根据条件，代入数据，可判断B、C的正误，分别讨论n为奇数和偶数，可判断D的正误，即可得答案.
【详解】设该等积数列的公积为m（m为常数，），
根据等积数列的定义可得，
所以，即，故A正确；
则，
又，则，
又前7项的和为14，则，解得，即公积为2，
所以，故B正确，C错误，
当n为奇数时，当n为偶数时，故D错误
故选：AB
12. 设抛物线的焦点为F，准线为l.过焦点F的直线交曲线C于，两点，则（ ）
A. 以为直径的圆与准线l相切 B. 以为直径的圆与准线l相切
C D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据焦半径公式和直线与圆的相切判断方法，即可判断A，B选项；设出直线的方程，将其代入抛物线方程，根据韦达定理可判断C，D选项.
【详解】抛物线的焦点为，准线
设为的中点，直径
则点到准线的距离为，
所以以为直径的圆与准线l不相切，故A错误；
焦点弦，为的中点，
则点到准线的距离为，
所以以为直径圆与准线l相切，故B正确；
易知直线的斜率不为零，故可设为，
代入，得，
由韦达定理得：，，
，故C正确；

，
则，D正确.
故选：BCD.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知向量，，若，则实数m的值是___________.
【答案】
【解析】
【分析】结合已知条件和空间向量的数量积的坐标公式即可求解.
【详解】因为，
所以，解得.
故答案为：.
14. 甲、乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别为，则密码被成功破译的概率_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，由相互独立事件概率的乘法公式可得密码没有被破译的概率，进而由对立事件的概率性质分析可得答案．
【详解】解：根据题意，甲乙两人能成功破译的概率分别是，，
则密码没有被破译，即甲乙都没有成功破译密码的概率，
故该密码被成功破译的概率．
故答案为：．
15. 已知圆，过点作圆O的切线，则切线方程为___________.
【答案】或
【解析】
【分析】首先判断点圆位置关系，再设切线方程并联立圆的方程，根据所得方程求参数k，即可写出切线方程.
【详解】由题设，，故在圆外，
根据圆及，知：过作圆O的切线斜率一定存在，
∴可设切线为，联立圆的方程，
整理得，
∴，解得或.
∴切线方程为或.
故答案为：或.
16. 已知A，B为x，y正半轴上的动点，且，O为坐标原点，现以为边长在第一象限做正方形，则的最大值为___________.
【答案】32
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，设出角度和边长，表达出点坐标，进而表达出，利用三角函数换元，求出最大值.
【详解】如图，过点D作DE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，设，（），则由三角形全等可知，设，，则，则，，则，令，，则，当时，取得最大值，最大值为32

故答案为：32
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 已知数列的前n项和为，且.
（1）求数列通项公式；
（2）令，求数列的前n项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据与的关系，分和两种情况，求出，再判断是否合并；
（2）利用错位相减法求出数列的前n项和.
【小问1详解】
，
当时，，
当时，，也满足上式，
数列的通项公式为：.
【小问2详解】
由（1）可得，
①
②
①②得
，

18. 已知在△中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.
（1）求角C的大小；
（2）若，求△的面积S的最大值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由正弦定理、和角正弦公式及三角形内角的性质可得，进而可得C的大小；
（2）由余弦定理可得，根据基本不等式可得，由三角形面积公式求面积的最大值，注意等号成立条件.
【小问1详解】
由正弦定理知：，
∴，又，
∴，则，故.
【小问2详解】
由，又，则，
∴，当且仅当时等号成立，
∴△的面积S的最大值为.
19. 2020年3月20日，中共中央、国务院印发了《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》（以下简称《意见》），《意见》中确定了劳动教育内容要求，要求普通高中要注重围绕丰富职业体验，开展服务性劳动、参加生产劳动，使学生熟练掌握一定劳动技能，理解劳动创造价值，具有劳动自立意识和主动服务他人、服务社会的情怀．我市某中学鼓励学生暑假期间多参加社会公益劳动，在实践中让学生利用所学知识技能，服务他人和社会，强化社会责任感，为了调查学生参加公益劳动的情况，学校从全体学生中随机抽取100名学生，经统计得到他们参加公益劳动的总时间均在15~65小时内，其数据分组依次为：，，，，，得到频率分布直方图如图所示，其中．

（1）求，的值，估计这100名学生参加公益劳动的总时间的平均数（同一组中的每一个数据可用该组区间的中点值代替）；
（2）学校要在参加公益劳动总时间在、这两组的学生中用分层抽样的方法选取5人进行感受交流，再从这5人中随机抽取2人进行感受分享，求这2人来自不同组的概率．
【答案】（1），；平均数为40.2；（2）．
【解析】
【分析】（1）根据矩形面积和为1，求的值，再根据频率分布直方图求平均数；（2）首先利用分层抽样，在中抽取3人，在中抽取2人，再编号，列举基本事件，求概率，或者利用组合公式，求古典概型概率.
【详解】（1）依题意，，故．
又因为，所以，．
所求平均数为（小时）．
所以估计这100名学生参加公益劳动的总时间的平均数为40.2．
（2）由频率分布直方图可知，参加公益劳动总时间在和的学生比例为．
又由分层抽样的方法从参加公益劳动总时间在和的学生中随机抽取5人，则在中抽取3人，分别记为，，，在中抽取2人，分别记为，，
则从5人中随机抽取2人的基本事件有，，，，，，，，，．
这2人来自不同组的基本事件有：，，，，，，共6个，
所以所求的概率．
解法二：由频率分布直方图可知，参加公益劳动总时间在和的学生比例为．
又由分层抽样的方法从参加公益劳动总时间在和的学生中随机抽取5人，则在中抽取3人，在中抽取2人，
则从5人中随机抽取2人的基本事件总数为．
这2人来自不同组的基本事件数为．
所以所求的概率．
20. 如图，在四棱锥中，底面四边形为角梯形，，，，O为的中点，，.


（1）证明：平面；
（2）若，求平面与平面所成夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）连接，可通过证明，得平面；
（2）以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，通过向量的夹角公式可得答案.
【小问1详解】
如图，连接，在中，由可得.
因为，，
所以，，
因为，，，
所以，所以.
又因为，平面，，
所以平面.
【小问2详解】
由（1）可知，，，两两垂直，
以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，.
由，有，则，
设平面的法向量为，
由，，有，
取，则，，
可得平面的一个法向量为.
设平面的法向量为，
由，，有，
取，则，，
可得平面的一个法向量为.
由，，，
可得平面与平面所成夹角的余弦值为
.

21. 已知点，，设动点P满足直线PA与PB的斜率之积为，记动点P的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）若动直线l经过点，且与曲线E交于C，D（不同于A，B）两点，问：直线AC与BD的斜率之比是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．
【答案】（1）；（2）直线AC和BD的斜率之比为定值．
【解析】
【分析】（1）设，依据两点的斜率公式可求得曲线E的方程．
（2）设直线l：，，，联立方程得，得出根与系数的关系，表示直线AC的斜率，直线BD的斜率，并代入计算，可得其定值.
【详解】解：（1）设，依题意可得，所以，
所以曲线E的方程为．
（2）依题意，可设直线l：，，，
由，可得，则，，
因为直线AC的斜率，直线BD的斜率，因为，
所以，
所以直线AC和BD的斜率之比为定值．
22. 已知函数是定义在实数集上的奇函数，且当时，．
（1）求的解析式；
（2）若在上恒成立，求的取值范围．
【答案】（1），（2）实数的取值范围是
【解析】
【分析】
（1）根据函数奇偶性求解析式；
（2）将恒成立转化为令， 恒成立，讨论二次函数系数，结合根的分布.
【详解】解：（1）因为函数是定义在实数集上的奇函数，
所以，
当时，则
所以当时
所以
（2）因为时，
在上恒成立
等价于即在上恒成立
令，则
①当时，不恒成立，故舍去
②当时必有，此时对称轴
若即或时，恒成立
因为，所以
若即时，要使恒成立
则有与矛盾，故舍去
综上，实数的取值范围是
【点睛】应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法
（1）求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解；
（2）求解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求解，或充分利用奇偶性构造关于的方程(组)，从而得到的解析式；
（3）求函数解析式中参数的值：利用待定系数法求解，根据得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值；
（4）画函数图象和判断单调性：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性.