广东省惠州市博罗县2024-2025学年高一上学期阶段性教学质量检测数学试题（解析版）

这是一份广东省惠州市博罗县2024-2025学年高一上学期阶段性教学质量检测数学试题（解析版），共11页。试卷主要包含了 已知则下列选项错误的是， 已知函数的图象经过点，则， 下列说法中，正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答卷前、考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设全集，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，
所以，所以.
故选：D
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】命题“，”的否定是，.
故选：B.
3. 函数的定义域是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题意得，解得且，
所以函数的定义域为.故选：C
4. 已知函数在上单调递减，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由二次函数性质可知，要使函数在上单调递减，只需，
解得，即的取值范围为.
故选：A
5. 已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】当时，，解得，不合题意；
当时，，解得.
故选：.
6. 不等式的解集中恰有三个整数，则实数的取值范围为（ ）
A.
B. 或
C. 或
D. 或
【答案】D
【解析】，
①当时，明显不符合题意；
②当时，不等式的解集为，
由于不等式的解集中恰有三个整数，则整数为2，3，4，故；
③当时，不等式的解集为，
由于不等式的解集中恰有三个整数，则整数为0，，，故.
所以实数的取值范围为或.
故选：D.
7. 数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设一个三角形的三边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．现有一个三角形的周长为12，，则此三角形面积的最大值为（ ）
A. 4B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意得，，
则，
当且仅当时，等号成立，此时三角形的面积有最大值，且最大值为．
故选：C
8. 已知则下列选项错误的是（ ）
A.
B.
C.
D
【答案】C
【解析】由题意可知表示中的最小值，表示中的最大值．
对于选项A，因为，分别取中的一个最小值与一个最大值，
所以，故A正确．
对于选项B，当，则，，
所以；
当时，，，所以．
综上所述，，故B正确．
对于选项C，取，则，
而，此时，故C错误．
对于选项D，当，即时，，
因为，所以，，所以；
当，即时，，
因为，所以，，所以．
综上所述，，故D正确．
故选：C．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数的图象经过点，则（ ）
A. 的图象经过点
B. 的图象关于y轴对称
C. 在定义域上单调递减
D. 在内的值域为
【答案】AD
【解析】将点的坐标代入，可得，则，
所以的图象经过点，A正确；
根据幂函数的图象与性质可知为奇函数，图象关于原点对称，在定义域上不具有单调性，函数在内值域为，故BC错误，D正确，
故选：AD．
10. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，则
C. 若，，则D. 若，，则
【答案】BCD
【解析】对于A，若，则，故A错误；
对于B，可知，不等式两侧同乘以，有，故B正确；
对于C，利用作差法知，
由，，知，
即，故C正确；
对于D，由，知，由不等式同向可加性的性质知D正确.
故选：BCD
11. 高斯函数是数学中的一个重要函数，在自然科学、社会科学以及工程学等领域都能看到它的身影． 设，用符号表示不大于的最大整数，如称函数叫做高斯函数． 下列关于高斯函数的说法正确的有（ ）
A.
B. 若，则
C. 函数的值域是
D. 函数在上单调递增
【答案】ABD
【解析】对A，由高斯函数的定义，可得，故A正确；
对B，若，则，而表示不大于x的最大整数，则，即，故B正确；
对C，函数，当时，，故C错误；
对D，函数，即函数为分段函数，在上单调递增，故D正确.
故选：ABD.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 二次不等式的解集为，则的值为_______.
【答案】6
【解析】二次不等式的解集为，
则，且的两个根为和.
所以，解得.
所以
13. 已知函数是奇函数，且当时，，则______，
当时，______.
【答案】1
【解析】设，则，又因为， ，
所以，
是奇函数，，所以，
即，且.
故答案为：1
14. 函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数.已知函数图象成中心对称，则：__________.
【答案】
【解析】设函数图象的对称中心为，
设，则为奇函数，
且，则，
即，即，
整理得，于是，解得，
因此函数图象的对称中心为，则，
令，
则，
于是，解得，
所以.
故答案为：
四、解答题：本大题共5小题，其中15小题13分，16题与17题每小题15分，18题与19题每小题17分，共77分.
15. 已知函数

（1）求的值；
（2）在给出的坐标系中画出函数的大致图象，并写出函数的单调区间和值域.
解：（1）函数，则，所以.
（2）当时，，其图象是直线在轴及左侧部分；
当时，，其图象是抛物线在轴右侧部分，
函数的大致图象，如图：

函数的递增区间为，递减区间为，
当时，；当时，，
所以函数的值域是.
16. 设集合，.
（1）若，求；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数m的取值范围.
解：，
（1）时，，
∴；
（2）“”是“”的充分不必要条件，即⫋，
又且，
∴，解得；
17. 如图，在周长为8的矩形中（其中），现将沿折叠到，设与交于点，设，.
（1）求的周长；
（2）试用表示，并求的取值范围；
（3）当为何值时，的面积取得最大值，并求出该最大值.
解：（1）依题意，，
则≌，于是,
因此，
所以的周长为定值4.
（2）由折叠知，则，即,
由（1）知，即，则，
在中，由勾股定理得，
即，化简得，
而,，则且，即，
所以，.
（3）在中,，，
则，当且仅当，即时等号成立，所以当时，的面积取得最大值，为.
18. 已知函数是定义在上的奇函数，且
（1）求的值；
（2）用定义法判定的单调性；
（3）求使成立的实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）在上是增函数.
（3）.
解：（1）因为函数是定义在上的奇函数，
所以，得，解得，
验证：当时，.
由题意，的定义域关于原点对称.
且任意，都有，
所以是奇函数，满足题意.
故.
（2）在上是增函数.
由（1）知，，.
证明：设，且，
则，
，，，
，，
∴fx在上是增函数.
（3），
因为是定义在上的奇函数，
所以，
则，
由（2）知在上是增函数，
所以，即，解得.
故实数的取值范围是.
19. 对于集合M，定义函数对于两个集合，定义集合.已知
（1）写出和的值，并用列举法写出集合；
（2）用表示有限集合M所含元素的个数，求的最小值；
（3）有多少个集合对，满足，，且？
解：（1），，.
（2）根据题意可知：对于集合，
若且，则；
若且，则.
所以要使的值最小，2，4，8一定属于集合；1，6，10，16是否属于不影响的值；集合不能含有之外的元素.所以当为集合{1，6，10，16}的子集与集合{2，4，8}的并集时，取到最小值4.
（3）因为，
所以.
由定义可知：.
所以对任意元素，，
.
所以.
所以.
由知：.
所以.
所以.
所以，即.
因为，
所以满足题意的集合对的个数为.