2022-2023学年广东省惠州市博罗县高二上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年广东省惠州市博罗县高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知向量，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由空间向量的坐标运算求解

【详解】，，则

故选：C

2．已知圆的一般方程为，其圆心坐标是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据圆的方程即得.

【详解】因为圆的圆心为，

则圆的圆心坐标是.

故选：C．

3．若直线经过第一、二、三象限，则有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据直线所过的象限判断斜率、截距的符号即可.

【详解】因为直线经过第一、二、三象限，

所以直线的斜率，在y轴上的截距.

故选：A

4．已知，，且，则向量与的夹角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据向量数量积列出方程，求出x＝1，利用向量夹角公式计算出答案.

【详解】∵

∴x＝1，

∴，

∴，

又∵，

∴向量与的夹角为

故选：D.

5．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（    ）

A． B． C． D．与斜交

【答案】A

【分析】根据平面的法向量与直线的方向向量平行，从而得到直线与平面垂直.

【详解】由题意得：，则，.

故选：A

6．设x，，向量，，且，，则（    ）

A． B． C．3 D．4

【答案】C

【分析】根据，，解得x，y，然后由空间向量的模公式求解.

【详解】因为向量，，且由得，由，得 解得，所以向量，，

所以，

所以

故选：C

7．已知，，过点且斜率为的直线l与线段AB有公共点，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】画出图形，由图可知，或，从而可求得答案

【详解】因为过点且斜率为的直线l与线段AB有公共点，

所以由图可知，或，

因为或，

所以或，

故选：D

8．直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为（    ）

A．2x＋3y－12＝0 B．2x＋3y＋12＝0 C．3x－2y－6＝0 D．2x＋3y＋6＝0

【答案】B

【分析】先求出定点M的坐标，再设出与直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程，利用点到直线距离公式求出答案.

【详解】由ax＋y＋3a－1＝0得，

由，得，∴M（－3，1）．

设直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为，

∴，解得:C＝12或C＝－6（舍去），

∴直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为2x＋3y＋12＝0．

故选：B．

二、多选题

9．已知向量，则下列结论不正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】利用向量坐标运算法则直接求解．

【详解】解：向量，

，，，故正确；

，1，，故错误；

，故错误；

，故正确．

故选：．

10．已知直线，则下列结论正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则或

C．若，则 D．若，则

【答案】AC

【分析】根据两直线平行列出方程，求出或，经检验，不合要求；

再根据两直线垂直列出方程，求出.

【详解】令，解得：或．当时，与重合；当时，．A正确，B错误．

若，则，解得，C正确，D错误．

故选：AC

11．下列说法正确的是（    ）

A．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率

B．直线与直线的距离为1

C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2

D．经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为

【答案】AC

【分析】对于A，当直线与轴垂直时没有斜率；对于B，两平行线之间的距离公式可以判断；对于C，直线与两坐标轴交点为，，由此能判断；对于D，经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为，．

【详解】对于A，任意一条直线都有倾斜角，但当直线与轴垂直时没有斜率，故A正确；

对于B，直线与直线的距离为，故B错误；

对于C，直线与两坐标轴交点为，，

直线与两坐标轴围成的三角形的面积是，故C正确；

对于D，当直线在轴上截距时，直线在轴上截距，

此时直线过点，，直线方程为，即，

当直线在轴上截距时，直线在轴上截距，

设直线方程为，把代入得，解得，

直线方程为，即，

经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为，，故D错误．

故选：AC．

12．如图，在长方体中，，点P是线段上的动点，则下列结论正确的是（    ）

A．当时，B、P、三点共线

B．当时，

C．当时，平面

D．当时，平面

【答案】ACD

【分析】如图，以D为原点，为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设，表示出的坐标，再逐个分析判断即可.

【详解】解：如图，以D为原点，为x，y，z轴建立空间直角坐标系：

则，

，

设，，则，

可得，

，

对于A：当时，则点P为对角线的中点，

根据长方体性质可得三点共线，故A正确；

对于B：当时，

∴，解得，

所以，

则，

因此不正确，故B错误；

对于C：当时，，

设平面的法向量为，

，

∴，，

当时，，，故，

∴，∴，

又平面，∴平面，故C正确；

对于D：当时，可得，，

设平面的法向量为，

则，，

取，则，∴，

而，∴，∴平面，故D正确．

故选：ACD

三、填空题

13．直线的斜率为______．

【答案】##

【分析】化直线方程为斜截式，可得出所求直线的斜率.

【详解】化直线方程为斜截式得，故直线的斜率为.

故答案为：.

14．我国近代数学家苏步青主要从事微分几何学和计算几何学等方面的研究，在仿射微分几何学和射影微分几何学等研究方面取得了出色成果．他的主要成就之一是发现了四次代数锥面：对于空间中的点P（x，y，z），若其坐标满足关于x，y， z的四次代数方程式，称点P的轨迹为四次代数曲面．若点K（1，k，0）是四次曲面：上的一点，则k＝___．

【答案】2

【分析】由题意得，从而可求出的值

【详解】因为点K（1，k，0）是四次曲面：上的一点，

所以，得，解得，

故答案为：2

15．过直线和直线的交点，且斜率为-1的直线的一般式方程为______.

【答案】

【详解】解析过程略

四、双空题

16．如图所示，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，.若，则______；则的长为______.

【答案】     3    

【解析】根据条件可得,再结合条件利用向量相等求出x,y,z的值;结合条件直接由,求出即可.

【详解】解:由题意,知在平行六面体中,,

则,

因为,所以,所以.

因为底面是边长为1的正方形,侧棱的长为2,,

所以

.

故答案为:3;.

【点睛】本题考查了利用向量相等求参数,向量的数量积和向量的模,考查了方程思想,属中档题.

五、解答题

17．已知平面直角坐标系内两点A（4，0），B（0，3）.

(1)求直线AB的方程；

(2)若直线l平行于直线AB，且到直线AB的距离为2，求直线l的方程.

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）由直线方程的两点式可求解；

（2）根据直线的平行关系及平行直线之间的距离公式可求解.

【详解】（1）∵A（4，0），B（0，3）

由两点式可得直线AB的方程为，即.

（2）由（1）可设直线l：，

∴，解得或.

∴直线l的方程为或.

18．根据下列条件求圆的方程：

(1)圆心在点O（0，0），半径r＝3；

(2)圆心在点O（0，0），且经过点M（3，4）；

(3)以点A（2，5）、B（4，1）为直径．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据题意，直接可得答案；

（2）求出圆的半径，代入圆的标准方程，可得答案；

（3）根据题意，求出圆心的坐标和半径，将其代入圆的标准方程，可得答案．

【详解】（1）根据题意，圆心为点O（0，0），半径r＝3，

则圆的方程为x2+y2＝9；

（2）圆心在点O（0，0），且经过点M（3，4），

所以圆的半径r5，圆的方程为x2+y2＝25；

（3）圆的圆心为AB的中点，其坐标为（3，3），

半径r|AB|，

所以圆的方程为（x﹣3）2+（y﹣3）2＝5．

19．已知．

(1)若，求实数k的值；

(2)若，求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据已知向量垂直有，应用空间向量数量积的坐标表示列方程，求的值.

（2）由题设得，应用空间向量夹角的坐标表示求即可

【详解】（1），

，

由，即，

∴，解得:；

（2）由已知得：，，

.

20．如图，在正方体中，棱长为2，M、N分别为、AC的中点．

(1)证明：平面；

(2)求与平面所成角的大小．

【答案】(1)证明见解析

(2)30°

【分析】（1）以点D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，求出和平面的法向量，利用空间向量证明即可，

（2）求出平面的法向量，利用空间向量求解即可.

【详解】（1）如图，以点D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴建立空间直角坐标系．

则，，，，，，．

所以，

因为平面,

所以平面的一个法向量为，

因为，所以，

因为平面，

所以平面

（2），，．

设平面的一个法向量为

则，令，则，，

所以

设与平面所成角为，

则．

因为，

所以与平面所成角为30°．

21．如图，在正四棱柱中，已知，，E，F分别为，上的点，且．

(1)求证：平面ACF：

(2)求点B到平面ACF的距离．

【答案】(1)证明见详解.

(2).

【分析】（1）以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系通过证明与平面的一个法向量重合来证明平面.

（2）利用点面距离公式即可计算出点到平面的距离.

【详解】（1）以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：

则,

设面的一个法向量为，，

可得，即，不妨令则,

平面.

（2），则点到平面的距离为.

22．如图，在四棱锥中，是边长为2的正三角形，，，，，，，分别是线段，的中点.

(1)求证：平面平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见详解.

(2)

【分析】（1）过作交于，利用勾股定理证得，进而得到，进而证得平面，故平面平面；

（2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再代入算得结果.

【详解】（1）如图，在四边形中，过作交于，在中，得，，则，得，

，

又由已知条件平面，

故平面，

又平面平面平面.

（2）为等腰三角形，，又因为平面，

以为原点建立空间直角坐标系，

如图：可得，

，

设平面的法向量为，根据

，得，令，则，得，

又，设直线与平面所成角为，则，

故直线与平面所成角的正弦值.