2022-2023学年广东省惠州市博罗县高一上学期期中考试数学试题

博罗县2022-2023学年度高中数学期中考试卷

高一数学

考试时间：120分钟

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

一、单选题(共40分)

1．已知全集，集合，则（    ）

A． B． C． D．

2．命题“对任意，都有”的否定为（    ）

A．对任意，都有 B．对任意，都有

C．存在，使得 D．存在，使得

3．设集合，，若，则的范围是（    ）

A． B． C． D．

4．已知，，则M，N的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

5．“”是“”的（    ）

A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6．已知函数为一次函数，且，则（    ）

A． B． C． D．

7．已知函数，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

8．历史上第一个给出函数一般定义的是19世纪德国数学家狄利克雷(Dirichlet)，当时数学家们处理的大部分数学对象都没有完全的严格的定义，数学家们习惯借助于直觉和想象来描述数学对象，狄利克雷在1829年给出了著名函数：(其中为有理数集，为无理数集)，狄利克雷函数的出现表示数学家们对数学的理解发生了深刻的变化，数学的一些“人造”特征开始展现出来，这种思想也标志着数学从研究“算”转变到了研究“概念､性质､结构”.一般地，广义的狄利克雷函数可定义为：(其中，且)，以下对说法错误的是（    ）

A．定义域为

B．当时，的值域为；当时，的值域为

C．为偶函数

D．在实数集的任何区间上都不具有单调性

二、多选题(共20分)

9．与不等式的解集相同的不等式有（    ）

A． B．

C． D．

10．中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二问：物几何?”现有如下表示：已知，，，若，则下列选项中符合题意的整数为（    ）

A．8 B．128 C．37 D．23

11. 有以下判断，其中是正确判断的有（    ）

A．与表示同一函数

B．函数的图象与直线的交点最多有1个

C．已知，若则.

D．若，则

12．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若小融从家到学校往返的速度分别为和 ，其全程的平均速度为，则下列选项正确的是（ ）

A． B．

C． D．

三、填空题(共20分)

13．已知为常数，函数为幂函数，则的值为______;

14．已知，，则的范围是__________.

15．已知为上的偶函数，且当时，，则不等式的解集为___________.

16．非空有限数集满足：若，，则必有，，．则满足条件且含有两个元素的数集______．（写出一个即可）

四、解答题(共70分)

17．已知集合，，．

(1)求；

(2)求

18．（1）已知是二次函数，且满足，，求解析式；

（2）已知，求的解析式．

19．已知函数.

(1)用单调性定义证明函数在上为减函数；

(2)求函数在上的最大值.

20．已知函数.

(1)当时，求不等式的解集；

(2)若时，的解集为，求的最小值.

21．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示，请根据图象．

(1)补充完整图象并写出函数的增区间；

(2)写出函数的解析式；

(3)若函数，求函数的最小值.

22．为响应国家提出的“大众创业万众创新”的号召，小王大学毕业后决定利用所学专业进行自主创业，生产某小型电子产品，经过市场调研，生产该小型电子产品需投入年固定成本万元，每生产万件，需另投入波动成本万元，已知在年产量不足万件时，，在年产量不小于万件时，，每件产品售价元，通过市场分析，小王生产的产品当年能全部售完.

(1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式（年利润年销售收入固定成本波动成本．）

(2)年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少？

参考答案：

13．或114．15．16．   （或）

详细解析

1．D

解：，，，

故．

2．C

解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“对任意，都有”的否定为：存在，使得．

3．B

由数轴可得，若，则.

4．A

，

所以．

5．B

解不等式，得

而集合是集合的真子集，所以“”是“”的充分而不必要条件

6．A

设，则，解得，

，．

7．D

因为

所以函数在上是减函数，

所以，

解得．

8．B

解：显然无理数集和有理数集的并集是实数集，故A正确；

的函数值只有两个，的值域为，故B错误；

若，则，；若，则，；

所以为偶函数，故C正确；

由于实数具有稠密性，任何两个有理数之间都有无理数，任何两个无理数之间也都有理数，其函数值在之间无间隙转换，所以在实数集的任何区间上都不具有单调性,

故D正确.

9．ABC

解：因为，二次函数的图象开口朝上，所以不等式的解集为，

A.，二次函数的图象开口朝下，所以的解集为；

B.，二次函数的图象开口朝上，所以不等式的解集为；

C.，二次函数的图象开口朝上，所以不等式的解集为；

D. ，所以或，与已知不符.

10．BD

解：对于A，因，则，选项A错误；

对于B，，即；又，即；而，即，因此，，选项B正确；

对于C，因，则，选项C错误；

对于D，，即；又，即；而，即，因此，，选项D正确.

11．BC

对于A，函数的定义域为，函数定义域为，

两函数的定义域不同，所以不是同一函数，故A错误；

对于B，若函数在处有定义，则的图象与直线的交点有1个；

若函数在处没有定义，则的图象与直线没有交点，故B正确；

对于D，由，可得，所以，故D错误；

12．AD

解：设甲、乙两地之间的距离为，则全程所需的时间为，

，

，由基本不等式可得，

，

又，

所以，

，所以.

13．或1

解：因为函数为幂函数，则，

即，解得或.

14．

解：，

15．

解：∵为上的偶函数，且当时，，

所以可知函数图象关于轴对称，可得函数图象如图所示，

又不等式等价于或，

由图象可得.

16． （或）

解：不妨设，根据题意有，ab， 所以，，中必有两个是相等的．

若，则，故，又或，所以（舍去）或或，此时．

若，则，此时，故，此时．若，则，此时，故，此时．

综上，或．

四、解答题(根据学生的实际解题方法和过程酌情给分).

17．(1)利用集合的交集运算，可知......................................................4分

(2)利用补集运算，可知，..............................................7分

再利用集合的并集运算，可得..........................10分

18．解：(1)令  ，......................................................................1分

因为，所以，则...............................................................2分.

由题意可知：

即....................................................................................................................4分

得，所以....................................................................................................5分

所以...............................................................................................................6分

（2）法一：配凑法

根据........................................................9分

可以得到.................................................................................................12分

法二：换元法

令，则.........................................................................................................8分

......................................................................10分

............................................................................................................12分

19．（1）证明：设对任意的，则

.................................................................2分

由题设可得，，.............................................................4分

，即....................................................................................5分

故函数在上为减函数...............................................................................................6分

（2）的定义域为关于原点对称，

由题知，

是奇函数.........................................................................................................................8分

又由（1）得在上为减函数，

在上也是减函数.............................................................................................10分

函数在上的最大值为................................................12分

20．(1)当时，，解得或，

故不等式的解集为或；...............................................................4分

(2)  若的解集为，则为的两个根，则，.........................................................................................................6分

则，.....................................................................................................................7分

，...............................................10分

当且仅当即时取等号，....................................................................11分

故的最小值为9.............................................................................................................12分

21.（1）解：因为函数是定义在上的偶函数，所以函数的图象关于轴对称，

由对称性即可补充完整图象，如图所示：

............................................................................................................2分

由图可知，函数的递增区间为和；............................................................3分

（2）解：根据题意，当时，，所以，

因为函数是定义在上的偶函数，所以，.................6分

所以，........................................................................................................7分

（3）

解：当时，，对称轴为，............8分

当，即时，在上递增，所以；.....................9分

当，即时，在上递减，所以；................10分

当，即时，在上递减，在上递增，

所以，..........................................................................................11分综上，函数的最小值．............................................12分

22．（1）解：当时，，..............2分

当时，，..........................................4分

故年利润关于的函数关系式为．.................................5分

（2）解： 由（1）知，，

当时，，

故在上单调递增，在上单调递减，

所以，............................................................................................................8分

当时，，

当且仅当，即时，等号成立，..........................................................................11分

故当年产量为万件时，所获利润最大，最大利润为万元．.........................................12分