广东省惠州市博罗县2024-2025学年高二上学期阶段性教学质量检测数学试卷（解析版）

这是一份广东省惠州市博罗县2024-2025学年高二上学期阶段性教学质量检测数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第I卷（选择题，共58分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设直线的倾斜角为，
由题意可得，故.故选：C.
2. 已知，，且，则实数t的值为（ ）
A. B. 3C. 4D. 6
【答案】B
【解析】因为，所以，解得.故选：B.
3. 已知直线经过点，且与直线垂直，则直线的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】直线与直线垂直，设直线的方程是，
将代入直线中，，解得，故直线的方程为.
故选：D.
4. 如图所示，在三棱锥中，为的中点，设，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题意可得：
.
故选：A.
5. 已知圆经过点，则圆在点P处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因圆经过点，
将点代入圆的方程可得：.即，所以，
则圆的方程为.
对于圆，其圆心坐标为，所以此圆的圆心.：
根据斜率公式，这里，，则.
因为圆的切线与圆心和切点连线垂直，若两条垂直直线的斜率分别为和，则.
已知，所以切线的斜率.
又因为切线过点，根据点斜式方程（这里），
可得切线方程为.整理得.
故选：A.
6. 已知在圆外，则直线与圆的位置关系是（ ）
A.相交B. 相切
C. 相离D. 以上皆有可能
【答案】A
【解析】由题意圆的圆心，半径，
由在圆外，得，
则圆心到直线的距离，
故直线与圆相交.
故选：A.
7. 已知点，过点的直线与线段（含端点）有公共点，则直线的斜率的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为P，，
所以，
因为直线与线段AB（含端点）有公共点，则或，
故直线的斜率的范围为.
故选：D.
8. 阅读材料：数轴上，方程可以表示数轴上的点，平面直角坐标系中，方程（、不同时为0）可以表示坐标平面内的直线，空间直角坐标系中，方程（、、不同时为0）可以表示坐标空间内的平面.过点且一个法向量为n=a,b,c的平面的方程可表示为.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为平面的方程为，所以平面的法向量可取，
平面的法向量为，
平面的法向量为，
设两平面的交线的方向向量为，
由，令，则，
所以两平面的交线的方向向量为，
设直线与平面所成角的大小为，
则.
故选：A．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知两条直线方程分别为与，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则直线一定相交
D. 若，则两条平行直线之间的距离为
【答案】AC
【解析】对于A，当，则，解得，经检验，满足两直线平行，故A正确；
对于B，当，则，解得，故B错误；
对于，由选项A得：当，则直线一定相交，故正确
对于D，若，则，所以平行线间的距离，故D错误.
故选：A.
10. 已知圆，直线，则下列选项正确的是（ ）
A. 直线恒过定点
B. 直线与圆可能相切
C. 直线被圆截得的弦长的最小值为4
D. 当时，圆上到直线距离为2的点恰有三个
【答案】ACD
【解析】圆，故该圆半径为3.
对A，直线的方程整理可得，
由，得即直线恒过定点-1,1，故A正确．
对B，因为点-1,1在圆内部，所以直线与圆不可能相切，故B不正确．
对C，设点-1,1为，当时，直线被圆截得的弦长最小．
因为，所以直线被圆截得的弦长的最小值为，故C正确．
对D，圆心，半径为3，当时，直线的方程为．
因为圆心到直线的距离为，所以圆上到直线距离为2的点恰有三个，故D正确．
故选：ACD.
11. 如图，正方体的棱长为1，E为棱的中点，为底面正方形内（含边界）的动点，则（ ）

A. 三棱锥的体积为定值
B. 直线平面
C. 当时，点到平面的距离为
D. 当的正切值为2时，动点P的轨迹长度为
【答案】ACD
【解析】对于A，如图1，因，故A正确；
对于B，如图2建立空间直角坐标系，
则，
于是，，
设平面的法向量为，则，故可取，
由知与不垂直，
故直线与平面不平行，故B错误；
对于C，由上图建系，设P的坐标为，
当，有，
则，
设平面法向量，
则，故．
取平面一点A与点E构成，
所以点E到平面的距离，故C正确；
对于D，因为P为底面正方形的动点，当的正切值为2时，不变，由圆锥性质可知，动点P的运动轨迹是以为高，为母线的圆锥的底面圆周，
此时为底面半径r，又因为P在正方形内运动，所以P的轨迹是底面圆周的；当的正切值为，则为，所以P的轨迹长为，故D正确，故选：ACD．
第II卷（非选择题，共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知两条直线和相交，则这两条直线的交点坐标为______；
【答案】
【解析】由方程组，解得， 即交点为.
13. 已知，，求在上的投影向量______（用坐标表示）
【答案】
【解析】由，得，
在上的投影向量为.
14. 已知圆，为过的圆的切线，A为上任一点，过A作圆的切线AP，AQ，切点分别是P和Q，则四边形APNQ的面积最小值是__________．
【答案】
【解析】依题意，直线的斜率为，则直线的斜率为，
直线的方程为，
即，圆的圆心，半径，
因为为圆的切线，则，四边形的面积：
又到的距离，于是，
因此，
所以四边形APNQ的面积最小值为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 直三棱柱中，，，，分别是的中点．

（1）求的值；
（2）求证：⊥平面．
（1）解：直三棱柱中，平面，又，
以点为坐标原点，、、所在的直线分别为轴、轴、轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，

依题意得，，
∴，，，，，
所以；
（2）证明：求得，．
∴，，，
∴，，
∴，，即，
又平面，平面，，
∴⊥平面．
16. 已知圆的圆心在轴上，并且过和两点．
（1）求圆的标准方程；
（2）若直线被圆截得的弦长，求直线的方程．
解：（1）法一：依题意，设圆心的坐标为，
因为点和在圆上，所以，
则，
即，
解得，
所以，
则圆的半径，
所以圆的标准方程为．
法二：点和的中点为0,2，
且直线的斜率为，
则线段的垂直平分线的斜率为，
所以线段的垂直平分线方程为，
因为圆过和两点，所以圆心在线段的垂直平分线上，
因为圆心在轴上，所以圆心的坐标为2,0．
则圆的半径，
所以圆的标准方程为；
（2）直线的方程为，设圆心到直线的距离为，
则，
因为弦长，
所以，
则，化简得：，解得，
所以直线的方程为.
17. 已知直线过定点．
（1）求过点且在两坐标轴上截距相等的直线的方程；
（2）若直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点．
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）若三角形的面积为（为坐标原点），求的最小值并求此时直线的方程．
解：（1）将整理可得，
令，可得，所以直线过定点，
若直线在两坐标轴上截距都为零，可得直线的方程为；
若直线在两坐标轴上截距不为零且相等，设直线的截距式方程为，
代入点即可得，解得；
此时直线的方程为；
综上可知直线的方程为或；
（2）（ⅰ）显然，求得：，
依题意得：，解得；
（ⅱ）由（ⅰ）得三角形的面积为；
当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.
此时直线的方程为.
18. 在平面直角坐标系中，已知圆和圆．

（1）若直线过点，且与圆相切，求直线的方程；
（2）设为直线上的点，满足：过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等．试求满足条件的点的坐标．
解：（1）由圆的方程知：圆心，半径；
当直线斜率不存在时，即，此时直线与圆显然相切，满足题意；
当直线斜率存在时，设其方程为：，即，
圆心到直线的距离，解得：，
直线方程为：，即；
综上所述：直线方程为或.
（2）由圆的方程知：圆心，半径；
设点，
①当过的直线斜率不存在时，则方程为：，方程为：；
则被圆截得的弦长为：；
被圆截得的弦长为，解得：或；
或；
②当过的直线斜率为时，直线斜率不存在，此时与圆相离，不合题意；
③当过的直线斜率存在且不为时，
设，则，
即，，
圆心到直线的距离；
圆心到直线的距离；
直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，
，即，，
又，，，，
当时，整理可得：，
满足题意的直线有无数对，，解得：，即；
当时，整理可得：，
满足题意的直线有无数对，，方程组无解；
综上所述：满足条件的点的坐标为.
19. 如图①所示，矩形中，，，点M是边CD的中点，将沿AM翻折到，连接PB，PC，得到图②的四棱锥，N为PB中点．
（1）求证：平面；
（2）若平面平面，求直线BC与平面所成角的大小；
（3）设的大小为θ，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值．
（1）证明：取中点，连接，
由N为PB中点，得，
依题意，，则，
于是四边形是平行四边形，，而平面，平面，所以平面.
（2）解：取中点，连接，由，得，而平面平面，
平面平面平面，则平面，
过作，则平面，又平面，于，
在矩形中，，，则，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
，
设平面的法向量为，则，
令，得，
设直线BC与平面所成的角为，则，
所以直线BC与平面所成角的大小为.
（3）解：连接，由，得，
而，则为的平面角，即，
过点作平面，以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，，，
显然平面，平面，则平面平面，
在平面内过作于点，则平面，
设，而，则，，，
即，，
所以，
于是，，
设平面PAM的法向量为，
则，
令，得，设平面的法向量为，
因为，，
则，
令，得，
设平面和平面为，
则
令，，则，即，
则当时，有最小值，
所以平面和平面夹角余弦值的最小值为．