2022-2023学年广东省惠州市博罗县高一上学期期中数学试题(解析版)
展开一、单选题
1.已知全集,集合,则( )
A.B.C.D.
【答案】D
【分析】由集合的交并补运算即可求解.
【详解】,,,
故.
故选:D
2.命题“对任意,都有”的否定为( )
A.对任意,都有B.对任意,都有
C.存在,使得D.存在,使得
【答案】C
【分析】根据含有一个量词的命题的否定,即可得答案.
【详解】因为全称命题的否定是特称命题,
所以,命题“对任意,都有”的否定为:存在,使得.
故选:C
3.设集合,,若,则的范围是( )
A.B.C.D.
【答案】B
【分析】结合数轴分析即可.
【详解】
由数轴可得,若,则.
故选:B.
4.设,则( )
A.B. C.D.
【答案】A
【分析】利用作差法即得.
【详解】因为
恒成立,
所以.
故选:A.
5.“”是“”的( )
A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】分析两个集合和的关系,从而推出命题之间的关系
【详解】解不等式,得
而集合是集合的真子集,所以“”是“”的充分而不必要条件
故选:B
6.已知函数为一次函数,且,则( )
A.B.C.D.
【答案】A
【分析】先求出函数的解析式,再把1代入即可求解.
【详解】设,则,解得,
,.
故选:A
7.已知函数,则不等式的解集为( ).
A.B.
C.D.
【答案】A
【分析】分析的单调性,利用单调性即可解得不等式.
【详解】当时,单调递减,且;
当时,单调递减,且;
故在上单调递减,所以,解得.
故选:A.
8.历史上第一个给出函数一般定义的是19世纪德国数学家狄利克雷(Dirichlet),当时数学家们处理的大部分数学对象都没有完全的严格的定义,数学家们习惯借助于直觉和想象来描述数学对象,狄利克雷在1829年给出了著名函数:(其中为有理数集,为无理数集),狄利克雷函数的出现表示数学家们对数学的理解发生了深刻的变化,数学的一些“人造”特征开始展现出来,这种思想也标志着数学从研究“算”转变到了研究“概念、性质、结构”.一般地,广义的狄利克雷函数可定义为:(其中,且),以下对说法错误的是( )
A.定义域为
B.当时,的值域为;当时,的值域为
C.为偶函数
D.在实数集的任何区间上都不具有单调性
【答案】B
【解析】无理数集和有理数集的并集是实数集,A易判断;的函数值只有两个,故B易判断;分和两种情况,判断C即可;根据实数的稠密性易判断D项.
【详解】解:显然无理数集和有理数集的并集是实数集,故A正确;
的函数值只有两个,的值域为,故B错误;
若,则,;若,则,;
所以为偶函数,故C正确;
由于实数具有稠密性,任何两个有理数之间都有无理数,任何两个无理数之间也都有理数,其函数值在之间无间隙转换,所以在实数集的任何区间上都不具有单调性,
故D正确.
故选:B
二、多选题
9.与不等式的解集相同的不等式有( )
A.B.
C.D.
【答案】ABC
【分析】不等式的解集为,再求出各个选项的不等式的解,即得解.
【详解】解:因为,二次函数的图象开口朝上,所以不等式的解集为,
A.,二次函数的图象开口朝下,所以的解集为;
B.,二次函数的图象开口朝上,所以不等式的解集为;
C.,二次函数的图象开口朝上,所以不等式的解集为;
D. ,所以或,与已知不符.
故选:ABC
10.中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题:“今有物,不知其数,三三数之,剩二;五五数之,剩三;七七数之,剩二问:物几何?”现有如下表示:已知,,,若,则下列选项中符合题意的整数为( )
A.8B.128C.37D.23
【答案】BD
【分析】根据给定条件对各选项逐一分析计算即可判断作答.
【详解】对于A,因,则,选项A错误;
对于B,,即;又,即;而,即,因此,,选项B正确;
对于C,因,则,选项C错误;
对于D,,即;又,即;而,即,因此,,选项D正确.
故选:BD
11.有以下判断,其中是正确判断的有( )
A.与表示同一函数
B.函数的图象与直线的交点最多有1个
C.已知,若则.
D.若,则
【答案】BC
【分析】根据函数定义域即可判断A选项;根据函数的映射不可以一对多即可判断B选项;根据即可判断C选项;先求,再求即可求解.
【详解】对于A,函数的定义域为,函数定义域为,
两函数的定义域不同,所以不是同一函数,故A错误;
对于B,若函数在处有定义,则的图象与直线的交点有1个;
若函数在处没有定义,则的图象与直线没有交点,故B正确;
对于C,,所以,
所以,所以,若则,故C正确;
对于D,由,可得,所以,故D错误;
故选:BC.
12.十六世纪中叶,英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用,后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号,并逐渐被数学界接受,不等号的引入对不等式的发展影响深远.若小融从家到学校往返的速度分别为和 ,其全程的平均速度为,则下列选项正确的是( )
A.B.
C.D.
【答案】AD
【分析】设两地的距离为,计算出全程的平均速度,然后利用基本不等式得出与和的大小关系,再利用作差法比较与的大小关系,从而得出正确选项.
【详解】设甲、乙两地之间的距离为,则全程所需的时间为,
,
,由基本不等式可得,
,
又,
所以,
,
所以.
故选:AD.
三、填空题
13.已知为常数,函数为幂函数,则的值为______;
【答案】或1
【分析】根据幂函数的定义可得,解方程即可.
【详解】解:因为函数为幂函数,则,
即,解得或.
故答案为:或1.
14.已知,,则的范围是__________.
【答案】
【分析】根据不等式的性质即可得解.
【详解】,
故答案为:
15.已知为上的偶函数,且当时,,则不等式的解集为___________.
【答案】
【分析】由题可得函数的图象,又不等式等价于或,即得.
【详解】∵为上的偶函数,且当时,,
所以可知函数图象关于轴对称,可得函数图象如图所示,
又不等式等价于或,
由图象可得.
故答案为:.
16.非空有限数集满足:若,,则必有,,.则满足条件且含有两个元素的数集______.(写出一个即可)
【答案】(或)
【分析】设,结合题意与集合的性质分析即可.
【详解】不妨设,根据题意有,ab, 所以,,中必有两个是相等的.
若,则,故,又或,所以(舍去)或或,此时.
若,则,此时,故,此时.若,则,此时,故,此时.
综上,或.
故答案为:(或)
四、解答题
17.已知集合,,.
(1)求;
(2)求.
【答案】(1)
(2)或
【分析】根据集合间的运算直接得解.
【详解】(1)由,,得;
(2)由,,得或,
故或.
18.(1)已知是二次函数,且满足,,求解析式;
(2)已知,求的解析式.
【答案】(1) ;(2).
【分析】(1)设出二次函数代入,对应系数相等即可.
(2)法一:把的右边配成的表达式,然后整体换成即可.
法二:换元,求出代入找到与的关系,然后换成即可.
【详解】(1)令 ,.
因为,所以,则.
由题意可知:
即.
得,所以.
所以
(2)法一:配凑法
根据.
可以得到.
法二:换元法
令,则
.
.
19.已知函数.
(1)用单调性定义证明函数在上为减函数;
(2)求函数在上的最大值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)根据定义证明函数单调性即可.
(2)根据题意得到函数为奇函数且上为减函数,从而得到,即可得到结果.
【详解】(1)证明:设对任意的,则
由题设可得,,
,即.
故函数在上为减函数..
(2)由题知,
又的定义域为关于原点对称,
是奇函数.
又由(1)得在上为减函数,
在上也是减函数.
函数在上的最大值为.
20.已知函数.
(1)当时,求不等式的解集;
(2)若时,的解集为,求的最小值.
【答案】(1)或
(2)9
【分析】(1)直接解一元二次不等式即可;
(2)先由韦达定理得,再由结合基本不等式即可求解.
【详解】(1)当时,,解得或,故不等式的解集为或;
(2)若的解集为,则为的两个根,则,则,,当且仅当即时取等,
故的最小值为9.
21.已知函数是定义在上的偶函数,且当时,,现已画出函数在轴左侧的图象,如图所示,请根据图象.
(1)补充完整图象并写出函数的增区间;
(2)写出函数的解析式;
(3)若函数,求函数的最小值.
【答案】(1)图见解析,递增区间为和
(2)
(3)
【分析】(1)根据偶函数的对称性即可补充完整图象,由图象即可写出函数的增区间;
(2)当时,,则,然后由偶函数的定义即可得,从而可得的解析式;
(3)由(2),结合二次函数在闭区间上最值的求解方法即可得答案.
【详解】(1)解:因为函数是定义在上的偶函数,所以函数的图象关于轴对称,
由对称性即可补充完整图象,如图所示:
由图可知,函数的递增区间为和;
(2)解:根据题意,当时,,所以,
因为函数是定义在上的偶函数,所以,
所以,
(3)解:当时,,对称轴为,
当,即时,在上递增,所以;
当,即时,在上递减,所以;
当,即时,在上递减,在上递增,所以,
综上,函数的最小值.
22.为响应国家提出的“大众创业万众创新”的号召,小王大学毕业后决定利用所学专业进行自主创业,生产某小型电子产品,经过市场调研,生产该小型电子产品需投入年固定成本万元,每生产万件,需另投入波动成本万元,已知在年产量不足万件时,,在年产量不小于万件时,,每件产品售价元,通过市场分析,小王生产的产品当年能全部售完.
(1)写出年利润(万元)关于年产量(万件)的函数解析式(年利润年销售收入固定成本波动成本.)
(2)年产量为多少万件时,小王在这一产品的生产中所获年利润最大?最大年利润是多少?
【答案】(1)
(2)当年产量为万件时,所获利润最大,最大利润为万元.
【分析】(1)根据已知条件,结合年利润年销售收入固定成本波动成本的公式,分,两种情况讨论,即可求解.
(2)根据已知条件,结合函数的单调性,以及基本不等式的公式,分别求解分段函数的最大值,再通过比较大小,即可求解.
【详解】(1)解:当时,,
当时,,
故年利润关于的函数关系式为.
(2)解: 由(1)知,,
当时,,
故在上单调递增,在上单调递减,
所以,
当时,,
当且仅当,即时,等号成立,
故当年产量为万件时,所获利润最大,最大利润为万元.
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