2022-2023学年广东省惠州市博罗县高一上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年广东省惠州市博罗县高一上学期期中数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由集合的交并补运算即可求解.
【详解】，，，
故．
故选:D
2．命题“对任意，都有”的否定为（ ）
A．对任意，都有B．对任意，都有
C．存在，使得D．存在，使得
【答案】C
【分析】根据含有一个量词的命题的否定，即可得答案.
【详解】因为全称命题的否定是特称命题，
所以，命题“对任意，都有”的否定为：存在，使得．
故选：C
3．设集合，，若，则的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】结合数轴分析即可.
【详解】
由数轴可得，若，则.
故选：B.
4．设，则（ ）
A．B． C．D．
【答案】A
【分析】利用作差法即得.
【详解】因为
恒成立，
所以．
故选：A.
5．“”是“”的（ ）
A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】分析两个集合和的关系，从而推出命题之间的关系
【详解】解不等式，得
而集合是集合的真子集，所以“”是“”的充分而不必要条件
故选：B
6．已知函数为一次函数，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求出函数的解析式，再把1代入即可求解.
【详解】设，则，解得，
，．
故选：A
7．已知函数，则不等式的解集为（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】分析的单调性，利用单调性即可解得不等式.
【详解】当时，单调递减，且；
当时，单调递减，且；
故在上单调递减，所以，解得．
故选：A．
8．历史上第一个给出函数一般定义的是19世纪德国数学家狄利克雷(Dirichlet)，当时数学家们处理的大部分数学对象都没有完全的严格的定义，数学家们习惯借助于直觉和想象来描述数学对象，狄利克雷在1829年给出了著名函数：(其中为有理数集，为无理数集)，狄利克雷函数的出现表示数学家们对数学的理解发生了深刻的变化，数学的一些“人造”特征开始展现出来，这种思想也标志着数学从研究“算”转变到了研究“概念､性质､结构”.一般地，广义的狄利克雷函数可定义为：(其中，且)，以下对说法错误的是（ ）
A．定义域为
B．当时，的值域为；当时，的值域为
C．为偶函数
D．在实数集的任何区间上都不具有单调性
【答案】B
【解析】无理数集和有理数集的并集是实数集，A易判断；的函数值只有两个，故B易判断；分和两种情况，判断C即可；根据实数的稠密性易判断D项.
【详解】解：显然无理数集和有理数集的并集是实数集，故A正确；
的函数值只有两个，的值域为，故B错误；
若，则，；若，则，；
所以为偶函数，故C正确；
由于实数具有稠密性，任何两个有理数之间都有无理数，任何两个无理数之间也都有理数，其函数值在之间无间隙转换，所以在实数集的任何区间上都不具有单调性,
故D正确.
故选：B
二、多选题
9．与不等式的解集相同的不等式有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】不等式的解集为，再求出各个选项的不等式的解，即得解.
【详解】解：因为，二次函数的图象开口朝上，所以不等式的解集为，
A.，二次函数的图象开口朝下，所以的解集为；
B.，二次函数的图象开口朝上，所以不等式的解集为；
C.，二次函数的图象开口朝上，所以不等式的解集为；
D. ，所以或，与已知不符.
故选：ABC
10．中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二问：物几何?”现有如下表示：已知，，，若，则下列选项中符合题意的整数为（ ）
A．8B．128C．37D．23
【答案】BD
【分析】根据给定条件对各选项逐一分析计算即可判断作答.
【详解】对于A，因，则，选项A错误；
对于B，，即；又，即；而，即，因此，，选项B正确；
对于C，因，则，选项C错误；
对于D，，即；又，即；而，即，因此，，选项D正确.
故选：BD
11．有以下判断，其中是正确判断的有（ ）
A．与表示同一函数
B．函数的图象与直线的交点最多有1个
C．已知，若则．
D．若，则
【答案】BC
【分析】根据函数定义域即可判断A选项；根据函数的映射不可以一对多即可判断B选项；根据即可判断C选项；先求，再求即可求解.
【详解】对于A，函数的定义域为，函数定义域为，
两函数的定义域不同，所以不是同一函数，故A错误；
对于B，若函数在处有定义，则的图象与直线的交点有1个；
若函数在处没有定义，则的图象与直线没有交点，故B正确；
对于C，，所以，
所以，所以，若则，故C正确；
对于D，由，可得，所以，故D错误；
故选：BC.
12．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若小融从家到学校往返的速度分别为和 ，其全程的平均速度为，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】设两地的距离为，计算出全程的平均速度，然后利用基本不等式得出与和的大小关系，再利用作差法比较与的大小关系，从而得出正确选项.
【详解】设甲、乙两地之间的距离为，则全程所需的时间为，
，
，由基本不等式可得，
，
又，
所以，
，
所以.
故选：AD.
三、填空题
13．已知为常数，函数为幂函数，则的值为______;
【答案】或1
【分析】根据幂函数的定义可得，解方程即可.
【详解】解：因为函数为幂函数，则，
即，解得或.
故答案为：或1.
14．已知，，则的范围是__________．
【答案】
【分析】根据不等式的性质即可得解.
【详解】，
故答案为：
15．已知为上的偶函数，且当时，，则不等式的解集为___________.
【答案】
【分析】由题可得函数的图象，又不等式等价于或，即得.
【详解】∵为上的偶函数，且当时，，
所以可知函数图象关于轴对称，可得函数图象如图所示，
又不等式等价于或，
由图象可得.
故答案为：.
16．非空有限数集满足：若，，则必有，，．则满足条件且含有两个元素的数集______．（写出一个即可）
【答案】（或）
【分析】设，结合题意与集合的性质分析即可.
【详解】不妨设，根据题意有，ab， 所以，，中必有两个是相等的．
若，则，故，又或，所以（舍去）或或，此时．
若，则，此时，故，此时．若，则，此时，故，此时．
综上，或．
故答案为：（或）
四、解答题
17．已知集合，，．
(1)求；
(2)求．
【答案】(1)
(2)或
【分析】根据集合间的运算直接得解.
【详解】（1）由，，得；
（2）由，，得或，
故或.
18．（1）已知是二次函数，且满足，，求解析式；
（2）已知，求的解析式．
【答案】（1） ；（2）．
【分析】（1）设出二次函数代入，对应系数相等即可.
（2）法一：把的右边配成的表达式，然后整体换成即可.
法二：换元，求出代入找到与的关系，然后换成即可.
【详解】（1）令 ，．
因为，所以，则．
由题意可知：
即.
得，所以．
所以
（2）法一：配凑法
根据．
可以得到．
法二：换元法
令，则
．
.
19．已知函数.
(1)用单调性定义证明函数在上为减函数；
(2)求函数在上的最大值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据定义证明函数单调性即可.
（2）根据题意得到函数为奇函数且上为减函数，从而得到，即可得到结果.
【详解】（1）证明：设对任意的，则
由题设可得，，
，即.
故函数在上为减函数..
（2）由题知，
又的定义域为关于原点对称，
是奇函数.
又由（1）得在上为减函数，
在上也是减函数.
函数在上的最大值为.
20．已知函数.
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若时，的解集为，求的最小值.
【答案】(1)或
(2)9
【分析】（1）直接解一元二次不等式即可；
（2）先由韦达定理得，再由结合基本不等式即可求解.
【详解】（1）当时，，解得或，故不等式的解集为或；
（2）若的解集为，则为的两个根，则，则，，当且仅当即时取等，
故的最小值为9.
21．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示，请根据图象．
(1)补充完整图象并写出函数的增区间；
(2)写出函数的解析式；
(3)若函数，求函数的最小值．
【答案】(1)图见解析，递增区间为和
(2)
(3)
【分析】（1）根据偶函数的对称性即可补充完整图象，由图象即可写出函数的增区间；
（2）当时，，则，然后由偶函数的定义即可得，从而可得的解析式；
（3）由（2），结合二次函数在闭区间上最值的求解方法即可得答案.
【详解】（1）解：因为函数是定义在上的偶函数，所以函数的图象关于轴对称，
由对称性即可补充完整图象，如图所示：
由图可知，函数的递增区间为和；
（2）解：根据题意，当时，，所以，
因为函数是定义在上的偶函数，所以，
所以，
（3）解：当时，，对称轴为，
当，即时，在上递增，所以；
当，即时，在上递减，所以；
当，即时，在上递减，在上递增，所以，
综上，函数的最小值．
22．为响应国家提出的“大众创业万众创新”的号召，小王大学毕业后决定利用所学专业进行自主创业，生产某小型电子产品，经过市场调研，生产该小型电子产品需投入年固定成本万元，每生产万件，需另投入波动成本万元，已知在年产量不足万件时，，在年产量不小于万件时，，每件产品售价元，通过市场分析，小王生产的产品当年能全部售完.
(1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式（年利润年销售收入固定成本波动成本．）
(2)年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少？
【答案】(1)
(2)当年产量为万件时，所获利润最大，最大利润为万元．
【分析】（1）根据已知条件，结合年利润年销售收入固定成本波动成本的公式，分，两种情况讨论，即可求解．
（2）根据已知条件，结合函数的单调性，以及基本不等式的公式，分别求解分段函数的最大值，再通过比较大小，即可求解．
【详解】（1）解：当时，，
当时，，
故年利润关于的函数关系式为．
（2）解： 由（1）知，，
当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
所以，
当时，，
当且仅当，即时，等号成立，
故当年产量为万件时，所获利润最大，最大利润为万元．