陕西省韩城市2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试卷（解析版）

这是一份陕西省韩城市2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试卷（解析版），共11页。试卷主要包含了 已知数列满足，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.本试卷共4页，满分150分，时间120分钟.
2.答卷前，考生须准确填写自己的姓名、准考证号，并认真核准条形码上的姓名、准考证号.
3.回答选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题卷不回收.
第Ⅰ卷（选择题 共58分）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 数列，，，，…的第9项是（ ）
A. B. 19C. D. 17
【答案】D
【解析】数列，，，，…，的通项公式可以为，
所以.
故选：D
2. 已知函数在处的导数为3，则（ ）
A. 6B. 3C. D.
【答案】A
【解析】，
故选：A．
3. 已知函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为函数在上单调递增，所以f'x≥0，故排除B、D；
又函数增长趋势越来越快，在1,f1处切线的斜率为f'1，
在处切线的斜率为，在处切线的斜率为，
由图可知.
故选：C
4. 已知等差数列的前项和为，若，，则当取得最小值时，（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】B
【解析】等差数列中，，，则，
因此数列是递增等差数列，前5项均为负数，从第6项起为正，
所以当取得最小值时，.
故选：B
5. 已知函数y=fx，其导函数y=f'x的图象如图所示，则对于y=fx的描述正确的是（ ）
A. 在区间上单调递减
B. 当时取得最大值
C. 在区间上单调递减
D. 当时取得最小值
【答案】C
【解析】由图可知，时，，为增函数；
时，，为减函数；当时，有极大值，不一定为最大值；
时，，为增函数；当时，有极小值，不一定为最小值；
时，，为减函数；
综上可得只有C正确.
故选：C
6. 已知数列满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，
当，两式做差得：
，
故，当，，符合；故.
故选：D
7. 设函数，若 且， 则下列不等式恒成立的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】由于，且定义域关于原点对称，所以函数为偶函数，
当时，，故函数在上递增，
结合函数为偶函数可知，函数在上递减，
所以等价于，也即，
故选：D.
8. 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年．因龙被视为中华古老文明的象征，再加上大型龙类风筝放飞场面壮观，气势磅礴而广受喜爱．某团队耗时3个多月做出一长达180米、重约20公斤，“龙身”共有140节“鳞片”的巨龙风筝．制作过程中，风筝骨架可采用竹子制作，但竹子易断，还有一种耐用的碳杆材质也可做骨架，但它比竹质的成本高．最终团队决定鳞片骨架按图中规律创作．则所有鳞片中竹质鳞片个数为（ ）

A. 120B. 124C. 128D. 130
【答案】B
【解析】根据题意，分析可得：第个碳杆材质的鳞片和第个碳杆材质的鳞片之间有个竹质鳞片，
假设有个碳杆材质的鳞片，
则，
化简为 ①，
如果只有个碳杆材质鳞片，则骨架总数少于
所以，
化简为②，
联立①②，又,解得，
即需要个碳杆材质的鳞片，
故需要个竹质鳞片.
故选：
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 若数列为递增数列，则的通项公式可以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】对于A：，
所以，所以为递增数列，故A正确；
对于B：，所以，所以为递增数列，故B正确；
对于C：因为，则，，所以不单调，故C错误；
对于D：，所以，所以为递增数列，故D正确；故选：ABD
10. 已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A. ，
B. 函数可能无极值点
C. 若是的极值点，则
D. 若是的极小值点，则在区间单调递减
【答案】ABC
【解析】函数，，
当时，，当时，，
又当时，，当时，，
又为连续函数，所以，，故A正确；
当时，则，
所以在上单调递增，无极值点，故B正确；
三次函数是连续的，若是的极值点，则，故C正确；
若是的极小值点，即，则必有两个不相等的实数根，
又在上单调递减，在上单调递增，
当时，，当时，，
所以有极大值点且，
此时在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故D错误．
故选：ABC．
11. 设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，若，，且，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 数列中的最大值是D. 数列无最大值
【答案】ABC
【解析】由，，可得为单调递减的数列且，
由可得，.
A选项：，显然A正确；
B选项：，根据等比中项可得，显然B正确；
C选项：由，为单调递减的数列且，
可知an的前2023项（包含2023项）都大于1，从第2024项（包含2024项）往后都小于1，
所以数列中的最大值是，所以C正确；
D选项：由C正确可知，有最大值，所以D错误.故选：ABC.
第Ⅱ卷（非选择题 共92分）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知函数，则_________．
【答案】
【解析】由题，
所以，
则.
故答案为：.
13. 在正项等比数列中，为其前项和，若，，则的值为______.
【答案】35
【解析】因为正项等比数列中，为其前项和，则也是等比数列．且，，所以，则，则．
故答案为：．
14. 设且，若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】当时，在定义域上单调递减，在定义域上单调递增，
由图可知与只有一个交点，不符合题意；
当时，设，则在0,+∞上有个不相等实数根，
则必有在上存在变号零点，
因为，又在0,+∞上单调递增，
设，即有，
则当x∈0,x0时，，在上单调递减，
当x∈x0,+∞时，，上在单调递增，
且，x趋于时，fx趋于，
所以只需，
所以，
即，即，即，即，即，解得，
又，所以；
综上可得的取值范围是．
故答案：．
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 求下列函数的导数：
（1）；
（2）.
解：（1）因为，
所以；
（2）因为，
所以.
16. 已知等比数列前项和为．公比，若，．
（1）求的通项公式；
（2）证明：．
解：（1）由．得，
解得或（舍去），所以．
（2）因为，且，
所以，
所以．
17. 已知函数，.
（1）若，求曲线y=fx在点处的切线方程；
（2）若在0,+∞上恒成立，求的取值范围.
解：（1）当时，，
则，，则，
曲线y=fx在点处的切线方程为，即．
（2）在上恒成立，
等价于在上恒成立，即，
令，则，
则当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增.
故，所以，即a的取值范围为．
18. 若数列满足条件：存在正整数，使得对一切，都成立，则称数列为级等差数列.
（1）若数列为1级等差数列，，，求数列的前项和；
（2）若数列为2级等差数列，且前四项依次为2，0，4，3，求、及数列的前2024项和.
解：（1）若数列为1级等差数列，
即为对一切，都成立，
则数列为等差数列，
设公差为，
由，，可得，
则．
（2）数列为2级等差数列，且前四项分别为2，0，4，3，
可得对一切，都成立．
，
，
，……，
可得数列中奇数项是首项和公差均为2的等差数列，
偶数项是首项为0、公差为3的等差数列，
则
所以，，．
19. 已知函数，，其中是自然对数的底数，.
（1）当时，求函数的单调区间和极值；
（2）是否存在实数，使的最小值是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
解：（1）当时，，，，
当时，，则单调递减；
当时，，则单调递增.
所以，函数的极小值为，
故的单调递减区间为，单调递增区间为，的极小值为，无极大值；
（2）假设存在实数，使，的最小值是，
，.
①当时，因为，所以，在上单调递减，
所以，
解得（舍去）；
②当时，即时，
当时，，此时函数单调递减；
当时，，此时函数单调递增.
所以，解得，满足条件；
③当时，即时，对任意的，，在上单调递减，
所以，解得（舍去）.
综上，存在实数，使得当时，的最小值为.