浙江省北斗星盟2025届高三下学期三模数学试题Word版含解析

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考生须知：
1．本试卷共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟．
2．答题前，请在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号．
3．所有答案必须写在答题卷上的规定区域内，写在试卷上无效．
4．考试结束后，只需上交答题卷．
选择题部分
一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题所给的四个选项中，只有一项
符合题目要求．）
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 若复数 z 满足 ，则 （ ）
A. B. C. D.
3. 已知单位向量 ， 满足 ，则向量 在向量 上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
4. “ ”是“函数 的值域为 R”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 若坐标原点 O 关于动直线 l： 的对称点为 A，则点 A 的轨迹为（ ）
A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线
6. 已知函数 和函数 图象上相邻的四个交
点构成的四边形的面积为 ，且 ，则（ ）
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A. ， B. ，
C. ， D. ，
7. 已知函数 满足 ，且对 ， ，则满足 的正整数 n
的最大值为（ ）
A. 2026 B. 2027 C. 2028 D. 2029
8. 在平面直角坐标系 中，已知曲线 C： ，若点 P 为曲线 C 上的动点，则 的
最大值为（ ）
A. B. C. 2 D.
二、选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题所给的四个选项中，有多项符
合题目要求，全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分．）
9. 在足球训练课上，A，B 两位同学进行“点球”比赛，规则为：比赛共进行 5 轮，在每轮比赛中，两人各罚
点球一次，射中得 1 分，射不中得 0 分．已知 A，B 每次点球命中的概率分别为 ， ， ，
若 5 轮比赛后 A，B 的总得分分别为 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A. 若 ，则
B.
C. 若 ，则
D. 若当且仅当 时， 取得最大值，则
10. 已知椭圆 C： 的左、右焦点分别为 ， ，上顶点为 A，且 ，
P 为 C 上位于第一象限内的点，且 ， 的内角平分线交 x 轴于点 M，则下列结论正确
的是（ ）
A. 椭圆 C 的离心率 B.
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C. 的内切圆半径为 D.
11. 如图，四棱锥 中，侧面 为等腰直角三角形，底面 ABCD 为矩形， ，
，若该四棱锥存在内切球，且其内切球球心为 ，其外接球球心为 ，则下列结论正确
是（ ）
A. 平面 平面 B. 四棱锥 的内切球半径为
C. 四棱锥 的体积为 D.
非选择题部分
三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 S 分，共 15 分．）
12. 已知函数 ，为奇函数，则 ______．
13. 已知 ，且满足 ，则 ，则 ______．
14. 人工智能（Artificial Intelligence），英文缩写为 ．是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是
研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的科学．某商场在有
奖销售的抽奖环节时，采用 技术生成奖券码：在每次抽奖时，顾客连续点击按键 5 次，每次点击随机生
成数字 0 或 1 或 2，点击结束后，生成的 5 个数字之和即为奖券码．并规定：如果奖券码为 0，则获一等奖；
如果奖券码为 3 的正整数倍，则获二等奖，其它情况不获奖．已知顾客甲参加了一次抽奖，则他获二等奖
的概率为______．
四、解答题（本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
15. 如图，在四棱锥 中，底面 为矩形， 底面 ， ， ，
M，N 为别为棱 PB，CD 的中点．
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（1）证明： 平面 ；
（2）求平面 与平面 的夹角的余弦值．
16. 已知函数 ．
（1）若曲线 在 处 切线过点 ，求实数 a 的值；
（2）当 时，证明： ．
17. 如图，四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O， ， ， ，且
和 的外接圆半径相等．
（1）若 ，求 OA 长；
（2）若 ，求 ．
18. 已知双曲线 E： ，且四点 ， ， ， 中
恰有三点在 E 上．
（1）求双曲线 E 的标准方程；
（2）如图，P，Q，R 分别为双曲线 E 上位于第一、二、四象限的点，过坐标原点 O 分别作直线 PQ，PR
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的垂线，垂足分别为 M，N，且 ．
（ⅰ）证明：Q，D，R 三点共线；
（ⅱ）求 面积的最小值．
19. 已知数列 的前 n 项和为 ，且 ， ，当数列 的项数大于 2 时，将数列 中
各项的所有不同排列填入一个 行 列的表格中（每个格中一个数字），使每一行均为这 个数的一个排列，
将第 行的数字构成的数列记作 ，将数列 中的第 项记作 ．
若对 ，均有 ，则称数列 为数列 的“异位数列”，记表格中“异位数列”的个数为 ．
（1）求数列 的通项公式 ；
（2）当数列 的项数为 时，求 的值；
（3）若数列 为数列 “异位数列”，试讨论 的最小值．
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