浙江省北斗星盟2025届高三下学期三模数学试题 含解析

这是一份浙江省北斗星盟2025届高三下学期三模数学试题 含解析，共21页。试卷主要包含了考试结束后，只需上交答题卷等内容，欢迎下载使用。
考生须知：
1．本试卷共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟．
2．答题前，请在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号．
3．所有答案必须写在答题卷上的规定区域内，写在试卷上无效．
4．考试结束后，只需上交答题卷．
选择题部分
一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题所给的四个选项中，只有一项
符合题目要求．）
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】通过分别解不等式求出集合 ，再进行交集运算即可.
【详解】由 可解得 ，所以 ，
由 可解得 ，又 ，所以 ，
所以 .
故选：A．
2. 若复数 z 满足 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，设 ，然后结合复数的运算代入计算，结合复数相等列出方程，即可
得到结果.
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【详解】设 ，
则 ，
所以 ， ，故 ，
故选：B．
3. 已知单位向量 ， 满足 ，则向量 在向量 上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律求出 ，再利用投影向量的意义求解.
【详解】已知单位向量 ， ，故 由 得 ，
故 ，即 ，因此 ，
所以向量 在向量 上的投影向量为 .
故选：D．
4. “ ”是“函数 值域为 R”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】验证充分性，当 时， ，所以函数 的值域为
R，即具有充分性；再验证必要性，若函数 的值域为 R，则对于二次函数
，其判别式非负，由此可解得 ，可得答案.
【详解】若 ，因为 ，所以函数 的定义域为 ，
故 ，所以函数 的值域为 R，
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即“ ”是“函数 的值域为 R”的充分条件；
若函数 的值域为 R，则对于二次函数 ，其值域包含 ，
即 ，解得 或 ，
即“ ”不是“函数 的值域为 R”的必要条件，
综上，“ ”是“函数 的值域为 R”的充分不必要条件，
故选：A.
5. 若坐标原点 O 关于动直线 l： 的对称点为 A，则点 A 的轨迹为（ ）
A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线
【答案】A
【解析】
【分析】先求出直线 过的定点 ，再利用对称性得 ，最后根据圆的定义即可判断.
【详解】由 得 ，所以直线 l 过定点 ，
又由对称性可知， ，所以点 A 到点 B 的距离为 ，所以点 A 的轨迹为圆.
故选：A．
6. 已知函数 和函数 的图象上相邻的四个交
点构成的四边形的面积为 ，且 ，则（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】先计算两个函数的交点坐标，得出相邻的四个交点构成的四边形为平行四边形，即可计算其面积，
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得出 的值，再利用 得出 .
【详解】由 得， ，
则 ，即 ，
则当 时， （ 为奇数）或 （ 为偶数），
则交点坐标为 （ 为奇数）， （ 为偶数），
则相邻的四个交点构成的四边形为平行四边形，
因相邻的交点之间的横坐标差的绝对值为 ，
则平行四边形的面积为 ，得 ，
由 ，得 ，即 ，
因为 ，所以 .
故选： C
7. 已知函数 满足 ，且对 ， ，则满足 的正整数 n
的最大值为（ ）
A. 2026 B. 2027 C. 2028 D. 2029
【答案】C
【解析】
【分析】先根据已知条件推出函数 的周期，再求出一个周期内函数值的和，最后根据周期计算
的值，进而确定满足 的正整数 的最大值．
【详解】由题， ，
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，
所以函数是周期为 3 的周期函数，
又 ， ， ，
， ，
， ，
所以满足 的正整数 n 的最大值为 2028．
故选：C．
8. 在平面直角坐标系 中，已知曲线 C： ，若点 P 为曲线 C 上的动点，则 的
最大值为（ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】B
【解析】
【分析】对 的位置进行分类讨论，再利用换元法结合余弦函数性质求解最值即可.
【详解】设 ，则 ，
当点 P 位于坐标原点时， ；
当点 P 异于坐标原点时，可得 ，
而 ， ，且 ，
故令 ， ，且 ，
则 ，
由余弦函数性质得 ，故 的最大值为 ，故 B 正确.
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故选：B．
二、选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题所给的四个选项中，有多项符
合题目要求，全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分．）
9. 在足球训练课上，A，B 两位同学进行“点球”比赛，规则为：比赛共进行 5 轮，在每轮比赛中，两人各罚
点球一次，射中得 1 分，射不中得 0 分．已知 A，B 每次点球命中的概率分别为 ， ， ，
若 5 轮比赛后 A，B 的总得分分别为 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A. 若 ，则
B.
C. 若 ，则
D. 若当且仅当 时， 取得最大值，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用随机变量二项分布的期望、方差以及概率计算公式，逐项计算判断即可.
【详解】由题意，随机变量 ， ，
对于 A，故 ， ，若 ，则 ，故 A 正确；
对于 B，若 ，则
，
化简整理得 ，即 ，
所以 时， ，故 B 错误；
对于 C，由题意， ， ，
所以 ，
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由 得 ， ，
故 ，即 ，故 C 正确；
对于 D，由题意， ，
则 ，解得 ，故 D 正确.
故选：ACD．
10. 已知椭圆 C： 的左、右焦点分别为 ， ，上顶点为 A，且 ，
P 为 C 上位于第一象限内的点，且 ， 的内角平分线交 x 轴于点 M，则下列结论正确
的是（ ）
A. 椭圆 C 的离心率 B.
C. 的内切圆半径为 D.
【答案】AC
【解析】
【分析】对于 A：根据椭圆定义可得 ，即可得离心率；对于 B：利用余弦定理即可得结果；对于 C：利
用等面积法求内切圆半径；对于 D：根据角平分线的性质分析判断.
【详解】对于选项 A：设椭圆的焦距为 ，
由椭圆的对称性可知 ，
则 ， ，所以 ，故 A 正确；
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对于选项 B：因为 ，
所以
，
即 ，故 B 错误；
对于选项 C：因为 ， ，
则 ，
所以 ，
又因为 的周长 ，
设内切圆半径为 r，则 ，故 C 正确；
对于选项 D：由角平分线定理得 ，故 D 错误；
故选：AC．
11. 如图，四棱锥 中，侧面 为等腰直角三角形，底面 ABCD 为矩形， ，
，若该四棱锥存在内切球，且其内切球球心为 ，其外接球球心为 ，则下列结论正确
的是（ ）
A. 平面 平面 B. 四棱锥 的内切球半径为
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C. 四棱锥 的体积为 D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】选项 A：运用线面垂直判断得到 垂直面 ，再用面面垂直判定得到平面 平面
即可.
选项 B：由等腰直角三角形 三边关系得 长度，再由全等得 垂直面 ，四棱锥内切球
在面 投影是 内切圆，用直角三角形内切圆半径公式求半径．选项 C：取 中点 、
，由面面垂直得 垂直面 ，设 ，根据条件列方程求 ，进而求体积．选项 D： 是
外接圆圆心，外接球球心 是 中点，结合内切球半径和 长度求 ．
【详解】对于 A，因为 ， ， 平面 PAD，
所以 平面 PAD，所以平面 平面 ABCD，A 正确；
对于 B，因为侧面 PAD 为等腰直角三角形， ，
所以 ， ，
因为 平面 PAD， 平面 PAD，则 ，
则 为直角三角形，且 ， ，
所以 ，易知 平面 ，
该四棱锥的内切球在平面 上的“正投影”为 的内切圆，
设 的内切圆半径为 r，则 ，
所以四棱锥 内切球半径为 ，B 正确；
对于 C，分别取 的中点 E，F，连接 则 ，
又平面 截内切球所得的圆为大圆，且切点在 上，
设 ，则 ， ， ，
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所以 ，得 ，
所以四棱锥 的体积 ，C 错误；
对于 D，易知 E 为 的外接圆圆心， 平面 PAD，
又四边形 为矩形，
所以外接球球心为 为 的中点，故 ，D 正确．
故选：ABD．
非选择题部分
三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 S 分，共 15 分．）
12. 已知函数 ，为奇函数，则 ______．
【答案】-3
【解析】
【分析】可根据奇函数的性质 来求解 与 的值，进而得到 的值．
【详解】因为函数 为奇函数，
所以，当 时， ， ，
所以 ， ，
所以 ．
故答案为： .
13. 已知 ，且满足 ，则 ，则 ______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】运用降幂公式、两角和的余弦公式进行化简，结合角的范围可得 ，进而可求 ，
利用二倍角公式和齐次化即可求 的值.
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【详解】因为 ， ，所以 ，
由 得 ，
即 ，所以 ，
所以 ，得 ，
所以 ．
故答案为：
14. 人工智能（Artificial Intelligence），英文缩写为 ．是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是
研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的科学．某商场在有
奖销售的抽奖环节时，采用 技术生成奖券码：在每次抽奖时，顾客连续点击按键 5 次，每次点击随机生
成数字 0 或 1 或 2，点击结束后，生成的 5 个数字之和即为奖券码．并规定：如果奖券码为 0，则获一等奖；
如果奖券码为 3 的正整数倍，则获二等奖，其它情况不获奖．已知顾客甲参加了一次抽奖，则他获二等奖
的概率为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用分步乘法计数原理求出总情况数，利用分类加法计数原理结合组合数的性质求出符合条件的
事件数，再利用古典概型概率公式求解概率即可.
【详解】设一次抽奖所生成的奖券码为 S，共有 种情况，
生成的 5 个数字中有 个 0， 个 1，
则 ，
由题可知 ．若获得二等奖，则 S 为 3 的正整数倍，
故 可取的值为 ．当 时， 的取值为 ，
共有 种情况；当 时， 的可能取值为 ， ， ，
共有 种情况；当 时， 的取值为 ， ，
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共有 种情况，由分类加法计数原理得符合条件的有 种情况，
且设获得二等奖的概率为 ，由古典概型概率公式得 .
故答案为：
四、解答题（本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
15. 如图，在四棱锥 中，底面 为矩形， 底面 ， ， ，
M，N 为别为棱 PB，CD 的中点．
（1）证明： 平面 ；
（2）求平面 与平面 的夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2） .
【解析】
【分析】（1）取 AB 中点 E，连接 ME、NE，易得 、 ，根据线面平行、面面平行的判
定及性质定理证明结论；
（2）构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求面面角的余弦值.
【小问 1 详解】
取 AB 中点 E，连接 ME、NE，
因为底面 为矩形，N 为 CD 的中点，所以 ，
平面 PAD， 平面 ，则 平面 ，
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因为 M 为 PB 中点，所以 ，
平面 ， 平面 ，则 平面 ，
因为 且都在平面 内，所以平面 平面 ，
因 平面 ，所以 平面 ．
【小问 2 详解】
由题，易知直线 DA，DC，DP 两两垂直，
以 D 为坐标原点，以 DA，DC，DP 所在直线为 x，y，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，
所以 ， ， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，则 ，
令 ，得 ， ，所以 ，
设平面 的一个法向量为 ，则 ，
令 ，得 ， ，所以 ，
，所以平面 与平面 的夹角的余弦值为 ．
16. 已知函数 ．
（1）若曲线 在 处 切线过点 ，求实数 a 的值；
（2）当 时，证明： ．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义在某一点处的导数即为在这点处的切线斜率求解切线方程，再将 代
入方程，即可求出实数 a 的值.
（2）二次求导，利用导数判断函数的单调性，写出函数的最小值，判断最小值大于 即可得证.
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【小问 1 详解】
函数 的定义域为 ， ，所以 ，
又 ，
所以 在 处的切线方程为 ，
将点 代入得 ，解得 ．
【小问 2 详解】
证明： ，设 ，则 ，
因 ，所以当 时， ， 即 单调递减；
当 时， ， 即 单调递增；
时， ，即 ，
， ，
所以当 时， .
， ，
所以存在唯一的 ，使得 ，即 ，
且当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；
所以当 时，函数 在 处取得极小值，即为最小值，
所以 ，
因为 ，所以 ，故 ，
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则 ，得证．
17. 如图，四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O， ， ， ，且
和 的外接圆半径相等．
（1）若 ，求 OA 的长；
（2）若 ，求 ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由条件可得 ，然后在 与 中用余弦定理代入计算，即可得到
，然后在 中结合余弦定理代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，分别在 与 中结合正弦定理代入计算，即可得到 与 相等或互
补，然后分别讨论，即可得到结果.
【小问 1 详解】
由题， ，
因为 和 的外接圆半径相等，
由正弦定理得 ，所以 ，
设 ， ，则 ， ，
在 中，由余弦定理得： ，
即 ，
在 中，由余弦定理得： ，
即 ，
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所以 ，
解得 ，即 ，
在 中，由余弦定理得： ，
即 ，解得 或 （舍），
所以 ．
【小问 2 详解】
在 中，由正弦定理得： ，即 ，
在 中，由正弦定理得： ，即 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
或 ，
若 ，则 ，此时 ，
，
易得 ， ， 不成立，
所以 ，故 ，
解得 （舍）或 ，
因为 ，所以 ，
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故 ．
18. 已知双曲线 E： ，且四点 ， ， ， 中
恰有三点在 E 上．
（1）求双曲线 E 的标准方程；
（2）如图，P，Q，R 分别为双曲线 E 上位于第一、二、四象限的点，过坐标原点 O 分别作直线 PQ，PR
的垂线，垂足分别为 M，N，且 ．
（ⅰ）证明：Q，D，R 三点共线；
（ⅱ）求 面积的最小值．
【答案】（1）
（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）4
【解析】
【分析】（1）根据双曲线对称性， 、 关于 轴对称，必都在双曲线上.又因第一象限双曲线“上升”，
判断 不在双曲线上，确定 、 、 在双曲线上.将这三点坐标代入双曲线标准方程 ，解方
程组得出 、 的值，进而得到双曲线方程.
（2）（i）设直线 方程，由 到直线 距离得出 与 关系.联立直线与双曲线方程，根据韦达定理得到
、 表达式，进而求出 ，算出 ，得 ，同理 ，所以 ， ，
三点共线.
（ii）由 ， 推出 ，得到 . 面积是
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面积的 倍， ，利用均值不等式 求出面
积最小值.
【小问 1 详解】
由题，点 ， ， ， 中恰有三点在 E 上，
根据双曲线的对称性，点 ， 都在双曲线上，
又在第一象限内，双曲线的图象是“上升的”，所以点 不在双曲线 E 上，
所以点 ， ， 为双曲线上的点，
代入 得 解得 ， ，
所以 E 的标准方程为 E： ．
【小问 2 详解】
（ⅰ）证明：由题可知直线 PQ 的斜率存在，设 PQ： ，
则 ，故 ，
把 代入 E： 得： ，
由题知 ，设 ， ，则 ， ，
则
，
所以 ，所以 ，
同理可得 ，所以 Q，O，R 三点共线，
（ⅱ）因为 ， ，所以 ，所以 ，
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所以 ，
由（ⅰ）知， ，
又 ，
当且仅当 时等号成立，所以 ，
所以 面积的最小值为 4．
19. 已知数列 的前 n 项和为 ，且 ， ，当数列 的项数大于 2 时，将数列 中
各项的所有不同排列填入一个 行 列的表格中（每个格中一个数字），使每一行均为这 个数的一个排列，
将第 行的数字构成的数列记作 ，将数列 中的第 项记作 ．
若对 ，均有 ，则称数列 为数列 的“异位数列”，记表格中“异位数列”的个数为 ．
（1）求数列 的通项公式 ；
（2）当数列 的项数为 时，求 的值；
（3）若数列 为数列 的“异位数列”，试讨论 的最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）由已知条件求出 的值，由 得 ，两式作差得出 ，
再利用累乘法可求出数列 的通项公式；
（2）列出数列 的 项，对 的取值进行分类讨论，列举出 、 、 的取值，即可得出 的值；
（3）由题意可得 ，可得出 ， ，然后对 为奇数和偶数两种情
况进行讨论，列举出符合条件的数列 ，可得出 的最小
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【小问 1 详解】
由题 ， ，解得 ，
由 得 ，两式作差得 ，即 ，
所以 ， ， ，……， ，
累乘得： ，即 ，
因为 ， 符合上式，所以 ．
【小问 2 详解】
由（1）知， ，所以 ，
当数列 的项数为 4 时，可知 ， ， ， ，
若数列 为数列 的“异位数列”，则：当 时， ， ， ；或 ，
， ；或 ， ， 共 3 种情况．
同理当 或 时，对应的排列各有 3 种情况，所以 ．
【小问 3 详解】
因为数列 为数列 的“异位数列”，
所以 ，即 ，所以 ，所以 ，
当 ， 时，若对任意的 ，都有 ， 取等号，
此时 ， ，…， ， ，
所以当 ， 时， 的最小值为 ，
当 ， 时， 的不可能取到等号，因为存在 ，使得 ，
将 ， ， ， ， 分为 组，
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不妨为 ， ，……， ， 时，
可以取到等号，
此 时 ， ， ……， ， ， ， ，
，
此时 ，
所以当 ， 时， 的最小值为 ，
综上，当 为偶数时， 的最小值为 ；
当 为奇数时， 的最小值为 ．
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