第十二章 定义 命题 证明小结与思考（单元复习课件）-2024-2025学年七年级数学下册（苏科版2024）

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第十二章 定义 命题 证明小结与思考学习目标1. 梳理本章的知识结构，进一步感悟证明的意义和形式；2. 体会类比、归纳与演绎证明之间的类比，了解它们各自的作用与方法.知识结构考点分析类型之一　定义与命题例1 下面是小明给一些概念下的“定义”，你觉得这些“定义”合适吗？说说你的理由．(1) 像火车铁轨那样的两条线叫作平行线；(2) 有一个角是锐角的三角形叫作锐角三角形．解：(1)不合适，理由：根据这个定义没法判断一个对象是否属于这个概念，在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线；(2)不合适，理由：根据这个定义没法判断一个对象是否属于这个概念，如直角三角形中也有两个锐角，但不是锐角三角形．考点分析类型之一　定义与命题例2 判断下列语句是否为命题，请说明理由：(1) 两个钝角相等吗？   (2) 两点之间线段最短．(3) 任何数的平方都大于0．解：(1)不是命题．理由：不是陈述句．(2)(3)是命题．理由：符合命题的定义．巩固练习解：绝对值：一般地，数轴上表示一个数的点到原点的距离叫作这个数的绝对值．相反数：只有符号不同的两个数称为互为相反数．余角：如果两个角的度数之和等于90°，那么这两个角互为余角，简称互余．补角：如果两个角的度数之和等于180°，那么这两个角互为补角，简称互补．1.回忆并写出下列概念的定义：绝对值、相反数、余角、补角．巩固练习2. 画示意图表示下列概念之间的关系：方程、等式、一元一次方程、二元一次方程．解：如图所示：等式方程一元一次方程二元一次方程巩固练习解：(1)条件：同号两数相乘．结论：积为正． (2)条件：几个角是等角的补角．结论：这几个角相等． (3)条件：四边形的内角和等于360°，外角和等于360°．结论：四边形的内角和等于外角和．3. 指出下列命题的条件和结论：(1) 同号两数相乘，积为正；(2) 等角的补角相等；(3) 四边形的内角和等于外角和．巩固练习4. 把下列命题写成“如果……，那么……”的形式．(1) 三个内角都相等的三角形是等边三角形；(2) 正方形是轴对称图形．解：(1)如果一个三角形的三个内角都相等，那么这个三角形是等边三角形．(2)如果一个四边形是正方形，那么这个四边形是轴对称图形．巩固练习5. 写出下列命题的逆命题，并判断每对互逆命题的真假：(1) 如果ab＝0，那么a＝0；(2) 自然数是整数；(3) 不是对顶角的两个角不相等；(4) 内错角相等．解：(1) 如果a＝0，那么ab＝0；原命题为假命题，逆命题为真命题．(2) 整数是自然数；原命题为真命题，逆命题为假命题．(3) 如果两个角不相等，那么这两个角就不是对顶角；原命题为假命题，逆命题为真命题．(4) 如果两个角相等，那么这两个角是内错角；原命题为假命题，逆命题为假命题．巩固练习6. 举反例说明下列命题是假命题：(1) 如果a≠0，b≠0，那么a2＋b2＝(a＋b)2；(2) 质数都是奇数；(3) 多边形的外角和小于内角和；(4) 如果a＞b，那么(a＋b)(a－b)＞0．解：(1) 反例：a＝1，b＝2，12＋22≠(1＋2)2．(2) 反例：2是质数，但2不是奇数．(3) 反例：四边形的外角和为360°，等于四边形的内角和360°．(4) 反例：a＝－1，b＝－2，(－1－2)×[－1－(－2)]＝－3＜0．所以这4个命题都是假命题．巩固练习解：(1)不是真命题，反例：当a＝－1，b＝－2时，|a|＜|b|．(2)不是真命题，反例：α＝140°，它的补角为40°，40°＜140°． (3)不是真命题，反例：18是偶数，但不能被4整除．(4)不是真命题，反例：等边三角形的三个内角都是60°． 7. 下列命题是否为真命题？为什么？(1) 如果a＞b，那么|a|＞|b|；(2) 一个角的补角大于这个角；(3) 偶数能被4整除；(4) 三角形的最大内角大于60°．巩固练习8．判断“内错角相等”是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例． 考点分析类型之二　用代数知识说理证明：因为n能被3整除，所以n＝3p，其中p为自然数，又因为n能被7整除，而3不能被7整除，所以p能被7整除，p＝7q，q为自然数，所以n＝3p＝3×7q＝21q，q为自然数，所以n能被21整除．例3 已知：正整数n能被3整除，也能被7整除．求证：n能被21整除．证明：因为x＞y＞0（_____________），所以x＋y＞0（____________________），x－y＞0（_____________________）．所以(x＋y)(x－y)＞0（___________________）．因为(x＋y)(x－y)＝x2－y2 （_____________），所以x2－y2＞0（等量代换）．所以x2＞y2 （____________________）．巩固练习1．与几何证明一样，代数推理也需要有理有据，请完成下题中依据的填写．已知：有理数x，y满足x＞y＞0．求证：x2＞y2．命题的条件有理数的加法法则不等式的基本性质1有理数的乘法法则平方差公式不等式的基本性质1巩固练习  巩固练习 3．求证：对任意自然数n，式子(n－1)(n＋1)－(n－5)(n－7)的值都能被12整除．巩固练习解：设两个奇数分别为2m＋1，2n＋1，其中m，n为整数，则(2m＋1)＋(2n＋1)＝2m＋1＋2n＋1＝2m＋2n＋2＝2(m＋n＋1)．因为m，n，1都为整数，所以m＋n＋1为整数．所以2(m＋n＋1)是偶数．4．证明：两个奇数之和是偶数．巩固练习 5．已知k为整数，且k≥0．(1) 若a为正奇数，则a可以用含k的代数式表示为（ ）A． 2k B． 2k－1  C． 2k＋1(2) 若a，b为连续的奇数，且a＜b. 试说明：ab＋1能被4整除．C巩固练习  考点分析类型之三　简单的推理与证明例4 (1)已知：如图，直线AB，CD，EF被直线BF所截，∠B＋∠1＝180°，∠2＝∠3．求证：∠B＋∠F＝180°．(1) 证明：∵∠B＋∠1＝180°（已知），∴AB ∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．∵∠2＝∠3（已知），∴CD∥EF（内错角相等，两直线平行），∴AB∥EF（平行于同一条直线的两条直线平行），∴∠B＋∠F＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．考点分析类型之三　简单的推理与证明例4 (2)你在(1)的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？(2) 解：在(1) 的证明过程中应用了“同旁内角互补，两直线平行”和“两直线平行，同旁内角互补”这两个互逆的真命题．考点分析例5 写出“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题，判断真假并给出证明.解：逆命题为“有两个角互余的三角形是直角三角形”.这个逆命题是真命题. 已知：如图，△ABC中，∠A与∠B互余 .求证：△ABC是直角三角形.证明：∵在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°(三角形内角和定理)，∵∠A与∠B互余(已知)，∴∠C＝180 °－(∠A＋∠B) (等式性质).∴ ∠A＋∠B＝90 ° (互余的定义).∴∠C＝180 °－90 ° ＝90 ° (等量代换).∴△ABC是直角三角形 (直角三角形的定义).巩固练习1.已知：如图，a∥b，c∥d，∠1＝50°．求证：∠2＝130°．证明：如图所示．∵a∥b (已知)，∴∠1＝∠4 (两直线平行，同位角相等)．又∵∠1＝50° (已知)，∴∠4＝50° (等量代换)．∵∠4＋∠3＝180° (平角的定义).∴∠3＝180°－50°＝130° (等式的性质)．∵c∥d (已知)，∴∠2＝∠3 (两直线平行，同位角相等).∴∠2＝130° (等量代换)．巩固练习 解：结论：(1)∠ABC＝∠DEF；(2)DE∥AB；(3)∠ABF＝∠DEC；(4)∠C＝∠F．证明：∵AC∥FD (已知)，∴∠C＝∠F(两直线平行，内错角相等)．又∵∠A＝∠D.(已知)，∴∠A＋∠C＝∠D＋∠F(等式的性质)．∵∠ABF＝∠A＋∠C，∠DEC＝∠D＋∠F(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和)，∴∠ABF＝∠DEC(等量代换)，∴∠ABC＝∠DEF(等角的补角相等)，∴DE∥AB(内错角相等，两直线平行)．巩固练习证明：∵∠FEC＝∠A＋∠ADE，∠ABC＝∠F＋∠FDB(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和)，∠A＝∠ABC(已知)，∴∠A＝∠F＋∠FDB (等量代换)．∵∠FDB＝∠ADE (对顶角相等)，∴∠A＝∠F＋∠ADE (等量代换)，∴∠ADE＝∠A－∠F (等式性质)，∴∠FEC＝∠A＋∠A－∠F (等量代换)，∴∠F＋∠FEC＝2∠A (等式性质)．3. 已知：如图，在△ABC中，∠A＝∠ABC，直线EF分别交AB，AC和CB的延长线于点D，E，F．求证：∠F＋∠FEC＝2∠A．巩固练习4.证明：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直．证明：已知：如图所示，直线AB，CD被直线EF所截，AB∥CD，MG平分∠BMN，NG平分∠MND．求证：MG⊥NG．证明如下：∵AB∥CD (已知)，∴∠BMN＋∠MND＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．∵MG平分∠BMN，NG平分∠MND(已知)，∴2∠NMG＝∠BMN，2∠MNG＝∠MND(角平分线的定义)，∴2∠NMG＋2∠MNG=180°(等量代换)，∴∠NMG＋∠MNG＝90°．又∵∠NMG＋∠G＋∠MNG＝180°(三角形内角和定理)，∴∠G＝90°，∴MG⊥NG(垂直的定义)．巩固练习5. (1)如图(1)，AB∥CD，试用不同方法证明∠B＋∠D＝∠E． 解：(1)证明：(方法1)如图所示，过点E作EF∥AB．∵EF∥AB (辅助线的作法)，∴∠B＝∠1 (两直线平行，内错角相等)．∵AB∥CD (已知)，∴EF∥CD (平行于同一条直线的两直线平行)，∴∠2＝∠D (两直线平行，内错角相等)，∴∠1＋∠2＝∠B＋∠D (等式的性质)，即∠B＋∠D＝∠BED．F巩固练习5. (1)如图(1)，AB∥CD，试用不同方法证明∠B＋∠D＝∠E．F解：(1)证明：(方法2)如图，延长BE交CD于点F．∵AB∥CD (已知)，∴∠B＝∠BFD (两直线平行，内错角相等)．∵∠BED＝∠BFD＋∠D(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和)，∴∠B＋∠D＝∠BED (等量代换)．巩固练习(2)解：∠B－∠D＝∠E．证明如下：如图所示，∵∠3＝∠E＋∠D（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和），AB // CD（已知），∴∠3＝∠B（两直线平行，同位角相等），∴∠B＝∠E＋∠D（等量代换），即∠B－∠D＝∠E．(2) 如图(2)，AB∥CD，∠B，∠D，∠E之间有怎样的数量关系？证明你的结论．解：若点P在△ABC的内部，如图(1)所示，连接BC．则∠BPC＝∠A＋∠ABP＋∠ACP．证明：∵∠BPC＝180°－(∠PBC＋∠PCB)，∠A－∠ABP－∠ACP＝180°－(∠PBC＋∠PCB)，∴∠BPC＝∠A－∠ABP－∠ACP．考点分析类型之四　三角形内角和定理与推论例6 任意画∠A，在∠A的两条边上分别取点B，C，在∠A的内部取一点P，连接PB，PC. 探索∠BPC与∠A，∠ABP，∠ACP之间的数量关系，并证明你的结论．(1)解：若点P在△ABC的边BC上，如图(2)所示，∠BPC＝∠A＋∠ABP＋∠ACP．证明：∵B，P，C在一条直线上，∴∠BPC＝180°．又∵∠A＋∠ABP＋∠ACP＝180°，∴∠BPC＝∠A＋∠ABP＋∠ACP．考点分析类型之四　三角形内角和定理与推论例6 任意画∠A，在∠A的两条边上分别取点B，C，在∠A的内部取一点P，连接PB，PC. 探索∠BPC与∠A，∠ABP，∠ACP之间的数量关系，并证明你的结论．BCA(2)考点分析类型之四　三角形内角和定理与推论例6 任意画∠A，在∠A的两条边上分别取点B，C，在∠A的内部取一点P，连接PB，PC. 探索∠BPC与∠A，∠ABP，∠ACP之间的数量关系，并证明你的结论．解：若点P在△ABC的外部，如图(3)所示，∠BPC＋∠A＋∠ABP＋∠ACP＝360°．证明：∵点A，B，P，C构成四边形，∴∠BPC＋∠A＋∠ABP＋∠ACP＝360°．(3)巩固练习1. 在△ABC中，根据下列条件，求∠A的度数：(1) ∠C＝20°，∠B＝∠A；(2) ∠A，∠B，∠C的度数之比为1︰2︰3．解：(1)∵∠A＋∠B＋∠C＝180°(三角形内角和定理)，∠C＝20°，∴∠A＋∠B＝160°．又∵∠B＝∠A，∴∠A＝80°．(2)设∠A＝x°，则∠B＝2x°，∠C＝3x°，所以x＋2x＋3x＝180解得x＝30，即∠A＝30°．巩固练习解：∠1＋∠2＝∠B＋∠C．理由：∵∠1＋∠2＋∠A＝180°，∠B＋∠C＋∠A＝180°，∴∠1＋∠2＝180°－∠A，∠B＋∠C＝180°－∠A，∴∠1＋∠2＝∠B＋∠C．2. 如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上．∠B＋∠C与∠1＋∠2有怎样的数量关系？为什么？巩固练习3. 如图，在五角星形ABCDE中，∠A，∠B，∠C，∠D，∠E的和等于多少度？证明你的结论． FG巩固练习4. 已知：如图，AD平分∠BAC，点E在BC上，点F在CA的延长线上，EF交AB于点G，且∠AGF＝∠F．求证：EF∥AD．证明：∵AD是△ABC的角平分线(已知)，∴∠BAC＝2∠BAD．∵∠BAC＝∠AGF＋∠F(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和)，∴2∠BAD＝∠AGF＋∠F(等量代换)．∵∠AGF＝∠F(已知)，∴2∠BAD＝2∠AGF(等量代换)，∴∠BAD＝∠AGF(等式的性质)，∴FE ∥AD(内错角相等，两直线平行)．考点分析类型之五　多边形内角和与外角和定理例7 已知：如图，∠ABC＋∠C＋∠CDE＝360°，GH分别交AB，ED于点G，H．求证：∠1＝∠2．证明：∵五边形GBCDH的内角和为(5－2)×180°＝540°(多边形的内角和公式)，∴∠HGB＋∠ABC＋∠C＋∠CDE＋∠GHD＝540°．∵∠ABC＋∠C＋∠CDE＝360°(已知)，∴∠HGB＋∠GHD＝180°(等式性质)．∴AB∥ED(同旁内角互补，两直线平行)．∴∠1＝∠GHD(两直线平行，同位角相等)．∵∠2＝∠GHD(对顶角相等)，∴∠1＝∠2(等量代换)．巩固练习1. 如图，小明从A点出发，沿直线前进8 m后向左转45°，再沿直线前进8 m，又向左转45°，照这样走下去，小明第一次回到出发点A时，共走路程为 (　　)A．80 m B．96 m C．64 m D．48 mC巩固练习2. 如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度数是_____⁠. 540°　巩固练习解：八边形的内角和是它的外角和的3倍．理由如下：设这个多边形是n边形，由题意，得(n－2)·180°＝3×360°，解得n＝8．故八边形的内角和是它的外角和的3倍．3. 有没有这样的多边形，它的内角和是它的外角和的3倍？如果有，指出它是几边形，并说明理由．巩固练习解：6个．理由如下：∵多边形的一个内角小于120°，∴其外角大于60°．∵多边形的外角和等于360°，∴这个多边形小于120°的内角的个数≤360°÷60°＝6．4. 多边形中小于120°的内角最多有几个？巩固练习5. 如图，在四边形ABCD中，∠A＋∠C＝180°，∠ABE是四边形ABCD的一个外角．∠ABE与∠D相等吗？证明你的结论．解：∠ABE与∠D相等．理由如下：∵四边形内角和等于360°， ∠A＋∠C＝180°，∴∠ABC＋∠D＝180°．又∵∠ABC＋∠ABE＝180°，∴∠ABE＝∠D. (等量代换)考点分析类型之六　反证法例8 用反证法证明平行线的性质定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.证明：如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于G、H ，即要证明∠BGF＝∠DHF.假设∠BGF≠∠DHF ，过点G作直线PQ，使得∠PGF＝∠DHF，∴PQ∥CD，∵AB∥CD，且AB也过点G ，这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”矛盾.∴ 假设不成立，∠BGF＝∠DHF .巩固练习1．若用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时 ，则首先应该假设这个四边形中（ 　 ）A．至少有一个角是钝角或直角 B．没有一个角是锐角C．没有一个角是钝角或直角 D．每一个角是钝角或直角C巩固练习 c与b不垂直3．用反证法证明“在△ABC中至多有一个直角或钝角”时，应假设__________________________________．在△ABC中最少有两个直角或钝角巩固练习 ≠不平行∥＝(两直线平行，同旁内角互补)∠1＋∠2≠180° 假设直线l1与l2不平行巩固练习证明：设一个数为a，一个负数为b，则b＜0，假设a＋b≥a，根据不等式的性质得b≥0与b＜0矛盾，所以假设不成立，即a＋b＜a，所以一个数加上一个负数比原来的数小．5.证明：一个数加上一个负数比原来的数小．巩固练习6. 用反证法证明：△ABC中至少有两个内角是锐角.证明：假设同一三角形中最多有一个锐角，那么另外两个内角为直角或钝角，此时三角形内角和超过180°，与三角形内角和定理矛盾，故假设不成立，即△ABC中至少有两个内角是锐角.巩固练习证明：假设这个数的个位数是5，则这个数的平方的个位数是5，与这个数的平方的个位数不是5矛盾，所以假设不成立，所以这个数的个位数不是5． 7. 证明：如果一个数的平方的个位数不是5，那么这个数的个位数也不是5．巩固练习8. 已知：m是正整数，且m2是偶数. 求证：m是偶数.证明：假设m是奇数，则m可表示为2k＋1 (k为整数).代入m2，得m2＝(2k＋1)2＝4k2＋4k＋1＝2(2k2＋2k)＋1，这是一个奇数. 这与已知条件m2是偶数矛盾，因此假设不成立，即m是偶数.课堂总结