2025年高考数学二轮热点题型归纳与演练(上海专用)专题05复数平面向量(十大题型)(原卷版+解析)特训

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TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc27194" 题型01 复数的有关概念1
\l "_Tc22731" 题型02 复数的模2
\l "_Tc394" 题型03 实系数一元二次方程2
\l "_Tc1766" 题型04 复数与其他模块2
\l "_Tc8506" 题型05 平面向量的有关概念2
\l "_Tc6010" 题型06 平面向量的运算、基本定理3
\l "_Tc22452" 题型07 平面向量的简单应用3
\l "_Tc5641" 题型08 平面向量与平面解析几何4
\l "_Tc22452" 题型09 平面向量的其他应用5
\l "_Tc5641" 题型10 平面向量难点分析5
【解题规律·提分快招】
题型01 复数的有关概念
【典例1-1】．设，若存在复数满足（为虚数单位），则 ．
【典例1-2】．设为虚数单位，若为纯虚数，则实数 .
【变式1-1】．对于复数（i是虚数单位），则 .
【变式1-2】．若复数满足（为虚数单位），则 .
【变式1-3】．复数z满足，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．在复平面内对应的点位于第四象限D．
题型02 复数的模
【典例2-1】．已知复数，，，若为纯虚数，则 ．
【典例2-2】．设复数满足，则 .
【变式2-1】．已知为虚数单位，复数满足，则复数的虚部为 ．
【变式2-2】．在复平面上，已知复数和的对应点关于直线对称，且满足，则 ．
【变式2-3】．已知复数和复数满足（为虚数单位），则 .
题型03 实系数一元二次方程
【典例3-1】．已知，方程一个虚根为，则 .
【典例3-2】．已知i为虚数单位，是实系数一元二次方程的一个虚根，则 .
【变式3-1】．已知方程的一个根是（是虚数单位），则 ．
【变式3-2】．已知关于的一元二次方程有两个虚根，且，则实数的值为 .
【变式3-3】．复数满足，且使得关于的方程有实根，则这样的复数的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
题型04 复数与其他模块
【典例4-1】．设复数与所对应的点为与，若，，则 .
【典例4-2】．设复数（i为虚数单位）且，若，则 ．
【变式4-1】．已知、，且，（是虚数单位），则的最小值为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【变式4-2】．复数满足，是复平面上以为圆心、1为半径的圆的任意一条直径，若是在复平面上对应的点，则的最小值为 .
【变式4-3】．关于的实系数方程和有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则的取值范围是 .
题型05 平面向量的有关概念
【典例5-1】．已知向量，，若，则 ．
【典例5-2】．已知平面向量，满足，则 ．
【变式5-1】．已知向量，则在方向上的数量投影为 ．
【变式5-2】．已知向量，若，则实数 ．
【变式5-3】．已知向量，的夹角为，且，，则 .
题型06 平面向量的运算、基本定理
【典例6-1】．已知，且与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是 .
【典例6-2】．在中，是的中点，，点在上，且满足，则（ ）
A．B．C．D．
【变式6-1】．在平行四边形中，，．若，则 ．
【变式6-2】．在中，，，的平分线交BC于点D，若，则 ．
【变式6-3】．在中，点F为线段BC上任一点（不含端点），若，则的最小值为 .
题型07 平面向量的简单应用
【典例7-1】．在中，是边的中点.若，，，则 .
【典例7-2】．已知是单位圆上任意不同三点，则的取值范围是 .
【变式7-1】．中，边上的中垂线分别交于，若，则 .
【变式7-2】．如图，已知点，分别在的边，上，且，，直线交边的延长线于点，记，则 .
【变式7-3】．如图，是以为直径的半圆 （不含端点）上一动点，，且．若，则的取值范围是 ．
题型08 平面向量与平面解析几何
【典例8-1】．双曲线的左右焦点分别为，过坐标原点的直线与相交于两点，若，则 .
【典例8-2】．过点作圆的两条切线，切点分别是、.若，则 .
【变式8-1】．已知A、B、C是椭圆上的三点，点，若，则 ．
【变式8-2】．设为坐标原点，为抛物线的焦点，是抛物线上一点，若，则点的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【变式8-3】．在平面直角坐标系中，点A，B是圆上的两个动点，且满足，则的最小值为 .
题型09 平面向量的其他应用
【典例9-1】．已知P是△ABC所在平面内的一点，若，其中λ∈R，则点P一定在（ ）
A．AC边所在的直线上B．BC边所在的直线上
C．AB边所在的直线上D．△ABC的内部
【典例9-2】．已知是边长为6的等边三角形，M是的内切圆上一动点，则的最小值为 ．
【变式9-1】．设为的内心，且满足，则的形状为（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．以上都不对
【变式9-2】．如图，，，点在以为圆心的圆弧上运动，则的取值范围是 .
【变式9-3】．.设为两个非零向量、的夹角，已知对任意实数的最小值为1
A．若确定，则 唯一确定B．若确定，则 唯一确定
C．若确定，则 唯一确定D．若确定，则 唯一确定
题型10 平面向量难点分析
【典例10-1】．已知平面向量 满足，且对任意的实数t，均有 则的最小值为
【典例10-2】．平面上到两个定点距离之比为常数的动点的轨迹为圆，且圆心在两定点所确定的直线上，结合以上知识，请尝试解决如下问题：已知满足，则的取值范围为 ．
【变式10-1】．已知平面向量，其中为单位向量，且满足，若与夹角为，向量满足，则最小值是 .
【变式10-2】．我们把一系列向量按次序排列成一列，称之为向量列，记作.已知向量列满足：，，设表示向量与的夹角，若，对于任意正整数，不等式恒成立，则实数的取值范围是 .
【变式10-3】．对任意两个非零的平面向量和，定义，若平面向量、满足，与的夹角，且和都在集合中.给出下列命题：
①若时，则
②若时，则.
③若时，则的取值个数最多为7.
④若时，则的取值个数最多为.
其中正确的命题序号是 （把所有正确命题的序号都填上）
一、填空题
1．（2024·上海奉贤·三模）复数的虚部是 ．
2．（2024·上海·三模）已知复数z满足，则 .
3．（2023·上海黄浦·三模）在中，，，的平分线交BC于点D，若，则 ．
4．（2023·上海嘉定·一模）已知复平面上一个动点Z对应复数z，若，其中i是虚数单位，则向量扫过的面积为 ．
5．（2024·上海·模拟预测）平面内互不重合的点、、、、、、，若，，2，3，4，则的取值范围是 .
二、单选题
6．（2024·上海长宁·二模）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．（2024·上海浦东新·三模）给定平面上的一组向量、，则以下四组向量中不能构成平面向量的基底的是（ ）
A．和B． 和
C． 和D． 和
8．（2024·上海嘉定·二模）已知，，且、不共线，则的面积为（ ）
A．B．
C．D．
1、解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．
(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．
2、利用共线向量定理解题的策略
(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据．
(2)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.
(3)＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.
3、(1)求平面向量的模的方法
①公式法：利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算；
②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量线性运算的平行四边形法则或三角形法则作出所求向量，再利用余弦定理等方法求解．
(2)求平面向量的夹角的方法
①定义法：cs θ＝，求解时应求出a·b，|a|，|b|的值或找出这三个量之间的关系；
②坐标法．
(3)两个向量垂直的充要条件
a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0)．