2025年高考数学二轮热点题型归纳与演练(上海专用)专题09平面解析几何(十一大题型)(学生版+解析)特训

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TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc27194" 题型01 2021-2025年高考+春考真题1
\l "_Tc22731" 题型02 直线与方程 2
\l "_Tc394" 题型03 圆与方程3
\l "_Tc1766" 题型04 圆与方程的应用3
\l "_Tc8506" 题型05 圆锥曲线的概念辨析4
\l "_Tc6010" 题型06 圆锥曲线的综合应用4
\l "_Tc22452" 题型07 角度问题5
\l "_Tc8506" 题型08 向量问题5
\l "_Tc6010" 题型09 与数列结合问题6
\l "_Tc22452" 题型10 空间中轨迹问题6
\l "_Tc22452" 题型11 选择压轴辨析题6 \l "_Tc5641"
【解题规律·提分快招】
题型01 2021-2025年高考+春考真题
【典例1-1】．（2025•上海）已知双曲线（a＞0）的左、右焦点分别为F1、F2．通过F2且倾斜角为的直线与双曲线交于第一象限的点A，延长AF2至B使得AB＝AF1．若△BF1F2的面积为，则a的值为 ．
【分析】由题意作图，根据三角形面积公式以及直线方程，结合双曲线的标准方程，可得答案．
【解答】解：已知，
则b2＝6﹣a2＞0，
解得，
又，
则，，
设B（xB，yB），
又△BF1F2的面积为，
则，
解得yB＝﹣3，
由题意可得直线AB的斜率，
则方程为，
将yB＝﹣3代入上式，
则，
解得，
由题意可得，
易知．
故答案为：．
【点评】本题考查了双曲线的性质，重点考查了双曲线的定义，属中档题．
【典例1-2】．（2024•上海）已知抛物线y2＝4x上有一点P到准线的距离为9，那么P到x轴的距离为 ．
【分析】根据已知条件，结合抛物线的定义，即可求解．
【解答】解：设P坐标为（x0，y0），
P到准线的距离为9，即x0+1＝9，解得x0＝8，代入抛物线方程，可得，
故P到x轴的距离为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查抛物线的定义，属于基础题．
【典例1-3】．（2024•上海）直线x﹣y+1＝0的倾斜角大小为 45° ．
【分析】求出直线的斜率，根据直线斜率与倾斜角的关系，即可求得倾斜角的大小．
【解答】解：由直线x﹣y+1＝0变形得：y＝x+1，
设直线的倾斜角为α，即tanα＝1，
因为α∈[0，180°），
所以α＝45°．
故答案为：45°．
【点评】本题考查了直线的倾斜角的求法，以及特殊角的三角函数值．熟练掌握直线倾斜角与斜率的关系是解本题的关键，同时注意直线倾斜角的范围，属基础题．
【典例1-4】．（2024•上海）三角形三边长为5，6，7，则以边长为6的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的双曲线的离心率为 3 ．
【分析】利用双曲线的定义、离心率的计算公式即可得出结论．
【解答】解：由双曲线的定义，2c＝6，2a＝2，
解得c＝3，a＝1，
∴e＝＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了双曲线的定义、离心率的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
【典例1-5】．（2023•上海）已知圆x2+y2﹣4x﹣m＝0的面积为π，则m＝ ﹣3 ．
【分析】先把圆的一般方程化为标准方程，再结合圆的半径为1求解即可．
【解答】解：圆x2+y2﹣4x﹣m＝0化为标准方程为：（x﹣2）2+y2＝4+m，
∵圆的面积为π，∴圆的半径为1，
∴4+m＝1，
∴m＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题主要考查了圆的标准方程，属于基础题．
【典例1-6】．（2023•上海）已知圆C的一般方程为x2+2x+y2＝0，则圆C的半径为 1 ．
【分析】把圆C的一般方程化为标准方程，可得圆C的圆心和半径．
【解答】解：根据圆C的一般方程为x2+2x+y2＝0，可得圆C的标准方程为（x+1）2+y2＝1，
故圆C的圆心为（﹣1，0），半径为1，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查圆的一般方程和标准方程，属基础题．
【典例1-7】．（2022•上海）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点均在双曲线Γ：﹣y2＝1（a＞0）的右支上，若x1x2＞y1y2恒成立，则实数a的取值范围为 [1，+∞） ．
【分析】取P2的对称点P3（x2，﹣y2），结合x1x2＞y1y2，可得＞0，然后可得渐近线夹角∠MON≤90°，代入渐近线斜率计算即可求得．
【解答】解：设P2的对称点P3（x2，﹣y2）仍在双曲线右支，由x1x2＞y1y2，
得x1x2﹣y1y2＞0，即＞0恒成立，
∴∠P1OP3恒为锐角，即∠MON≤90°，
∴其中一条渐近线y＝x的斜率≤1，
∴a≥1，
所以实数a的取值范围为[1，+∞）．
故答案为：[1，+∞）．
【点评】本题考查了双曲线的性质，是中档题．
【典例1-8】．（2022•上海）双曲线﹣y2＝1的实轴长为 6 ．
【分析】根据双曲线的性质可得a＝3，实轴长为2a＝6．
【解答】解：由双曲线﹣y2＝1，可知：a＝3，
所以双曲线的实轴长2a＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查双曲线的性质，是基础题．
【典例1-9】．（2021•上海）直线x＝﹣2与直线x﹣y+1＝0的夹角为 ．
【分析】先求出直线的斜率，可得它们的倾斜角，从而求出两条直线的夹角．
【解答】解：∵直线x＝﹣2的斜率不存在，倾斜角为，
直线x﹣y+1＝0的斜率为，倾斜角为，
故直线x＝﹣2与直线x﹣y+1＝0的夹角为﹣＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查直线的斜率和倾斜角，两条直线的夹角，属于基础题．
【典例1-10】．（2021•上海）若x2+y2﹣2x﹣4y＝0，求圆心坐标为 （1，2） ．
【分析】将一般方程化为标准方程，然后确定其圆心坐标即可．
【解答】解：由x2+y2﹣2x﹣4y＝0，可得圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5，
所以圆心坐标为（1，2）．
故答案为：（1，2）．
【点评】本题考查了圆的一般方程和标准方程，考查了转化思想，属于基础题．
【典例1-11】．（2021•上海）已知抛物线y2＝2px（p＞0），若第一象限的A，B在抛物线上，焦点为F，|AF|＝2，|BF|＝4，|AB|＝3，求直线AB的斜率为 ．
【分析】将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，根据已知条件结合斜率的定义，求出直线AB的斜率即可．
【解答】解：如图所示，设抛物线的准线为l，作AC⊥l于点C，BD⊥l于点D，AE⊥BD于点E，
由抛物线的定义，可得AC＝AF＝2，BD＝BF＝4，
∴，
∴直线AB的斜率．
故答案为：．
【点评】本题主要考查直线斜率的定义与计算，抛物线的定义等知识，属于基础题．
【典例1-12】．（2021•上海）已知椭圆x2+＝1（0＜b＜1）的左、右焦点为F1、F2，以O为顶点，F2为焦点作抛物线交椭圆于P，且∠PF1F2＝45°，则抛物线的准线方程是 x＝1﹣ ．
【分析】先设出椭圆的左右焦点坐标，进而可得抛物线的方程，设出直线PF1的方程并与抛物线方程联立，求出点P的坐标，由此可得PF2⊥F1F2，进而可以求出PF1，PF2的长度，再由椭圆的定义即可求解．
【解答】解：设F1（﹣c，0），F2（c，0），则抛物线y2＝4cx，
直线PF1：y＝x+c，联立方程组，解得x＝c，y＝2c，
所以点P的坐标为（c，2c），所以PF2⊥F1F2，又PF
所以PF，
则c＝﹣1，
所以抛物线的准线方程为：x＝﹣c＝1﹣，
故答案为：x＝1﹣．
【点评】本题考查了抛物线的定义以及椭圆的定义和性质，考查了学生的运算推理能力，属于中档题．
【典例1-13】．（2023•上海）已知P，Q是曲线Γ上两点，若存在M点，使得曲线Γ上任意一点P都存在Q使得|MP|•|MQ|＝1，则称曲线Γ是“自相关曲线”．现有如下两个命题：①任意椭圆都是“自相关曲线”；②存在双曲线是“自相关曲线”，则（ ）
A．①成立，②成立B．①成立，②不成立
C．①不成立，②成立D．①不成立，②不成立
【分析】根据定义结合图象，验证|MP|•|MQ|＝1是否恒成立即可．
【解答】解：∵椭圆是封闭的，总可以找到满足题意的M点，使得|MP|•|MQ|＝1成立，故①正确，
在双曲线中，|PM|max→+∞，|PM|min＝0，当|PM|＝0时，Q点不存在；
当|PM|min＝n，0＜n≤1时，|QM|＝，
但当|PM|＝＞，此时|QM|＝＜n，这与|PM|min＝n矛盾，故②错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查与曲线方程有关的新定义，根据条件结合图象验证|MP|•|MQ|＝1是否成立是解决本题的关键，是中档题．
【典例1-14】．（2022•上海）设集合Ω＝{（x，y）|（x﹣k）2+（y﹣k2）2＝4|k|，k∈Z}
①存在直线l，使得集合Ω中不存在点在l上，而存在点在l两侧；
②存在直线l，使得集合Ω中存在无数点在l上；（ ）
A．①成立②成立B．①成立②不成立
C．①不成立②成立D．①不成立②不成立
【分析】分k＝0，k＞0，k＜0，求出动点的轨迹，即可判定．
【解答】解：当k＝0时，集合Ω＝{（x，y）|（x﹣k）2+（y﹣k2）2＝4|k|，k∈Z}＝{（0，0）}，
当k＞0时，集合Ω＝{（x，y）|（x﹣k）2+（y﹣k2）2＝4|k|，k∈Z}，
表示圆心为（k，k2），半径为r＝2的圆，
圆的圆心在直线y＝x2上，半径r＝f（k）＝2单调递增，
相邻两个圆的圆心距d＝＝，相邻两个圆的半径之和为l＝2+2，
因为d＞l有解，故相邻两个圆之间的位置关系可能相离，
当k＜0时，同k＞0的情况，故存在直线l，使得集合Ω中不存在点在l上，而存在点在l两侧，故①正确，
若直线l斜率不存在，显然不成立，
设直线l：y＝mx+n，若考虑直线l与圆（x﹣k）2+（y﹣k2）2＝4|k|的焦点个数，
d＝，r＝，
给定m，n，当k足够大时，均有d＞r，
故直线l只与有限个圆相交，②错误．
故选：B．
【点评】本题考查了动点的轨迹、直线与圆的位置关系，属于中档题．
题型02 直线与方程
【典例2-1】．（2024·上海嘉定·一模）直线的倾斜角为 .（用反三角函数表示）
【典例2-2】．（24-25高三上·上海·阶段练习）直线l过点，法向量，则l的一般式方程为 .
【变式2-1】．（24-25高三上·上海·阶段练习）设，若直线与直线互相垂直，则 ．
【变式2-2】．（2023·上海静安·一模）若直线与直线平行，则这两条直线间的距离是 ．
【变式2-3】．（2024·上海长宁·二模）直线与直线的夹角大小为 ．
题型03 圆与方程
【典例3-1】．（24-25高三上·上海金山·期末）以为圆心且过点的圆的标准方程是 ．
【典例3-2】．（2024·上海普陀·模拟预测）已知圆的周长为，则实数的值为 .
【变式3-1】．（24-25高三上·上海·开学考试）已知圆：与圆：外切，则实数 ．
【变式3-1】．（24-25高三上·上海·开学考试）已知圆，则圆心到直线的最大距离为 .
题型04 圆与方程的应用
【典例4-1】．（2024·上海·模拟预测）平面点集所构成区域的面积为 .
【典例4-2】．（2024·上海·模拟预测）正方形草地边长到距离为到距离为，有个圆形通道经过，且经过上一点，求圆形通道的周长 .（精确到）

【变式4-1】．（24-25高三上·上海黄浦·期末）i为虚数单位，若复数满足，复数满足，则的最小值为 ．
【变式4-2】．（24-25高三上·上海嘉定·期中）设函数，若点满足，，记点P构成的图形为，则的面积是 .
【变式4-3】．（24-25高三上·上海·期中）已知实数、、、满足，，，记，则的最大值是 .
【变式4-4】．（24-25高三上·上海·期中）已知平面向量 满足，且对任意的实数t，均有 则的最小值为
题型05 圆锥曲线的概念辨析
【典例5-1】．（2024·上海崇明·一模）双曲线的渐近线方程是 ．
【典例5-2】．（2024·上海青浦·二模）椭圆的离心率为，则 ．
【变式5-1】．（2024·上海静安·一模）到点距离之和为10的动点的轨迹方程为 .
【变式5-2】．（2022·上海浦东新·一模）若方程表示双曲线，则此双曲线的虚轴长等于（ ）
A．B．C．D．
【变式5-3】．（23-24高三下·上海·阶段练习）若抛物线的焦点到它的准线距离为1，则实数m=
【变式5-4】．（23-24高三下·上海·阶段练习）将抛物线:关于直线对称，得到抛物线，则抛物线的焦点到其准线的距离为 .
【变式5-5】．（2024高三·全国·专题练习）已知焦点在x轴上的双曲线的离心率，则k的取值范围是 ．
题型06 圆锥曲线的综合应用
【典例6-1】．（2023·上海虹口·一模）已知是椭圆与抛物线的一个共同焦点，与相交于A，B两点，则线段AB的长等于（ ）
A．B．C．D．
【典例6-2】．（2024·上海普陀·一模）设椭圆的左、右焦点分别为、，左顶点为，若椭圆的离心率为，则的值为 .
【变式6-1】．（24-25高三上·上海浦东新·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为、，双曲线上的点在第一象限，且与双曲线的一条渐近线平行，则的面积为 ．

【变式6-2】．（24-25高三上·上海·期中）已知抛物线，圆，过圆心作斜率为的直线与抛物线和圆交于四点，自上而下依次为，，，，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式6-3】．（2024高三·上海·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别是，，经过的直线与双曲线的右支相交于，两点，且，则双曲线的离心率等于（ ）
A．B．C．2D．3
【变式6-4】．（23-24高三下·上海·期中）设为双曲线:左、右焦点，点在的右支上，线段与的左支相交于点，且，则 .
【变式6-5】．（2024·上海·模拟预测）椭圆的左、右焦点分别为，过作轴的垂线交椭圆于，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 .
题型07 角度问题
【典例7-1】．（23-24高三下·上海青浦·阶段练习）已知为双曲线的两个焦点，P为C虚轴的一个端点，，则C的渐近线方程为 ．
【变式7-1】．（2023·上海闵行·模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为，椭圆存在一点，若，则椭圆的离心率取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
题型08 向量问题
【典例8-1】．（2024·上海闵行·二模）双曲线的左右焦点分别为，过坐标原点的直线与相交于两点，若，则 .
【变式8-1】．（23-24高三下·上海·阶段练习）设为坐标原点，为抛物线的焦点，是抛物线上一点，若，则点的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
题型09 与数列结合问题
【典例9-1】．（2024·上海·三模）已知椭圆C的焦点、都在x轴上，P为椭圆C上一点，的周长为6，且，，成等差数列，则椭圆C的标准方程为 ．
【变式9-1】．（2020·上海·模拟预测）设数列的前项和为，，.已知，是双曲线：的左右焦点，，若对恒成立，则实数的取值范围是 .
题型10 空间中轨迹问题
【典例10-1】．（23-24高三下·上海·开学考试）已知四棱锥的底面为矩形，平面ABCD，点Q为侧棱PA（不含端点的线段）上动点，则点Q在平面上的射影在（ ）
A．棱PB上B．内部C．外部D．不确定
【变式10-1】．（2023·上海闵行·一模）已知点P在正方体的表面上，P到三个平面ABCD、、中的两个平面的距离相等，且P到剩下一个平面的距离与P到此正方体的中心的距离相等，则满足条件的点P的个数为 ．
题型11选择压轴辨析题
【典例11-1】．（23-24高三上·上海宝山·期末）考虑这样的等腰三角形：它的三个顶点都在椭圆上，且其中恰有两个顶点为椭圆的顶点.关于这样的等腰三角形有多少个，有两个命题：命题①：满足条件的三角形至少有12个.命题②：满足条件的三角形最多有20个.关于这两个命题的真假有如下判断，正确的是（ ）
A．命题①正确；命题②错误.B．命题①错误；命题②正确.
C．命题①，②均正确.D．命题①，②均错误.
【变式11-1】．（2023·上海青浦·一模）定义：如果曲线段可以一笔画出，那么称曲线段为单轨道曲线，比如圆、椭圆都是单轨道曲线；如果曲线段由两条单轨道曲线构成，那么称曲线段为双轨道曲线．对于曲线有如下命题：存在常数，使得曲线为单轨道曲线； 存在常数，使得曲线为双轨道曲线．下列判断正确的是（ ）.
A．和均为真命题B．和均为假命题
C．为真命题，为假命题D．为假命题，为真命题
【变式11-2】．（23-24高三上·上海虹口·期末）已知曲线的对称中心为O，若对于上的任意一点A，都存在上两点B，C，使得O为的重心，则称曲线为“自稳定曲线”．现有如下两个命题：
①任意椭圆都是“自稳定曲线”；②存在双曲线是“自稳定曲线”．
则（ ）
A．①是假命题，②是真命题B．①是真命题，②是假命题
C．①②都是假命题D．①②都是真命题
【变式11-3】．（2023·上海黄浦·三模）曲线：，下列两个命题：
命题甲：当时，曲线与坐标轴围成的面积小于128；
命题乙：当k=2n，时，曲线围成的面积总大于4；
下面说法正确的是（ ）
A．甲是真命题，乙是真命题B．甲是真命题，乙是假命题
C．甲是假命题，乙是真命题D．甲是假命题，乙是假命题
一、填空题
1．（2024·上海·模拟预测）已知方程表示的曲线是椭圆，则实数的取值范围是 .
2．（2024·上海奉贤·一模）已知抛物线上有一点到准线的距离为，点到轴的距离为，则抛物线的焦点坐标为 ．
3．（2024·上海杨浦·一模）中国探月工程又称“嫦娥工程”，是中国航天活动的第三个里程碑.在探月过程中，月球探测器需要进行变轨，即从一条椭圆轨道变到另一条不同的椭圆轨道上.若变轨前后的两条椭圆轨道均以月球中心为一个焦点，变轨后椭圆轨道上的点与月球中心的距离最小值保持不变，而距离最大值扩大为变轨前的4倍，椭圆轨道的离心率扩大为变轨前的2.5倍，则变轨前的椭圆轨道的离心率为 .（精确到0.01）
4．（2024·上海闵行·一模）已知、分别为椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点．若，则 ．
5．（2024·上海浦东新·三模）已知点A、B位于抛物线上，，点M为线段的中点，记点M到y轴的距离为d.若d的最小值为7，则当d取该最小值时，直线的斜率为 .
6．（2024·上海奉贤·三模）已知正方体的棱长为，，，…，为正方形边上的个两两不同的点．若对任意的点，存在点.使得直线与平面以及平面所成角大小均为，则正整数的最大值为 ．
二、单选题
7．（2023·上海嘉定·三模）已知双曲线的离心率为，点的坐标为，若上的任意一点都满足，则（ ）
A．B．
C．D．
8．（2022·上海黄浦·二模）将曲线()与曲线()合成的曲线记作．设为实数，斜率为的直线与交于两点，为线段的中点，有下列两个结论：①存在，使得点的轨迹总落在某个椭圆上；②存在，使得点的轨迹总落在某条直线上，那么（ ）．
A．①②均正确B．①②均错误
C．①正确，②错误D．①错误，②正确
1、判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用d与r的关系．
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
2、根据条件求椭圆方程的主要方法
(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义．
(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可．
3、(1)双曲线渐近线的求法：求双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝0，即得两渐近线方程eq \f(x,a)±eq \f(y,b)＝0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＝±\f(b,a)x)).
(2)在双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±eq \f(b,a)，满足关系式e2＝1＋k2.