专题08 平面向量与复数(9类题型全归纳）-2025年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（北京专用）

这是一份专题08 平面向量与复数(9类题型全归纳）-2025年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（北京专用），文件包含专题08平面向量与复数9类题型全归纳-2025年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练北京专用原卷版docx、专题08平面向量与复数9类题型全归纳-2025年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练北京专用解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共54页， 欢迎下载使用。

目录
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc18468" 题型01 用基底表示向量 PAGEREF _Tc18468 \h 1
\l "_Tc12212" 题型02 平面向量共线定理推论 PAGEREF _Tc12212 \h 4
\l "_Tc15789" 题型03向量数量积（几何意义法） PAGEREF _Tc15789 \h 7
\l "_Tc6008" 题型04向量数量积（自主建系法） PAGEREF _Tc6008 \h 11
\l "_Tc18918" 题型05 向量数量积（极化恒等式法） PAGEREF _Tc18918 \h 15
\l "_Tc21089" 题型06 向量投影（投影向量） PAGEREF _Tc21089 \h 19
\l "_Tc31757" 题型07 向量模（含最值范围） PAGEREF _Tc31757 \h 22
\l "_Tc3678" 题型08向量夹角（含最值范围） PAGEREF _Tc3678 \h 24
\l "_Tc24413" 题型09复数的四则运算 PAGEREF _Tc24413 \h 27
题型01 用基底表示向量
【解题规律·提分快招】
【典例1-1】（2023·北京丰台·二模）如图，在中，为边上的中线，若为的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知识点】平面向量的混合运算、用基底表示向量
【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得.
【详解】
.
故选：D
【典例1-2】（2023·北京海淀·一模）在中，，的平分线交BC于点D．若，则（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】B
【知识点】平面向量基本定理的应用
【分析】设，由角平分线定理求得，然后由向量的线性运算可用表示出，从而求得，得出结论．
【详解】设，因为，所以，
又是的平分线，所以，，
，
又，所以，
所以．
故选：B．
【变式1-1】（2023·北京西城·一模）已知为所在平面内一点，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【知识点】用基底表示向量、向量的线性运算的几何应用
【分析】根据题意作出图形，利用向量线性运算即可得到答案.
【详解】由题意作出图形,如图,则
，
故选：A.
【变式1-2】（23-24高三上·北京·阶段练习）如图，在中，是的中点．若，则（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】用基底表示向量、向量的线性运算的几何应用
【分析】根据向量的线性运算即可求解.
【详解】,
所以，
故选：D
【变式1-3】（23-24高一下·北京丰台·期末）在中，点是边的中点．记，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】用基底表示向量
【分析】利用向量的线性运算直接求解即可.
【详解】如图，因为为边的中点，

所以，
所以，
所以.
故选：B.
题型02 平面向量共线定理推论
【解题规律·提分快招】
【典例1-1】（2024·浙江宁波·模拟预测）已知△ABC是边长为1的正三角形，是BN上一点且，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【知识点】用基底表示向量、用定义求向量的数量积、平面向量共线定理的推论
【分析】根据题意得，由三点共线求得，利用向量数量积运算求解即可.
【详解】由，得，且，
而三点共线，则，即，
所以，
所以.
故选：A.
【典例1-2】（2023高三·全国·专题练习）已知的重心为G，经过点G的直线交AB于D，交AC于E，若，，则 .
【答案】3
【知识点】向量的线性运算的几何应用、平面向量共线定理的推论
【分析】先由向量的线性运算求得，再由G，D，E三点共线得，即可求得.
【详解】
如图，设F为BC的中点，则，又，，
则，又G，D，E三点共线，∴，即.
故答案为：3.
【变式1-1】（2024·河北·模拟预测）已知点是直线上相异的三点，为直线外一点，且，则的值是（ ）
A．B．1C．D．
【答案】A
【知识点】平面向量共线定理的推论
【分析】化简得，再利用三点共线系数和为1的结论即可得到方程，解出即可.
【详解】，即，
因为点是直线上相异的三点，则点三点共线，
则，解得.
故选：A.
【变式1-2】（2024·天津河北·二模）是等腰直角三角形，其中，是所在平面内的一点，若（且），则在上的投影向量的长度的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】向量与几何最值、平面向量共线定理的推论、求投影向量
【分析】根据向量共线定理的推论，投影向量的概念，数形结合，即可求解．
【详解】设，（且），
则（且），
则在线段上，如图所示，

当与重合时，在上的投影向量的长度取得最大值，最大值为；
当与重合时，在上的投影向量的长度取得最小值，最小值为；
则在上的投影向量的长度的取值范围是．
故选：B.
【变式1-3】（2025高三·北京·专题练习）已知是的重心，过点作一条直线与边，分别交于点，（点，与所在边的端点均不重合），设，，则的最小值是 ．
【答案】
【知识点】向量加法的法则、向量数乘的有关计算、基本不等式求和的最小值、平面向量共线定理的推论
【分析】取中点，根据题意，利用向量的线性运算可得，由三点共线可得，再利用基本不等式即可求解.
【详解】如图：
取中点，则，，
，
三点共线，，即，
，
当且仅当时，取等号.
故答案为：.
题型03向量数量积（几何意义法）
【解题规律·提分快招】
【典例1-1】（2024·北京朝阳·一模）如图，圆为的外接圆，，，为边的中点，则（ ）

A．26B．13C．10D．5
【答案】B
【知识点】数量积的运算律、用定义求向量的数量积、平面向量数量积的几何意义
【分析】由中点关系可得，利用为的外接圆的圆心，可得，同理可得，即可得出结论．
【详解】由于是边的中点，可得，
是的外接圆的圆心，
，
同理可得，
．
故选：B
【典例1-2】（2024·北京门头沟·一模）已知是边长为的正△边上的动点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知识点】用定义求向量的数量积、平面向量数量积的几何意义
【分析】根据向量数量积的几何意义可得，再由即可求范围.
【详解】由在边上运动，且△为边长为2的正三角形，
所以，则，
由.
故选：D
【变式1-1】（23-24高三下·北京西城·开学考试）如图，圆为的外接圆，，为边的中点，则（ ）

A．10B．13C．18D．26
【答案】B
【知识点】平面向量数量积的几何意义、数量积的运算律
【分析】根据三角形外接圆的性质，结合数量积的几何意义求解可得可得与，再根据平面向量的运算可得出结论．
【详解】是边的中点，可得，
是的外接圆的圆心，
，
同理可得，
．
故选：B．
【变式1-2】（23-24高一下·北京海淀·期中）如图，已知四边形ABCD为直角梯形，，，AB=1，AD=3，，设点P为直角梯形ABCD内一点（不包含边界），则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】用定义求向量的数量积、平面向量数量积的几何意义
【分析】依题意过点作交的延长线于点，即可求出，设与的夹角为，结合图形即可得到在方向上的投影的取值范围，再根据数量积的几何意义计算可得；
【详解】解：依题意过点作交的延长线于点，则，
设与的夹角为，
因为点为直角梯形内一点（不包含边界），所以在方向上的投影，且，
所以
故选：A
【变式1-3】（23-24高一下·江苏扬州·期中）在年月日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，象征各国、各地区代表团的朵“小雪花”汇聚成一朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界（如图①），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（如图②）．已知正六边形的边长为，点满足，则 ；若点是其内部一点（包含边界），则的最大值是 ．
【答案】 /0.5 32/1.5
【知识点】已知数量积求模、数量积的运算律、用定义求向量的数量积、平面向量数量积的几何意义
【分析】由题可得，利用向量的数量积的运算法则即得，然后利用数量积的定义结合正六边形的性质即得.
【详解】由题可知，
∴，
∴，
设向量的夹角为，设在直线的射影为，要使的最大则，因为，如图可知当在处时，最大，
此时.
故答案为：；.
题型04向量数量积（自主建系法）
【解题规律·提分快招】
【典例1-1】（2024·北京·三模）已知点在边长为2的正八边形的边上，点在边上，则 的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知识点】数量积的坐标表示、向量与几何最值
【分析】以为原点，建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，计算即可.
【详解】以为原点， 为轴，为轴建立平面直角坐标系，
设，则，
所以，
由于正八边形的每个外角都为；
则，
所以.
故选：C
【典例1-2】（2024·北京昌平·二模）已知正方形的边长为1，点满足．当时， ；当 时，取得最大值．
【答案】 /0.5
【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、数量积的坐标表示
【分析】第一空建立如图所示坐标系，用坐标分分别表示出，再计算数量积即可；第二空建立如图所示坐标系，用坐标表示出，，结合二次函数的性质计算数量积的最大值即可.
【详解】根据题意，建立以为原点的平面直角坐标系，如图

则
因为正方形的边长为1，
当时，，所以，
所以，
所以；
如图，

因为，所以，
所以，，
所以，
所以当时，取得最大值.
故答案为：；.
【变式1-1】（2024·北京朝阳·一模）在中，，，点在线段上.当取得最小值时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】数量积的坐标表示、向量模的坐标表示
【分析】首先建立平面直角坐标系，利用坐标表示数量积，并求最小值，求得的坐标，即可求解.
【详解】如图，以所在直线为轴，以的垂直平分线建立轴，建立平面直角坐标系，

由，，则，
所以，，，设，
则，，
则，
当时，取得最小值，此时，.
故选：B
【变式1-2】（2024·北京东城·一模）已知正方形ABCD的边长为2，P为正方形ABCD内部（不含边界）的动点，且满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】向量与几何最值、数量积的坐标表示
【分析】通过建立合适的直角坐标系，设，得到的轨迹方程，最后得到的表达式，根据函数单调性即可得到其范围.
【详解】以中点为原点建立如下直角坐标系；
则，，，
设，则，，
则，
即，则，其中，，
则，
则，
故选：D.
【变式1-3】（2024·北京通州·一模）在矩形ABCD中，，，点P在AB边上，则向量在向量上的投影向量的长度是 ，的最大值是 ．
【答案】
【知识点】数量积的运算律、数量积的坐标表示、求投影向量
【分析】根据投影向量的概念，可求得向量在向量上的投影向量的长度；
建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算，表示出，利用二次函数的性质求得答案.
【详解】由题意可得 ，
即向量在向量上的投影向量的长度是 ；
如图，以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，建立平面直角坐标系，
设 ，则 ,
故 ，
则，
当时，取最大值为 ，
故答案为：；
题型05 向量数量积（极化恒等式法）
【解题规律·提分快招】
【典例1-1】（2024高三·全国·专题练习）如图，是圆O的一条直径且，是圆O的一条弦，且，点P在线段上，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】向量加法的法则、数量积的运算律
【分析】由题意可得，则当最小时，取得最小值，然后结合圆的性质可求出的最小值，从而可求得结果.
【详解】由题意可得，
为使最小，只需最小，
所以只需，根据圆的性质可得，此时为中点，
又，因此，
所以的最小值为.
故选：B
【典例1-2】（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）已知棱长为2的正方体，点P是其表面上的动点，该正方体内切球的一条直径是MN，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】数量积的运算律、向量与几何最值、多面体与球体内切外接问题
【分析】利用极化恒等式化为，从而转化为动点到正方体中心的最大与最小距离问题，从而即可求解.
【详解】
设内切球的球心为，
由，
已知正方体的棱长为2，所以内切球的直径，
所以，由于点P是正方体表面上的动点，
可知：，即，
故答案为：.
【变式1-1】（2024高三·全国·专题练习）已知正六边形的边长为4，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的最小值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】D
【知识点】向量与几何最值、数量积的运算律
【分析】根据，结合正六边形的性质求解的范围即可.
【详解】如图所示，由正六边形的几何性质可知，，，，，，均是边长为4的等边三角形，
当点位于正六边形的顶点时，取最大值4，
当点为正六边形各边的中点时，取最小值，即，
所以．
所以，
即的最小值为8．
故选：D
【变式1-2】（24-25高一上·浙江杭州·阶段练习）在中，在的三边上运动，是外接圆的直径，若，，，则的取值范围是 .
【答案】
【知识点】正弦定理求外接圆半径、余弦定理解三角形、向量加法的法则、数量积的运算律
【分析】设外接圆圆心为，半径为，利用平面向量的线性运算与数量积可得，再结合圆的几何性质确定其最大最小值可得结论.
【详解】设外接圆圆心为，半径为，
由余弦定理有，所以，
由正弦定理有，即，
，
设到三边，，的距离分别为，则
，，
.
所以的最小值为，最大值为，
即的最小值为，最大值为，
所以的取值范围是.
故答案为：.
题型06 向量投影（投影向量）
【解题规律·提分快招】
【典例1-1】（23-24高一下·北京大兴·期中）已知是夹角为的两个非零向量，且，若向量在向量上的投影向量为，则（ ）
A．B．
C．4D．
【答案】A
【知识点】求投影向量、数量积的运算律、用定义求向量的数量积
【分析】设，计算出向量在向量上的投影向量为，由题知投影向量为，所以，解出的值.
【详解】设，则，，
所以向量在向量上的投影的数量为，
因为投影向量是，所以，解得，
故选：A.
【典例1-2】（23-24高二上·北京通州·期中）在空间直角坐标系中，已知，，.则与的夹角的余弦值为 ；在的投影向量 .
【答案】 /0.5
【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量夹角余弦的坐标表示、求投影向量
【分析】先根据空间向量的坐标运算求出与的坐标，然后由向量夹角的运算公式和投影向量的计算公式即可求出结果.
【详解】因为，，，
所以，，
所以，
在的投影向量为.
故答案为：12；.
【变式1-1】（2024·北京·模拟预测）已知向量，在上的投影向量为，，则 .
【答案】
【知识点】求投影向量、坐标计算向量的模、数量积的运算律
【分析】在上的投影向量为，由投影向量公式可得，再由，两边同时平方可求出.
【详解】向量，，
在上的投影向量为，则，得，
，则，
解得.
故答案为：
【变式1-2】（23-24高一下·北京·期中）已知向量，，则 ；向量在上的投影向量的坐标为 ．
【答案】
【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、数量积的坐标表示、坐标计算向量的模、求投影向量
【分析】运用平面向量加法、向量数量积、向量的模、投影向量公式计算即可.
【详解】解：，，
则；
，，
故向量在上的投影向量的坐标为：.
故答案为：；.
【变式1-3】（23-24高一下·北京门头沟·期中）设向量与的夹角为，且，，则在方向上的投影数量为 ．
【答案】
【知识点】求投影向量、平面向量数量积的几何意义
【分析】由向量的投影公式即可求解.
【详解】由题意在方向上的投影数量为.
故答案为：.
题型07 向量模（含最值范围）
【解题规律·提分快招】
【典例1-1】（23-24高三上·北京丰台·期中）已知向量满足，且，则（ ）
A．12B．C．4D．2
【答案】B
【知识点】已知数量积求模、数量积的运算律
【分析】借助向量的模长与数量积的关系计算即可得.
【详解】.
故选：B.
【典例1-2】（23-24高三上·北京海淀·阶段练习）已知平面向量，，满足，，则的取值范围是
【答案】
【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、已知数量积求模、坐标计算向量的模
【分析】求出，再用，的夹角表示出即可得解.
【详解】因，则，设，的夹角为，
于是得，而，
因此，，即，
所以的取值范围是.
故答案为：
【变式1-1】（23-24高一上·北京西城·期末）如图，AB为半圆的直径，点C为的中点，点M为线段AB上的一点（含端点A，B），若，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知识点】向量的模、已知数量积求模、向量与几何最值
【分析】根据题意可得出，然后根据向量的运算得出，从而可求出答案.
【详解】因为点C为的中点，，所以，
所以
，
因为点M为线段AB上的一点，所以，所以，
所以的取值范围是,
故选：D.
【变式1-2】（23-24高三上·北京昌平·期末）已知向量，满足，在方向上的投影为2，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】用定义求向量的数量积、已知数量积求模
【分析】由题意得到投影，得出和，即可得到的最小值.
【详解】因为在方向上的投影为2，所以.
所以，且.
因为，
所以.
故选：C
【变式1-3】（24-25高三上·北京西城·期末）折扇，古称聚头扇、撒扇等，以其收拢时能够二头合并归一而得名.某折扇的扇面是一个圆台的侧面展开图，如图所示.设，，则扇面（图中扇环）部分的面积是 ， .
【答案】
【知识点】扇形面积的有关计算、已知数量积求模
【分析】根据扇形面积公式，即可求解扇面的面积；根据向量数量积公式求模.
【详解】由条可知，，，
所以扇形的面积，扇形的面积,
所以扇面的面积是；
.
故答案为：；
题型08向量夹角（含最值范围）
【解题规律·提分快招】
【典例1-1】（2024·北京·模拟预测）平面向量，满足，且，则与夹角的正弦值的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】余弦定理解三角形、向量夹角的计算、基本不等式求和的最小值
【分析】设，，则，设，，，根据均值不等式计算最值，再利用同角三角函数关系得到答案.
【详解】如图所示：设，，则，设，，，
，
当，即时等号成立，故，
当最小时，最大，
故与夹角的正弦值的最大值为.
故选：B
【典例1-2】（2024高三·北京海淀·专题练习）已知平面向量满足，则向量与夹角的最大值是 ．
【答案】
【知识点】已知模求数量积、基本不等式求积的最大值、向量夹角的计算
【分析】设，利用向量的数量积运算求得，再利用向量夹角余弦的表示，结合基本不等式即可得解.
【详解】因为，
所以，
设，则当与同向时，取得最大值为，
当与反向时，取得最小值为，故，
又，则，
所以，
设与的夹角为，则，
由于在上单调递减，故要求的最大值，则求的最小值即可，
因为，当且仅当，即时等号成立，
所以，即的最小值为，
因为，所以此时，即向量与夹角的最大值为.
故答案为：
【变式1-1】（2024·辽宁·模拟预测）向量且，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】向量夹角的计算、数量积的运算律
【分析】根据题意，分别求出和的值，进而利用平面向量的数量积求解即可.
【详解】由已知可得，
同理，
又，
所以与的夹角为.
故选：D.
【变式1-2】（2024·贵州遵义·二模）已知单位向量满足，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】已知模求数量积、向量夹角的计算、数量积的运算律
【分析】由求出，再求出与数量积和模长，由向量的夹角公式可得出答案.
【详解】由平方可得，即，
则，则，
又，
所以，
故与的夹角为.
故选：B
【变式1-3】（23-24高三上·北京·期中）设向量，向量，向量，若且，则与的夹角大小为 .
【答案】
【知识点】由向量共线（平行）求参数、向量夹角的计算、向量垂直的坐标表示
【分析】根据题意，求出，，再求出与，由向量的夹角公式代入即可得出答案.
【详解】根据题意，向量，，
若，则有，解可得，
若，则有，解可得；
则，，
设与的夹角为，
，，则有
，
又∵，∴，
即与的夹角大小为，
故答案为：.
题型09复数的四则运算
【解题规律·提分快招】
【典例1-1】（2024·北京·模拟预测）若，则（ ）
A．B．C．1D．
【答案】C
【知识点】求复数的模、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算
【分析】由可得，利用复数的除法可得z，结合共轭复数的概念以及模的计算，即得答案.
【详解】由，可得，
所以，
故，
故选：C
【典例1-2】（2024·北京海淀·二模）若，则 .
【答案】1
【知识点】复数的相等、复数代数形式的乘法运算
【分析】利用复数的四则运算，结合复数相等的性质得到关于的方程组，解之即可得解.
【详解】因为，
所以，即，
所以，解得.
故答案为：1.
【变式1-1】（2024·北京·三模）已知复数，则在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【知识点】复数的除法运算、共轭复数的概念及计算、判断复数对应的点所在的象限
【分析】根据条件，利用复数的运算法则及共轭复数的定义得到，即可求出结果.
【详解】由，得到，
所以，其对应点为，位于第三象限.
故选：C.
【变式1-2】（2024·北京通州·二模）在复平面内，复数z对应的点的坐标为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】复数的坐标表示、复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算
【分析】由复数的几何意义和复数的运算求出结果即可.
【详解】由题意可得，
所以，
故选：A.
【变式1-3】（2024·北京·三模）若是纯虚数，则实数a的值为 .
【答案】
【知识点】已知复数的类型求参数、复数的除法运算
【分析】求出复数的代数形式，然后根据纯虚数的定义列方程求解即可.
【详解】，
因为是纯虚数，
所以，得.
故答案为：
一、单选题
1．（2024·北京西城·二模）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】复数的坐标表示、复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算
【分析】由复数的几何意义得出，再运算化简即可.
【详解】复数对应的点的坐标是，所以，，
所以.
故选：D．
2．（2024·北京·模拟预测）复数满足，则复数的虚部为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算
【分析】利用复数除法法则及复数的概念即可求解.
【详解】由，得，
所以复数的虚部为.
故选：D.
3．（2023·北京海淀·二模）已知是平面内两个非零向量，那么“”是“存在，使得”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】充要条件的证明、平行向量（共线向量）
【分析】根据向量的模长关系以及共线，即可结合必要不充分条件进行判断.
【详解】若，则存在唯一的实数，使得，
故，
而，
存在使得成立，
所以“”是“存在，使得’的充分条件，
若且，则与方向相同，
故此时，所以“”是“存在存在，使得”的必要条件，
故“”是“存在，使得”的充分必要条件.
故选：C.
4．（2024·北京海淀·一模）已知向量满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算、向量模的坐标表示
【分析】将两边同时平方，将条件带入计算即可.
【详解】由已知，
所以，
得，又，
所以.
故选：C.
5．（2024·黑龙江·二模）已知，，在上的投影向量为，则向量与夹角余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】用定义求向量的数量积、向量夹角的计算、求投影向量
【分析】根据投影向量公式可求向量与夹角余弦值.
【详解】在上的投影向量为，故，
而，故，故，
故即，
故选：A.
6．（2024·北京门头沟·一模）在中，，， 且， 则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】数量积的运算律、已知模求数量积
【分析】将两边平方，即可得到，再由数量积的运算律计算可得.
【详解】因为，所以，
即，
所以，即，
所以.
故选：B
7．（2023·北京丰台·二模）已知A，B，C是单位圆上的三个动点，则的最小值是（ ）
A．0B．C．D．
【答案】B
【知识点】求二次函数的值域或最值、数量积的坐标表示、向量与几何最值
【分析】建立平面直角坐标系，设出，，表达出，结合，求出最小值.
【详解】以的垂直平分线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
设，，
则，
故，
当时，取得最小值，最小值为，
由于，故当时，最小，故最小值为，
此时，满足要求，
故选：B
【点睛】平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路：
①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解；
②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.
8．（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知非零向量满足，设与的夹角为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】用定义求向量的数量积、向量夹角的计算
【分析】设，则可得，利用向量的夹角公式可求的最小值.
【详解】设，则，因为，
所以，所以，
则，
当时取等号，所以的最小值为．
故选：B．
9．（2024·内蒙古赤峰·二模）如图，边长为的等边，动点在以为直径的半圆上.若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】平面向量基本定理的应用、向量与几何最值、二元二次方程表示的曲线与圆的关系、利用平面向量基本定理求参数
【分析】建立平面直角坐标系，可得半圆弧的方程为：，设，根据向量的坐标运算法则算出关于的式子，利用三角换元与正弦函数的性质求解即可．
【详解】由题意可以所在直线为x轴，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示：
结合已知得，B−2,0，，
半圆弧的方程为：，
设，则，，，
由得：，
解得：，
所以，
因为在上，所以，
又，
则可设，，，
将，代入整理得：
，
由得，
所以，，
故的取值范围是.
故选：D.
10．（2024·天津和平·二模）平面四边形ABCD中，，，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】平面向量数量积的几何意义、用定义求向量的数量积、数量积的运算律、向量与几何最值
【分析】由已知，得，，，四点共圆，从而判断点的轨迹是以为弦，圆周角为的劣弧（不含，两点），根据数量积的几何意义，得出结论．
【详解】由，，，
可得，故，
又，所以，
以为直径作圆，则，，，四点共圆，
如图所示，故点的轨迹是以为弦，圆周角为的劣弧（不含，两点），
则，
又表示在上的投影，
由图可知，，，
故（此时点在劣弧的中点位置），
即的最小值为．
故选：D．
【点睛】关键点点睛：①由，得到，，，四点在以为直径的圆上，
②看作是在上的投影,结合图形特征可得投影的取值范围.
11．（2024·湖北·模拟预测）向量，满足，，且，不等式恒成立.函数的最小值为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】C
【知识点】余弦定理解三角形、向量的线性运算的几何应用、用基底表示向量
【分析】先根据向量的夹角、模长及恒成立求出，利用距离和的最值求解的最小值.
【详解】作，，，
因为不等式恒成立，则，即，
从而有，故.
设，，
则.
作点E关于直线OB的对称点F，，
则，当且仅当三点共线时取得等号.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有二，一是恒成立条件的转化，可求的值；二是利用转化求得函数的最小值.
12．（23-24高三下·新疆·阶段练习）在中，，是的外心，为的中点，，是直线上异于、的任意一点，则（ ）
A．3B．6C．7D．9
【答案】B
【知识点】平面向量数量积的几何意义、用定义求向量的数量积、数量积的运算律
【分析】根据外心的性质得到，设，根据数量积的运算律得到，再由数量积的定义及几何意义求出，从而得解.
【详解】因为是的外心，为的中点，设的中点为，连接，

所以，，设，
则
，
又是的外心，所以
，
所以.
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是根据外接圆的性质将转化为，再一个就是利用数量积的几何意义求出.
二、填空题
13．（2024·北京东城·二模）若复数满足.则在复平面内，对应的点的坐标是 .
【答案】
【知识点】复数的坐标表示、复数代数形式的乘法运算
【分析】根据复数的乘法运算求，再结合复数的几何意义分析求解.
【详解】因为，可得，
所以对应的点的坐标是.
故答案为：.
14．（2023·北京海淀·模拟预测）已知点O是边长为4的正方形的中心，点P是正方形ABCD所在平面内一点，，若．
（1）的取值范围是 ；
（2）当取得最大值时，
【答案】
【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、平面向量基本定理的应用、平面向量线性运算的坐标表示、由圆心（或半径）求圆的方程
【分析】建立以A为原点的坐标系，可得P的轨迹方程，由P的轨迹方程可知，即，从而得第一问答案；将代入P的轨迹方程得，设，利用三角函数求得当时，取最大值，代入即可得第二空答案.
【详解】解：建立以A为原点的坐标系，如图所示：
由可得P的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
设，则有，
所以，
又因为，
所以，
由P的轨迹方程可知，
即，所以，
所以的范围为：；
将代入，得，
所以点在圆上，
设，
则，
所以当时，取最大值，此时，
所以，
所以，
所以.
故答案为：；
【点睛】方法点睛：对于较复杂的平面向量中涉及范围的问题，通过建模，将问题转化向量的坐标运算，从代数角度出发进行解答，从而降低难度.
15．（2024·河南·模拟预测）如图，已知，是圆O的两条直径，E是的中点，F是的中点，若，则 .
【答案】/1.1875
【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、向量在几何中的其他应用
【分析】利用极化恒等式将化简成含有半径的式子，即可转化成的形式，可得结果.
【详解】设圆的半径为，
由题意得
，
且
，，
所以，所以.
故答案为：
16．（2021·全国·模拟预测）如图，在中，，，P在以O为圆心，半径为1的圆上运动，则当取最大值时， ．
【答案】/
【知识点】向量夹角的计算、数量积的坐标表示、由圆心（或半径）求圆的方程
【分析】因为动点在单位圆上，所以利用坐标法来求向量积的最大值较为方便，即求夹角余弦值.
【详解】
如图所示，以为坐标原点，以方向为x轴，垂直方向为y轴，建立平面直角坐标系，
因为，，所以，．
设Px,y，圆O方程为，
则，，
所以．
因为，当时，，
此时，且，，
所以，，则．
故答案为：.
17．（2024·上海宝山·一模）已知平面向量满足：，，且对任意的单位向量满足，则的最大值为 .（用含的式子表示）
【答案】或
【知识点】已知模求数量积
【分析】讨论时情况以及判断的范围，从而设，表示出的表达式，结合三角恒等变换化简，即可求解,
【详解】由题意有：当时，可得当与同向时，取到最大值，
即此时恒成立，结合，即，
此时；
由于，
所以假设，此时，不符合题意；
故时，不妨设当为锐角，取到最大值，
此时也为锐角，
此时，
，（其中为辅助角）
而，
当时等号成立，
依题意可得恒成立，解得，
由于在时单调递减，故，
故令，结合解得
即得，；
由于时，，
所以的最大值为或.
故答案为：或.
【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于设出结合三角恒等变换求出的表达式，进而求解.
如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量，有且只有一对实数，使.
（，为实数），若，，三点共线
已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积(或内积)，记作，即，
根据图形建立适当的坐标系，
用坐标表示点
建立函数关系
根据函数关系求值
①平行四边形形式：若在平行四边形中，则
②三角形形式：在中，为的中点，所以
①定义：在平面内任取一点，作.过点作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量.
②投影向量计算公式:
当为锐角（如图（1））时，与方向相同，，所以；
当为直角（如图（2））时，，所以；
当为钝角（如图（3））时，与方向相反，所以，即.
当时，，所以；
当时，，所以
综上可知，对于任意的，都有.
（1）我们规定，复数乘法法则如下： 设,是任意两个复数，那么它们的乘积为
，
即
（2）规定复数的除法是乘法的逆运算，即把满足（，）的复数叫做复数除以复数的商，记作或
复数的除法法则
（）
由此可见，两个复数相除（除数不为0），所得的商是一个确定的复数.