2025年高考数学二轮热点题型归纳与演练(上海专用)专题01空间向量与立体几何(原卷版+解析)特训

这是一份2025年高考数学二轮热点题型归纳与演练(上海专用)专题01空间向量与立体几何(原卷版+解析)特训，文件包含2025年高考数学二轮热点题型归纳与演练上海专用专题01空间向量与立体几何原卷版docx、2025年高考数学二轮热点题型归纳与演练上海专用专题01空间向量与立体几何解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共71页， 欢迎下载使用。

TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc27194" 题型01 直接求线面角2
\l "_Tc22731" 题型02 根据条件求线面角3
\l "_Tc394" 题型03 根据条件求线线角5
\l "_Tc1766" 题型04 直接求二面角5
\l "_Tc8506" 题型05 根据条件求面面角6
\l "_Tc6010" 题型06 空间中的距离问题8
\l "_Tc22452" 题型07 存在性问题9
\l "_Tc5641" 题型08 其他问题10
【解题规律·提分快招】
题型01 直接求线面角
【典例1-1】．（2024·上海·三模）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，，点是的中点．

(1)求证：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【典例1-2】．（2022·上海·模拟预测）如图所示三棱锥P-ABC，底面为等边三角形ABC，O为AC边中点，且底面ABC，

(1)求三棱锥P-ABC的体积；
(2)若M为BC中点，求PM与平面PAC所成角大小（结果用反三角数值表示）.
【变式1-1】．（2024·上海徐汇·二模）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面圆的圆心，为圆的直径，且，是底面圆的内接正三角形，为线段上一点，且.
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【变式1-2】．（2023·上海普陀·三模）如图，在四棱锥中，正方形的边长为2，平面平面，且，，点分别是线段的中点.

(1)求证：直线平面；
(2)求直线与平面所成角的大小.
【变式1-3】．（2023·上海虹口·三模）已知圆锥的顶点为S，底面圆心为O，半径为2，母线SA､SB的长为，且M为线段AB的中点．

(1)证明：平面SOM平面SAB；
(2)求直线SM与平面SOA所成角的大小．
题型02 根据条件求线面角
【典例2-1】．（2024·上海虹口·二模）如图，在三棱柱中，，为的中点，，.
(1)求证：平面；
(2)若平面，点在棱上，且平面，求直线与平面所成角的正弦值.
【典例2-2】．（2024·上海·模拟预测）如图为正四棱锥为底面的中心．
(1)若，求绕旋转一周形成的几何体的体积；
(2)若为的中点，求直线与平面所成角的大小．
【变式2-1】．（2024·上海奉贤·三模）如图，四棱锥的底面是梯形，，，，平面，．
(1)求证：平面
(2)若二面角的大小为，求与平面所成的角的大小．（结果用反三角函数值表示）
【变式2-2】．（2024高三下·上海·专题练习）如图，在圆柱中，底面直径等于母线，点在底面的圆周上，且，是垂足．
(1)求证：；
(2)若圆柱与三棱锥的体积的比等于，求直线与平面所成角的大小．
【变式2-3】．（2024·上海·模拟预测）如图，多面体是由一个正四棱锥与一个三棱锥拼接而成，正四棱锥的所有棱长均为，且．
(1)在棱上找一点，使得平面平面，并给出证明；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．
题型03 根据条件求线线角
【典例3-1】．（2024高三·上海·专题练习）如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，侧面是正三角形，侧面底面是棱的中点，.
(1)证明：平面；
(2)若二面角为，求异面直线与所成角的正切值.
【变式3-1】．（2024·上海宝山·二模）如图，已知点在圆柱的底面圆的圆周上，AB为圆的直径.
(1)求证：；
(2)若，，圆柱的体积为，求异面直线与所成角的大小.
题型04 直接求二面角
【典例4-1】．（2024·上海·一模）三棱柱中，平面，且，为中点．

(1)求四面体的体积：
(2)求平面与所成锐二面角的余弦值．
【变式4-1】．（2024·上海金山·二模）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的，点是的中点，点在上，异面直线与所成的角是．

(1)求证：；
(2)若，，求二面角的大小．
题型05 根据条件求二面角
【典例5-1】．（2024·上海·模拟预测）如图，、、为圆锥三条母线，.
(1)证明:；
(2)若圆锥侧面积为为底面直径，，求二面角的大小
【典例5-2】．（2024·上海·三模）如图，在三棱锥中，，，点O是AC的中点．
(1)证明：平面ABC；
(2)点M在棱BC上，且，求二面角的大小．
【变式5-1】．（2024高三·上海·专题练习）如图，在三棱柱中，平面平面，，四边形是边长为2的正方形.
(1)证明：平面；
(2)若直线与平面所成的角为30°，求二面角的余弦值．
【变式5-2】．（2024高三·上海·专题练习）小红同学利用计算机动画演示圆柱的形成过程，将正方形绕直线逆时针旋转弧度时，到达的位置，得到如图所示的几何体.
(1)求证：平面平面；
(2)若是的中点，求二面角的正弦值.
【变式5-3】．（2023·上海浦东新·模拟预测）如图，直三棱柱内接于圆柱，，平面平面
(1)证明：是圆柱下底面的直径；
(2)若为中点，为中点，求平面与平面所成二面角的正弦值.
【变式5-4】．（2023·上海奉贤·一模）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，已知四面体中，平面，．
(1)若，求证：四面体是鳖臑，并求该四面体的体积；
(2)若四面体是鳖臑，当时，求二面角的平面角的大小．
【变式5-5】．（2024·上海黄浦·二模）如图，在四棱锥中，底面为矩形，点E是棱PD上的一点，平面.

(1)求证：点E是棱PD的中点；
(2)若平面，，，与平面ABCD所成角的正切值为，求二面角的大小.
题型06 空间中的距离问题
【典例6-1】．（2023·上海崇明·一模）如图，四棱锥中，平面，，，，，E，F分别为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求点B到平面的距离．
【变式6-1】．（2023·上海杨浦·一模）如图所示，在四棱锥中，平面，底面是正方形.

(1)求证：平面平面；
(2)设，若四棱锥的体积为，求点到平面的距离.
题型07 存在性问题
【典例7-1】．（2024·全国·模拟预测）如图，在多面体中，已知四边形是菱形，，平面，平面，.
(1)在线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由.
(2)求二面角的余弦值.
【典例7-1】．（2023·上海长宁·三模）已知和所在的平面互相垂直，，，，，是线段的中点，.
(1)求证：；
(2)设，在线段上是否存在点（异于点），使得二面角的大小为.
【变式7-1】．（2024高三·上海·专题练习）如图，在四面体中，平面，点为中点，且，，.
(1)证明：；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)在直线上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在；求的值；若不存在，请说明理由.
题型08 其他问题
【典例8-1】．（2023·上海普陀·二模）如图，在直三棱柱中，，，．
(1)求证：；
(2)设与底面ABC所成角的大小为，求三棱锥的体积．
【典例8-2】．（2023·上海闵行·二模）已知正方体，点为中点，直线交平面于点.

(1)证明：点为的中点；
(2)若点为棱上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值.
【变式8-1】．（2023·上海普陀·一模）图1所示的是等腰梯形，，，，于点，现将沿直线DE折起到的位置，形成一个四棱锥，如图2所示.
(1)若，求证：平面；
(2)若直线与平面所成的角为，求二面角的大小.
【变式8-2】．（2023·上海嘉定·一模）中国历史悠久，积累了许多房屋建筑的经验．房梁为柱体，或取整根树干而制为圆柱形状，或作适当裁减而制为长方体形状，例如下图所示．
材质确定的梁的承重能力取决于截面形状，现代工程科学常用抗弯截面系数W来刻画梁的承重能力．对于两个截面积相同的梁，称W较大的梁的截面形状更好．三种不同截面形状的梁的抗弯截面系数公式，如下表所列，
(1)假设上表中的三种梁的截面面积相等，请问哪一种梁的截面形状最好？并具体说明；
(2)宋朝学者李诫在《营造法式》中提出了矩形截面的梁的截面长宽之比应定为的观点．考虑梁取材于圆柱形的树木，设矩形截面的外接圆的直径为常数D，如下图所示，请问为何值时，其抗弯截面系数取得最大值，并据此分析李诫的观点是否合理．
一、解答题
1．（2023·上海·模拟预测）在直四棱柱中，，，，，
(1)求证：平面；
(2)若四棱柱体积为36，求二面角大小.
2．（2024·上海杨浦·二模）如图，为圆锥顶点，为底面中心，，，均在底面圆周上，且为等边三角形.

(1)求证：平面平面；
(2)若圆锥底面半径为2，高为，求点到平面的距离.
3．（2024·上海闵行·二模）如图，已知为等腰梯形， ，，平面，.
(1)求证：；
(2)求二面角的大小.
4．（2024·上海松江·二模）如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，为的中点.
(1)设平面与直线相交于点，求证：；
(2)若，，，求直线与平面所成角的大小.
5．（2024·上海嘉定·模拟预测）如图，在正四棱锥中，，E、F分别为PB、PD的中点，平面与棱PC的交点为G.
(1)求平面与平面所成锐二面角的大小；
(2)若，求的值.
6．（2023·上海宝山·一模）如图，在直三棱柱中，，，且分别是的中点.
(1)证明：；
(2)求三棱锥的体积；
(3)求直线与平面所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）
7．（2024·上海静安·二模）如图1所示，是水平放置的矩形，，．如图2所示，将沿矩形的对角线向上翻折，使得平面平面．
(1)求四面体的体积；
(2)试判断与证明以下两个问题：
① 在平面上是否存在经过点的直线，使得？
② 在平面上是否存在经过点的直线，使得？
8．（2024·上海奉贤·一模）如图为正四棱锥为底面的中心．
(1)求证：平面，平面平面；
(2)设为上的一点，．
在下面两问中选一个，
①若，求直线与平面所成角的大小．
②已知平面与平面所成锐二面角的大小为，若，求的长．
1、求空间几何体的体积的常用方法
公式法
规则几何体的体积，直接利用公式
割补法
把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则的几何体
等体积法
通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积
求空间几何体的表面积方法归纳：
(1)多面体的表面积是各个面的面积之和．
(2)旋转体的表面积是将其展开后，展开图的面积与底面面积之和．
(3)组合体的表面积求解时注意对衔接部分的处理．
3、证明平行关系的常用方法
熟练掌握线线、线面、面面平行关系间的相互转化是解决线线、线面、面面平行的综合问题的关键．面面平行判定定理的推论也是证明面面平行的一种常用方法．
4、(1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化．
(2)对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证．
5、(1)利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及到直线、平面的要素)．
(2)向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何的有关定理．
圆形截面
正方形截面
矩形截面
条件
r为圆半径
a为正方形边长
h为矩形的长，b为矩形的宽，
抗弯截面系数