云南省大理白族自治州下关一中初中部教育集团2024-2025学年八年级下学期4月期中 数学试题（含解析）

这是一份云南省大理白族自治州下关一中初中部教育集团2024-2025学年八年级下学期4月期中 数学试题（含解析），共13页。
【考生注意】
1．本卷共三大题，27个小题．总分100分，考试时间120分钟．
2．请在答题卡相应的位置作答；在试卷，草稿纸上答题无效．
3．考试结束后请将答题卡交回．
一、选择题（本大题共15个小题，每小题只有一个正确答案，每小题2分，共30分）
1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查最简二次根式的识别，被开方数中不含字母或开得尽方的整数或整式，这样的二次根式即为最简二次根式，据此进行判断即可．
【详解】解：A、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
B、，被开方数不是整数，不是最简二次根式；
C、，被开方数不是整数，不是最简二次根式；
D、是最简二次根式；
故选：D．
2. 以下列各组线段为边作三角形，不能构成直角三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】A． ，故可以构成直角三角形，不符合题意；
B． ，故无法构成直角三角形，符合题意；
C． ，故可以构成直角三角形，不符合题意；
D． ，故可以构成直角三角形，不符合题意．
故选：B
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式的加减法对A、D进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断．
【详解】解：A．与不能合并，所以A选项错误；
B．原式，所以B选项错误；
C．原式，所以C选项准确；
D．原式，所以D选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
4. 如图，在菱形中，对角线、交于点 O，下列结论错误的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了菱形的性质．由菱形中，对角线、交于点，根据菱形的两条对角线互相垂直且平分，并且每一条对角线平分一组对角；即可求得答案．
【详解】A. 在菱形中，，故A正确，不符合题意；
B. 在菱形中，，故B正确，不符合题意；
C. 在菱形中，，故C正确，不符合题意；
D. 在菱形中，不能得出，故D错误，符合题意；
故选：D．
5. 若与最简二次根式可以合并成一个二次根式，则a的值为（ ）
A. 3B. 5C. 12D. 14
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了同类二次根式，首先化简，再根据同类二次根式定义可得，再解即可．
【详解】解：，
由题意得：，
解得：，
故选：B．
6. 下列命题，其中是真命题的为（ ）
A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 对角线相等的四边形是矩形
D. 一组邻边相等的矩形是正方形
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行四边形的判定判断A选项，根据菱形的判定判断B选项，根据矩形的判定判断C选项，根据正方形的判定判断D选项，真命题选择选项说法正确的即可．
【详解】解：A选项，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故A选项错误，不符合题意；
B选项，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B选项错误，不符合题意；
C选项，对角线相等的平行四边形是矩形，故C选项错误，不符合题意；
D选项，一组邻边相等的矩形是正方形，故D选项正确，符合题意
故选D．
【点睛】本题考查了真命题、平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定的知识点，熟练掌握这些判定是解答本题的关键．
7. 如图，在数轴上点表示数为，则的值为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先利用勾股定理求出BA=BD=，然后得到点A表示数．
【详解】解：在直角三角形BCD中，根据勾股定理得，
BD=，
BA= BD=，
故点A表示的数为-1+，
故选D．
【点睛】本题考查实数与数轴的关系，利用勾股定理表示出长度为无理数的线段是解决问题的关键．
8. 如图，平行四边形的周长为，，相交于点O，交于点E，则的周长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】主要考查了平行四边形的性质、中垂线的判定及性质等，考查面积较广，有一定的综合性．根据线段垂直平分线的性质可知，再结合平行四边形的性质即可计算的周长．
【详解】解：根据平行四边形的性质得：，
∵，
∴为的垂直平分线，
根据线段的垂直平分线上的点到两个端点的距离相等得：，
∴的周长．
故选：D．
9. 如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，，，则的长度是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，等腰三角形的判定，掌握折叠的不变性，运用勾股定理建立方程求解是解题的关键．
根据矩形的性质以及折叠的性质得到，设，则，然后在中，由勾股定理建立方程求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
由折叠知：，
∴，
∴，
设，则，
∴在中，由勾股定理得，
解得：，
∴，
故选：B．
10. 如图，的顶点坐标分别是，，，则B点的坐标为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行四边形的两组对边分别相等，平行四边形的两组对边分别平行，以及考查坐标与图形的性质等知识点；掌握平行四边形的性质和坐标的基本特征是解答该题的关键．根据平行四边形的对边相等，B点的横坐标减去C点的横坐标，等于A点的横坐标减去O点的横坐标，B点和C点的纵坐标相等，从而确定B点的坐标．
【详解】四边形是平行四边形，
，
B点的横坐标减去C点的横坐标，等于A点的横坐标减去O点的横坐标，B点和C点的纵坐标相等，
O， A，C的坐标分别是，，；
B点的坐标为
故选：B．
11. 如图,EF过矩形ABCD对角线的交点O,且分别交AB,CD于点E,F,若AB=3,BC=4,那么阴影部分的面积为( )

A. 4B. 12C. 6D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】根据矩形的中心对称性，运用中心对称图形的性质，易知阴影面积=三角形AOB或COD的面积．
【详解】解：∵矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点O，
∴△BOE≌△DOF．
∴阴影面积=△AOB的面积=AB•BC=3．
故选D．
【点睛】此题考查中心对称的性质，根据矩形的中心对称性进行转化求解．
12. 如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，CD⊥AB，垂足为D，AD＝1，则BD的长为( )
A. B. 2C. D. 3
【答案】C
【解析】
【详解】在△ABC中，∠A=45°，CD⊥AB
∴△ACD是等腰直角三角形
∴CD=AD=1
又∵∠B=30°
∴Rt△BCD中，BC=2CD=2
∴BD=
故选C．
13. 已知实数在数轴上的对应点如图所示，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次根式的性质，化简绝对值，数轴上的点表示实数，根据数轴可得到，，再根据所给的二次根式的性质即可求解．
【详解】解：由数轴可知，∵，
∴，
∴
，
故选：B．
14. 点是矩形的对角线的中点，是边的中点，，，则线段的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据矩形的性质可知，，根据三角形中位线的性质可知，利用勾股定理可求，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求的长度．
【详解】解：在矩形中，，
，，
又点是矩形的对角线的中点，是边的中点，，
，
，
点为的中点，，
．
故选：A．
【点睛】本题考查矩形的性质、三角形中位线的性质、勾股定理、三角形的性质，解决本题的关键是根据图形的性质求出相关线段之间的关系．
15. 如图所示，圆柱的高为5米，底面圆的周长为4米．将一条彩带从底面A点开始绕圆柱1圈后，挂在点A的正上方点B处，彩带最短需要（ ）米
A. 3B. 4C. 5D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查两点间线段最短和勾股定理在生活中的应用．将曲面问题变为平面问题，然后利用勾股定理计算出斜边长度，是解答本题的关键．
【详解】如解图，长方形是圆柱侧面展开图，连接，
此时所需彩带最短，最短长度为，
，由题意得米. 米，
由勾股定理得，即 ，
解得米(负值已舍).
故选D.
二、填空题（本大题共4个小题，每小题2分，共8分）
16. 若二次根式有意义，则x的取值范围是______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件即可求出答案．
【详解】解：∵二次根式有意义，
∴，
解得：，
故答案为：．
17. 我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是尺．根据题意，可列方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】可以将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知EB'的长为10尺，则B'C＝5尺，设出芦苇长度AB＝AB'＝x尺，表示出水深AC，根据勾股定理建立方程即可．
【详解】解：依题意画出图形，
设芦苇长AB＝AB′＝x尺，则水深AC＝（x﹣1）尺，因为B'E＝10尺，所以B'C＝5尺，
在Rt△AB'C中，∵CB′2+AC2＝AB′2，
∴（x﹣1）2+52＝x2，
故答案为：（x﹣1）2+52＝x2．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，领会数形结合的思想的应
18. 如图所示，已知在中，，，分别以，为直径作半圆，面积分别记为，，则的值等于________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查勾股定理的应用，根据图形得到，，根据勾股定理推出即可求解.
【详解】解：由题意，得，，
所以，
故答案为：.
19. 如图，在正方形的外侧作等边，则的度数为______．
【答案】##45度
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理等等，根据正方形的性质和等边三角形的性质可证明，再由等边对等角和三角形内角和定理求出的度数即可得到答案．
【详解】解：∵四边形正方形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，共62分）
20. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算．
（1）先计算负整数指数幂，化简二次根式，去绝对值，再算乘法，最后算加减即可；
（2）先计算除法和零指数幂，并利用完全平方公式计算，最后算加减即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
21. 规定用符号表示一个实数的整数部分，例如，，，并且规定一个实数减去它的整数部分表示这个实数的小数部分，按此规定解答问题：
（1）______，的小数部分为______；
（2）已知a，b分别是的整数部分和小数部分，求a，b的值．
【答案】（1）3，
（2），
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算和无理数的估算．
（1）估算出无理数的范围，从而得到无理数的整数部分和小数部分；
（2）根据二次根式的混合运算化简，估算出无理数的范围，得到无理数的整数部分和小数部分．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴小数部分为，
故答案为：3，；
【小问2详解】
解：，
∵，，
∴，
∴，．
22. 如图，四边形中，，，，，，求四边形的面积．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．先利用勾股定理在中求出，再结合，，判定是直角三角形，且，再利用即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴．
23. 已知：如图，在ABCD中，延长线AB至点E，延长CD至点F，使得BE=DF．连接EF，与对角线AC交于点O．求证：OE=OF．

【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】先由平行四边形的性质得出AB=CD，AB∥DC，再得出∠F=∠E，CF=AE，∠DCA=∠CAB，即可推出△COF≌△AOE，从而得到结论．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥DC，
∴∠F=∠E，∠DCA=∠CAB，
∵AB=CD，FD=BE，
∴CF=AE，
在△COF和△AOE中，
∵∠F=∠E，CF=AE，∠DCA=∠CAB，
∴△COF≌△AOE，
∴OE=OF．
24. 阅读与思考
请阅读下列材料，并完成相应的任务，
两点间的距离公式：如果平面直角坐标系内有两点，，那么两点间的距离，例如：若点，，则．
（1）已知，，求，两点间的距离；
（2）已知，，，判断的形状．
【答案】（1），两点间的距离为
（2）是等腰三角形
【解析】
【分析】（1）根据勾股定理即可求解；
（2）根据勾股定理得出，进而即可求解．
【小问1详解】
根据题意可得：，
∴，两点间的距离为.
【小问2详解】
，
，
，
∴，
∴是等腰三角形.
【点睛】本题考查了坐标与图形，勾股定理求两点坐标距离，等腰三角形的定义，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
25. 如图，菱形的对角线、相交于点O，，，与交于点F．

（1）求证：四边形为矩形；
（2）若，，求菱形的面积．
【答案】（1）详见解析
（2）96
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，
（1）先证明四边形是平行四边形，再根据菱形的性质可得，问题随之得证；
（2）根据菱形的性质可得，再利用勾股定理可得，问题随之得解．
【小问1详解】
证明：∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵菱形对角线交于点O，
∴，即．
∴四边形是矩形；
【小问2详解】
∵菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴菱形的面积为：．
26. 阅读与思考
把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫作分母有理化，通常把分子、分母同时乘一个不等于0的数，以达到化去分母中根号的目的．
例如：化简．
解：．
（1）化简；
（2）请根据你的猜想，归纳，运用规律计算：．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题考查了分母有理化，涉及平方差公式的运用．
（1）原式各项仿照题中分母有理化的方法计算即可得到结果；
（2）先把原式各项进行分母有理化，再计算，即可得到结果．
【小问1详解】
解：；
【小问2详解】
解：
．
27. 如图，在中，，，，点D从点C出发沿CA方向以的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是秒（）．过点作于点F，连接DE，EF．
（1）求证：；
（2）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值，如果不能，说明理由；
（3）当为何值时，为直角三角形？请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；
（2）t=10； （3）当t=或12时，△DEF为直角三角形，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）由题意得∠BCA=30°，CD=4tcm，AE=2tcm，再由含30°角的直角三角形的性质得DF=DC=2tcm， 即可得到AE=DF；
（2）由AE=AD，得四边形AEFD为菱形，得2t=60-4t，进而求得t的值；
（3）分∠EDF=90°、∠DEF=90°两种情况，根据直角三角形的性质列出算式，计算即可．
【小问1详解】
证明：由题意可知CD=4tcm，AE=2tcm，
∵∠B=90°，∠A=60°，
∴∠C=30°，
∴DF=DC=2t cm．
∵AE=2t cm，DF=2t cm，
∴AE=DF．
【小问2详解】
解：∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴．
∵AE=DF，，
∴四边形AEFD为平行四边形，
∴要使平行四边形AEFD为菱形，则需AE=AD，
即2t=60-4t，
解得t=10，
∴当t=10时，四边形AEFD为菱形，
故答案为：10．
【小问3详解】
当∠EDF=90°时，如图①，
∵DF⊥BC，AB⊥BC，
∴，
∴四边形DFBE为矩形．
∴
∴AD=2AE，即60-4t=2t×2，
解得，t=，
当∠DEF=90°时，如图②，
∵，
∴DE⊥AC，
∴．
∴AE=2AD，即2t=2×（60-4t），
解得，t=12，
综上所述，当t=或12时，△DEF为直角三角形．
【点睛】本题考查了直角三角形的判定、平行四边形的判定与性质、菱形的判定、含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握直角三角形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．