山东省青岛实验初级中学2024-2025学年八年级下学期期中 数学试题（含解析）

这是一份山东省青岛实验初级中学2024-2025学年八年级下学期期中 数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，计算题，作图题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（每题3分，共30分）
1. 能经过平移得到的图形是（ ）
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了平移图形的识别，根据平移不改变图形的大小、形状和方向，只改变图形的位置判断即可．
【详解】解：由平移不改变图形的大小，方向和形状可知，四个选项中只有A选项中的图形可以通过平移得到，
故选：A．
2. 如图，已知，，，垂直平分，则的周长等于（ ）
A. 4B. 6C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理求出，根据线段垂直平分线求出，求出，根据含角的直角三角形性质求出即可．
【详解】解：，，
．
垂直平分，，
，，，
，
．
，
，
的周长，
故选：C．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，含角的直角三角形性质等知识点，主要考查运用性质进行推理的能力．
3. 用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于”时，首先应假设这个三角形中（ ）
A. 有一个内角大于B. 有一个内角小于
C. 每一个内角都大于D. 每一个内角都小于
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查反证法中的假设，反证法的第一步是假设结论的反面成立，进行判断即可．
【详解】解：由题意，应假设这个三角形中每一个内角都大于；
故选C．
4. 若关于的不等式组有解，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了求不等式组的解集，掌握不等式的性质，取值方法是解题的关键．
根据不等式的性质，及取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”的方法即可求解．
【详解】解：关于的不等式组有解，
∴，
故选：D ．
5. 4月23日是“世界读书日”，甲、乙书店开展4月打折促销活动．甲书店：所有书籍按标价9折销售；乙书店：一次性购书总价不超过120元的部分按原价销售，超过120元的部分打7折．小颖购书总价大于120元，她应选择的书店是（ ）
A. 甲书店B. 总价超出180元时选择乙书店
C. 乙书店D. 总价超出180元时选择甲书店
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，分三种情况求解后可得答案．
【详解】解：设小颖购书总价为x元，
若甲书店优惠：，解得，
若乙书店优惠：，解得，
若两书店一样优惠：，解得．
故选B．
6. 把因式分解得，则m的值为（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了因式分解，多项式乘多项式，先求出，然后求出结果即可．
【详解】解：∵
，
又∵把因式分解得，
∴，
故选：B．
7. 关于的二次三项式能用完全平方公式分解因式，则的值是（ ）
A. B. C. 12D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据完全平方公式，第一个数为x，第二个数为6，中间应加上或减去这两个数积的两倍．
【详解】解：∵关于的二次三项式能用完全平方公式分解因式，
．
故选D．
【点睛】本题考查了公式法分解因式，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解题的关键．
8. 如图，把直角梯形沿AD方向平移得到梯，，，，则阴影部分的面积为（ ）平方厘米

A. 148B. 168C. 120D. 144
【答案】B
【解析】
【分析】根据平移的变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得梯形的面积等于梯形的面积，，从而得到阴影部分的面积等于梯形的面积，再求出的长，然后利用梯形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】由平移的性质，梯形的面积＝梯形的面积，，
∴阴影部分的面积＝梯形的面积，
∵，
∴，
∴阴影部分的面积．
答：阴影部分面积是．
故选：B．
【点睛】本题考查了平移的性质，根据图形判断出阴影部分的面积等于梯形的面积是解题的关键．
9. 把一副三角板如图甲放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A-45°，∠D=30°，斜边AB=6，DC=7，把三角板DCE绕着点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图乙），此时AB与CD1交于点O，则线段AD1的长度为（ ）

A. B. 5C. 4D.
【答案】B
【解析】
【详解】由题意易知：∠CAB=45°，∠ACD=30°，
若旋转角度为15°，则∠ACO=30°+15°=45°．
∴∠AOC=180°－∠ACO－∠CAO=90°．
在等腰Rt△ABC中，AB=6，则AC=BC=．
同理可求得：AO=OC=3．
在Rt△AOD1中，OA=3，OD1=CD1－OC=4，
由勾股定理得：AD1=5．故选B．
10. 对实数x、y定义一种新的运算F，规定，若关于正数x的不等式组恰好有4个整数解，则n的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查新定义运算、解一元一次不等式组、由一元一次不等式组的整数解求参数，分两种情况：，，根据新定义列不等式组，求得x的取值范围，再根据不等式组整数解的个数求m的取值范围即可．
【详解】解：当时，，不合题意（舍）；
当时，则
．由，得
∵有4个整数解，
整数解为
．
故选D．
二、填空题（每题3分，共30分）
11. 一个长为a，宽为b的长方形的周长为12，面积为7，则的值为________．
【答案】42
【解析】
【分析】此题考查了提取公因式法分解因式，正确分解因式是解题关键．利用长方形的性质得出和的值，进而将原式变形得出答案．
【详解】解：∵长为a，宽为b的长方形的周长为12，面积为7，
∴，
故，，
则
．
故答案为：42．
12. 如图，是的角平分线，，则的面积是_________．
【答案】24
【解析】
【分析】本题主要考查角平分线的性质定理，掌握其性质及运用是关键．
先作于E，再根据角平分线的性质得到，最后根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：过D作于E，
∵是的角平分线，，
∴，
∵，
∴的面积．
故答案为：24．
13. 如图，在中，的垂直平分线交的平分线于点E，连结，如果，，那么的度数是______．
【答案】##度
【解析】
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，等边对等角以及三角形内角和定理，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
根据角平分线的性质可得，再根据线段垂直平分线的性质可得，可得出 ，然后根据三角形内角和定理计算出的度数．
【详解】解：平分，
，
的垂直平分线交的平分线于，
，
，
设
，，
在中，
∴
解得：
，
故答案为：．
14. 在方程组中，若未知数，满足，则的取值范围为_____．
【答案】##
【解析】
【分析】题考查解二元一次方程组和一元一次不等式．将两方程相加可得，由 得到关于的不等式，解之即可．
【详解】解：
得：
，
，
，
，
，
解得：，
故答案为：．
15. 如图，已知的周长是分别平分和于，且，则的面积是______．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查了角平分线性质，三角形的面积，主要考查学生运用定理进行推理的能力．
过作于于，连接，根据角平分线性质求出，根据，即可求出答案．
【详解】解：过作于于，连接，
分别平分和于，
，
即，
，
故答案为：5．
16. 已知一次函数与正比例函数的图象如图所示，则不等式的解集是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系，通过图象可知时，的函数图象在的下方，从而可得到不等式的解集．
【详解】解：由图象可看出当，直线的图象在正比例函数的图象的下方，故不等式．即，
故不等式的解集是．
故答案为：．
17. 某商店购进了一批服装，每件进价为200元，并以每件300元的价格出售，现销量不佳，商店准备将这批服装降价处理，但要保证每件衣服的利润不低于，则商店最多打________折出售．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，不等关系式：打折后的售价元利润，据此列出不等式，即可求解；找出不等关系式是解题的关键．
详解】解：商店打折销售，由题意得
，
解得：；
答：商店最多打折．
18. 如图，三角形沿边所在直线向上平移3个单位长度得到三角形，四边形周长为20，则三角形的周长等于______．
【答案】14
【解析】
【分析】本题主要考查了平移的性质，解题的关键是掌握平移的性质．
根据平移的基本性质，得出，；然后得四边形的周长，即可得出答案．
【详解】解：∵沿边所在直线向上平移3个单位长度得到三角形，
∴，；
又∵四边形的周长．
∴
；
∴三角形的周长为14；
故答案为：16．
19. 如图，在中，，．将此三角形绕点按顺时针方向旋转后得到，若点恰好落在线段上，、交于点，则的度数为__________．
【答案】##10度
【解析】
【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，根据旋转，得到，等边对等角，求出的度数，再根据角的和差关系，求出的度数即可．
【详解】解：∵旋转，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
20. 如图，在中，为的中点，交的平分线于于于交的延长线于．下列说法正确的是_________．
①；②；③．
【答案】①②③
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键；连接，，先利用证明得到，再由角平分线的性质得到，即可利用证明则,即可判断②；证明，得到，由（）得，则，据此求出的长，即可求出的长即可判断①和③．
【详解】解：如图所示，连接，，
∵是的中点，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵平分，，，
∴，，
又∵，
∴，
∴故②正确；
在和中，
∴故①正确，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，故③正确．
故答案为：①②③．
三、计算题：
21. 把下列各式分解因式：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键；
（1）提取公因式，再利用完全平方公式进行因式即可得出答案；
（2）根据平方差公式进行因式分解，最后再提公因式即可．
【小问1详解】
解：
【小问2详解】
解：
．
22. 解不等式组：，并求出最小整数解与最大整数解的和．
【答案】，6
【解析】
【分析】根据不等式的性质求出不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，即可求出答案．
【详解】解：，
由①得：，
由②得：，
不等式组的解集为，
的最小整数为，最大整数为8，
的最小整数解与最大整数解的和为6．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，解题的关键是能根据不等式的解集求出不等式组的解集．
四、作图题
23. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为．
（1）画出关于轴对称的，并写出点的坐标________；
（2）画出绕原点顺时针方向旋转后得到的，并写出点的坐标_________；
（3）将平移得到，使点的对应点是，点的对应点是，点的对应点是，在坐标系中画出，并写出点的坐标_______．
【答案】（1）画图见解析，
（2）画图见解析，
（3）画图见解析，
【解析】
【分析】本题考查了画轴对称图，旋转图形，平移作图，写出坐标系中点的坐标，数形结合是解题的关键；
（1）根据轴对称的性质，找到对应点，顺次连接，即可求解，进而根据坐标系写出点的坐标；
（2）根据旋转的性质，找到对应点，顺次连接，即可求解，进而根据坐标系写出点的坐标；
（3）根据平移的性质，找到对应点，顺次连接，即可求解，进而根据坐标系写出点的坐标．
【小问1详解】
解：如图所示即为所求，
故答案为：．
【小问2详解】
解：如图所示即为所求，
故答案为：．
【小问3详解】
解：如图所示即为所求，
故答案为：．
24. 尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：已知，在上方求作一点P，使，且．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了作图，线段垂直分线的性质，平行线之间的距离，解题的关键是掌握基本作图．先作出的垂直平分线，再过点作的等角，交的垂直平分线于点，此时，则，点即为所求．
【详解】解：如图，点即为所求．
五、解答题
25. 学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买3个A奖品和2个B奖品共需120元；购买5个A奖品和4个B奖品共需210元．
（1）求A，B两种奖品的单价；
（2）学校准备购买A，B两种奖品共30个，且A奖品的数量不少于B奖品数量的．请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
【答案】（1）A的单价30元，B的单价15元（2）购买A奖品8个，购买B奖品22个，花费最少
【解析】
【分析】（1）设A的单价为x元，B的单价为y元，根据题意列出方程组，即可求解；
（2）设购买A奖品z个，则购买B奖品为个，购买奖品的花费为W元，根据题意得到由题意可知，，，根据一次函数的性质，即可求解；
【详解】解：（1）设A的单价为x元，B的单价为y元，
根据题意，得
，
，
A的单价30元，B的单价15元；
（2）设购买A奖品z个，则购买B奖品为个，购买奖品的花费为W元，
由题意可知，，
，
，
当时，W有最小值为570元，
即购买A奖品8个，购买B奖品22个，花费最少；
【点睛】本题考查二元一次方程组应用，一次函数的应用；能够根据条件列出方程组，将最优方案转化为一次函数性质解题是关键．
26. 如图，在等边中，D是的中点，E是延长线上的一点，且，，垂足为M．
（1）求证：M是的中点；
（2）若，求的长度．
【答案】（1）见解析 （2）12
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形顶角平分线、底边上的中线和高三线合一的性质以及等边三角形的性质．
（1）先证明为等腰三角形，利用等腰三角形的高和中线向重合即可得证；
（2）根据含的直角三角形的性质得到，然后根据即可得到结果．
【小问1详解】
证明：连接，
∵在等边，且D是的中点，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴M是的中点；
【小问2详解】
解：由（1）可知：，M是的中点，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∵M是的中点
∴．
27. 综合与实践：
数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想． 我们常利用数形结合思想，借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，如：探索整式乘法的一些法则和公式．
探索整式乘法的一些法则和公式．
（1）探究一：将图1的阴影部分沿虚线剪开后，拼成图2的形状，拼图前后图形的面积不变，因此可得一个多项式的分解因式 ．
（2）探究二：类似地，我们可以借助一个棱长为a的大正方体进行以下探索：
在大正方体一角截去一个棱长为的小正方体，如图3所示，则得到的几何体的体积为 ；
（3）将图3中的几何体分割成三个长方体①、②、③，如图4，图5所示，，，，长方形①的体积为． 类似地，长方体②的体积为 ，长方体③的体积为 ；（结果不需要化简）
（4）用不同的方法表示图3中几何体的体积，可以得到的恒等式（将一个多项式因式分解）为 ．
（5）问题应用：利用上面的结论，解决问题：已知，，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3），；
（4）
（5）252
【解析】
【分析】（1）图1中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，图2中阴影部分的面积等于长为、宽为的长方形的面积，由此即可得；
（2）直接利用大正方体的体积减去小正方体的体积即可得出答案；
（3）根据长方体的体积公式即可得；
（4）根据（2）和（3）的结论可得，再将等号右边利用提取公因式分解因式即可得出答案；
（5）先利用完全平方公式求出，再根据（4）的结论即可得．
【小问1详解】
解：图1中阴影部分的面积为，
图2中阴影部分的面积为，
拼图前后图形的面积不变，
，
可得一个多项式的分解因式为，
故答案为：．
【小问2详解】
解：由题意，得到的几何体的体积为，
故答案为：．
【小问3详解】
解：，
长方体②的体积为，
，
长方体③的体积为，
故答案为：，．
【小问4详解】
解：由（2）和（3）得：，
则可以得到的恒等式（将一个多项式因式分解）为，
故答案为：．
【小问5详解】
解：，，
，即，
，
．
【点睛】本题考查了平方差公式与图形面积、利用完全平方公式变形求值、利用提公因式法分解因式等知识点，熟练掌握利用不同的方法表示同一个几何体的体积得到代数恒等式是解题关键．
28. 如图，在等边中，，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，分别连接．设运动时间为，解答下列问题：
（1）当平分时，求的值；
（2）当为何值时，点在线段的垂直平分线上；此时，四边形的面积为_______；
（3）当_______秒时，为直角三角形．
【答案】（1）
（2）当时，点在线段的垂直平分线上；
（3）或
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
（1）求得，根据距离、速度、时间的关系即可求解；
（2）根据，列方程求解即可，进而根据即可求解．
（3）分和两种情况讨论，根据含度角的直角三角形的性质，列方程求解即可．
【小问1详解】
解：在等边中，平分，
点是的中点，
，
，
的值为；
【小问2详解】
解：根据题意：，，则，
过点作于点，过点作于点
在等边中，，点在线段的垂直平分线上，
，，
根据题意得： ，
解得：，
当t=2时，点在线段的垂直平分线上；
∴，，
∴
在中，
∴
∵是等边三角形，
∴，
∴
∴
此时四边形的面积为
故答案为：．
小问3详解】
解：当时，为直角三角形，
，即，
解得：；
当时，为直角三角形，
，即，
解得：；
综上，或时，为直角三角形．
故答案为：或．