山东省青岛大学附属中学2024-2025学年八年级下学期期中考试 数学试题（含解析）

这是一份山东省青岛大学附属中学2024-2025学年八年级下学期期中考试 数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（满分：120分 时间：120分钟）
一、选择题（本题满分27分，共有9道小题，每小题3分）
1. 下列各曲线是根据不同的函数绘制而成的，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的有几个（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：观察四个图形，只有第三个图形是轴对称图形，也是中心对称图形，
其他三个图形，是轴对称图形，不是中心对称图形，
故选：A ．
2. 已知a＜b，下列结论中成立的是（ ）
A. a+1＞b+1B. ﹣3a＜﹣3b
C. ﹣a+2＞﹣b+2D. 如果c＜0，那么＜
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变进行分析即可．
【详解】解：A、如果a＜b，则-a+1＞-b+1，故本选项不合题意；
B、如果a＜b，则-3a＞-3b，故本选项不合题意；
C、如果a＜b，则-a+2＞-b+2，故本选项符合题意；
D、如果c＜0，那＞，故本选项不合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了不等式的性质，关键是注意不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
3. 下列等式，从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，根据因式分解的定义进行判断即可．
【详解】解：A、等式的左边不是多项式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B、从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C、，从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
D、等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：C．
4. 如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（ ）
A. 1.8B. 2.2C. 3.5D. 3.8
【答案】A
【解析】
【分析】根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC，再根据垂线段最短求出AP的最小值，然后得到AP的取值范围，从而得解．
【详解】解：∵∠C＝90°，AB＝4，∠B＝30°，
∴AC＝AB＝×4＝2，
∵点P是BC边上的动点，
∴2≤AP≤4，
∴AP的值不可能是1.8．
故选：A．
【点睛】本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，垂线段最短，熟记性质并求出AP的取值范围是解题的关键．
5. 下列说法，正确的是（ ）
A. 一个三角形两边的垂直平分线的交点到这个三角形三边的距离相等
B. “若，则”的逆命题是真命题
C. 在角的内部到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上
D. 用反证法证明“三角形中必有一个角不大于”，先假设这个三角形中有一个内角大于
【答案】C
【解析】
【分析】逐一进行判断即可．
【详解】A. 一个三角形两边的垂直平分线的交点到这个三角形三个顶点的距离相等，故该选项错误；
B. “若，则”的逆命题为“若，则”为是假命题，故该选项错误；
C. 在角的内部到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上，故该选项正确；
D. 用反证法证明“三角形中必有一个角不大于”，先假设这个三角形中每一个内角都大于，故该选项错误，
故选：C．
【点睛】本题主要考查真假命题，掌握垂直平分线的性质，逆命题，角平分线的判定和反证法是关键．
6. 如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，、交于点．若，则的度数是（用含的代数式表示）（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据旋转的性质可得，BC=DC，∠ACE=α，∠A=∠E，则∠B=∠BDC，利用三角形内角和可求得∠B，进而可求得∠E，则可求得答案．
【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到，且
∴BC=DC，∠ACE=α，∠A=∠E，
∴∠B=∠BDC，
∴，
∴，
∴，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转变换、三角形内角和、等腰三角形的性质，解题的关键是掌握旋转的性质．
7. 如图，点P为定角∠AOB平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补．若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM=PN；②OM+ON的值不变；③MN的长不变；④四边形PMON的面积不变，其中，正确结论的是（ ）
A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④
【答案】B
【解析】
【分析】如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．只要证明△POE≌△POF，△PEM≌△PFN，即可一一判断．
【详解】解：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．
∵∠PEO=∠PFO=90°，
∴∠EPF+∠AOB=180°，
∵∠MPN+∠AOB=180°，
∴∠EPF=∠MPN，
∴∠EPM=∠FPN，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∴PE=PF，
△POE和△POF中，
，
∴Rt△POE≌Rt△POF（HL），
∴OE=OF，
在△PEM和△PFN中，
，
∴△PEM≌△PFN（ASA），
∴EM=NF，PM=PN，故①正确，
∴S△PEM=S△PNF，
∴S四边形PMON=S四边形PEOF=定值，故④正确，
OM+ON=OE+ME+OF-NF=2OE=定值，故②正确，
在旋转过程中，△PMN是等腰三角形，顶角∠MPN是定值，
因为腰PM的长度是变化的，
所以底边MN的长度是变化的，故③错误，
故选：B．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是通过添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
8. 如图，在平面直角坐标系中，线段AB经过原点，且，，点P在y轴上，若以PAB为顶点的三角形是等腰三角形，那么这样的Р点有几个（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】分别以为圆心，以长为半径画圆，确定与轴交点的个数，此外作的垂直平分线，确定与轴交点的个数，即可求解．
【详解】解：分别以为圆心，以长为半径画圆，如下图：
此时与轴交点的个数为4，
作的垂直平分线，如上图：
此时与轴交点的个数为1，
故选：B
【点睛】此题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的定义，解题的关键是掌握垂直平分线的性质以及等腰三角形的定义．
9. 定义：对于实数，符号表示不大于的最大整数．例如：如果，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由新定义得出3≤＜4，再进一步求解即可．
【详解】∵符号[a]表示不大于a的最大整数，[]＝3，
∴3≤＜4，
解得：5≤x＜7，
∴x取值范围是5≤x＜7．
故选：A
【点睛】本题考查的是一元一次不等式组，正确解不等式组是基础，根据题意正确列出不等式组是解答此题的关键．
二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）
10. 分解因式：________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了分解因式，直接提取公因式即可分解因式．
【详解】解：
，
故答案为：．
11. 若不等式组有解，则m的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查已知不等式的解集求参数，根据求不等式组解集的方法“大中取大，小中取小，大小小大中间找，大大小小找不到” 的原则求解即可．
【详解】解：根据不等式组有解，可直接得出．
故答案为：．
12. 如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为______．
【答案】18
【解析】
【分析】本题主要考查了平移的性质，有理数的混合运算，根据平移的性质可求出空白部分是长方形的长和宽是解题的关键．
根据平移的性质可求出空白部分是长方形的长和宽，再根据阴影部分的面积等于 2 倍长方形的面积减去空白部分的面积，即可求解．
【详解】解：由题意，空白部分是长方形的长为，宽为，
∴阴影部分的面积．
故答案为：18．
13. 把一批书分给小朋友，每人3本，则余8本；每人5本，则最后一个小朋友得到书且不足3本，这批书有_____本．
【答案】26
【解析】
【分析】设共有x名小朋友，则共有（3x+8）本书，根据“每人5本，则最后一个小朋友得到书且不足3本”，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再结合x为正整数即可得出x的值，再将其代入（3x+8）中即可求出结论．
【详解】解：设共有x名小朋友，则共有（3x+8）本书，
依题意得：，
解得：，
又∵x为正整数，
∴x＝6，
∴3x+8＝26．
故答案为：26．
【点睛】本题考查了不等式组问题，掌握解不等式组的整数解的方法是解题的关键．
14. 如图，点E在等边三角形的边上，，射线，垂足为C，P是射线上一动点，F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为 _____．
【答案】8
【解析】
【分析】本题主要考查轴对称一最短路径，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，根据题意，作点E关于的对称点，连接，当点，P，F三点共线，时，的值最小，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，作点E关于的对称点E′，连接，
，
，
当点，P，F三点共线，时，的值最小，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得，，
，
故答案为：8．
15. 如图，已知中，，，将绕点逆时针旋转得到，以下结论：①，②，③，④，其中正确结论的序号是__．
【答案】①②④
【解析】
【分析】根据旋转的性质可得，，，再根据旋转角的度数为，通过推理证明对①②③④四个结论进行判断即可．
【详解】解：①绕点逆时针旋转得到，
，故①正确；
②绕点逆时针旋转，
．
，
．
，
．
，故②正确；
③在中，
，，
．
．
与不垂直．故③不正确；
④在中，
，，
．
，故④正确．
①②④这三个结论正确．
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了旋转性质的应用，掌握图形的旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小是解决问题的关键．
三、解答题（本题满分75分）
16. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上．
（1）的面积为______________；
（2）将向右平移4个单位长度得到，请画出；
（3）画出关于点O的中心对称图形；
（4）若将绕某一点旋转可得到，旋转中心的坐标为______________．
【答案】（1）4 （2）见解析
（3）见解析 （4）
【解析】
【分析】（1）利用长方形的面积减去3个直角三角形的面积即可求解；
（2）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可；
（3）利用中心对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
（4）对应点连线的交点即为旋转中心．
【小问1详解】
解：，
∴的面积为，
故答案为：；
【小问2详解】
解：如图，即为所求；
；
【小问3详解】
解：如图，即为所求；
【小问4详解】
解：根据图形可知：
旋转中心的坐标为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是求三角形的面积，画平移图形，画关于原点对称的图形，坐标与图形，掌握旋转的性质进行画图是解本题的关键．
17. 作图题：请用直尺和圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹
如图，已知在四边形中，找到一点M，使点M到，的距离相等，并且到点C的距离最短．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查作图-基本作图，角平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
结合角平分线的性质以及垂线段最短，分别延长相交于点，作的平分线，再过点作射线的垂线，交射线于点，则点即为所求．
【详解】解：如图，分别延长相交于点，作的平分线，再过点作射线的垂线，交射线于点，则点即为所求．
18. （1）因式分解：
①；
②；
（2）解不等式，并写出它的最小整数解．
（3）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】（1）；（2）；（3），不等式的最小整数解为0；（4），数轴见解析．
【解析】
【分析】本题考查的是因式分解，解不等式（组）；
（1）①提取公因式即可；②提取公因式，再进一步分解即可；
（2）先去括号，再移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可；
（3）分别解不等式组中的两个不等式，再在数轴上表示其解集，结合数轴确定不等式组的解集即可．
【详解】解：（1）①
；
②
；
（2）
去括号得：
∴
解得：
不等式的最小整数解为0；
（3）3x−x−2≥4①2x+13>x−1②，
由①得：，
解得：
由②得：，
解得：，
在数轴上表示不等式的解集如下：
∴不等式组的解集为：．
19. 请你用学习一次函数时积累的经验和方法研究函数的图象和性质，并解决问题．
（1）根据函数数表达式，填写下表：
______，______．
（2）利用（1）中表格画出函数的图象．
（3）观察图象，当______时，随的增大而减小．
（4）利用图象，直接写出不等式的解集．
【答案】（1），
（2）
（3）见解析 （4）
【解析】
【分析】（1）根据函数，可以计算出当和对应的函数值，从而可以将表格补充完整；
（2）根据（1）中表格的数据，可以画出相应的函数图象；
（3）根据函数图象，可以直接写出随的增大而减小时的取值范围；
（4）根据函数图象，可以直接写出不等式的解集．
【小问1详解】
解：∵
∴当时，，当时，；
故答案为：，；
【小问2详解】
函数图象如图所示；
【小问3详解】
由图象可得，
当时，随的增大而减小，
故答案为：；
【小问4详解】
画出函数的图象，
由图象可得，不等式的解集为．
【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20. 某学校积极响应合肥市“争创全国文明典范城市”的号召，绿化校园，美化校园，计划购进，两种树苗，共45棵，已知种树苗每棵80元，种树苗每棵50元．设购买种树苗棵，购买两种树苗所需费用为元．
（1）求与的函数表达式；
（2）若购买种树苗的数量不少于种树苗的数量，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．
【答案】（1）y=30x+2250
（2）费用最省的方案是购买A种树苗23棵，B种树苗22棵，所需费用为2940元．
【解析】
【分析】（1）购买两种树苗所需费用=购买A种树苗的费用+购买B种树苗的费用；
（2）根据题目中的不等关系求得x的取值范围，再利用一次函数的性质取y的最小值．
【小问1详解】
解：根据题意，得：y=80x+50（45-x）=30x+2250，
所以函数解析式为：y=30x+2250．
【小问2详解】
∵购买A种树苗的数量不少于B种树苗的数量，
∴x≥45-x． 解得：x≥22.5．
又∵k=30＞0，y随x的增大而增大，且x取整数，
∴当x=23时，y最小值=2940．
∴费用最省的方案是购买A种树苗23棵，B种树苗22棵，所需费用为2940元．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用以及一元一次不等式的应用．得出y与x的函数表达式是解题的关键．
21. 如图，在中，，点为中点，边的垂直平分线交，，于点，，，连接．
（1）求证：为等腰三角形；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查等腰三角形的判定及性质、线段垂直平分线的性质、三角形的内角和定理和外角的性质．
（1）连接，根据线段垂直平分线的性质，先求得，根据等腰三角形三线合一的性质，求得即可．
（2）根据等腰三角形三线合一的性质，可求得，根据三角形内角和定理可求得的度数，结合即可求得答案．
【小问1详解】
证明：连接，
为线段的垂直平分线，
．
，点为的中点，
为线段的垂直平分线．
．
．
∴为等腰三角形；
【小问2详解】
解：，点为的中点，
为的平分线．
．
．
．
∵为等腰三角形，
．
．
22. 某医药器材经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的口罩，若购进2箱甲型口罩和1箱乙型口罩，共需要资金2800元；若购进3箱甲型口罩和2箱乙型口罩，共需要资金4600元．
（1）求甲、乙型号口罩每箱的进价为多少元？
（2）该医药器材经销商计划购进甲、乙两种型号的口罩用于销售，预计用不多于万元且不少于万元的资金购进这两种型号口罩共20箱，请问有几种进货方案？并写出具体的进货方案；
（3）若销售一箱甲型口罩，利润率为，乙型口罩的售价为每箱1280元，为了促销，公司决定每售出一箱乙型口罩，返还顾客现金m元，而甲型口罩售价不变，要使（2）中所有方案获利相同，求m的值．
【答案】（1）甲型号口罩每箱进价为1000元，乙型号口罩每箱进价为800元
（2）共有四种方案，方案一：购进甲型口罩7箱、乙型口罩13箱；方案二：购进甲型口罩8箱、乙型口罩12箱；方案三：购进甲型口罩9箱、乙型口罩11箱；方案四：购进甲型口罩10箱、乙型口罩10箱
（3）80
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用．
（1）设甲型口罩每箱的进价为x元，乙型口罩每箱的进价为y元，根据“若购进2箱甲型口罩和1箱乙型口罩，共需要资金2800元；若购进3箱甲型口罩和2箱乙型口罩，共需要资金4600元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进a箱甲型口罩，则购进箱乙型口罩，根据进货总价不多于万元且不少于万元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围，再结合a为正整数即可得出各进货方案；
（3）设销售完20箱口罩后获得的利润为w元，根据总利润每箱利润销售数量（进货数量），即可得出w关于a的函数关系式，由（2）中所有方案获利相同可得出，解之即可得出m的值．
【小问1详解】
解：设甲型号口罩每箱进价为x元，乙型号口罩每箱进价为y元，
根据题意可得：，
解得，
答：甲型号口罩每箱进价为1000元，乙型号口罩每箱进价为800元．
【小问2详解】
解：设购进甲型号口罩a箱，则购进乙型号口罩箱，
根据题意可得：，
解得，
a可取7、8、9、10，
共有四种方案，
方案一：购进甲型口罩7箱、乙型口罩13箱；
方案二：购进甲型口罩8箱、乙型口罩12箱；
方案三：购进甲型口罩9箱、乙型口罩11箱；
方案四：购进甲型口罩10箱、乙型口罩10箱；
【小问3详解】
解：设销售完20箱口罩后获得的利润为w元，甲型口罩每箱利润为，
依题意，得，
当时，w始终等于8000，取值与a无关．
23. 班级数学兴趣小组开展“直角三角板拼拼拼”活动．爱思考的小华拿到了两块相同的直角三角板，已知三角板的最小边长为．他先把两块三角板的斜边拼在一起，并画出如图1所示图形．活动一：将一块三角板固定，另一块三角板以角的顶点为中心，按逆时针方向旋转，如图2．
（1）若旋转到两块三角板较长直角边垂直，连接两角顶点，如图3所示，则△ABD的面积为__________；
（2）在旋转过程中，小华想探究两直角顶点连线与角顶点连线的位置关系，设旋转角为α，若旋转角为α满足，则这两条连线有什么位置关系？写出你的结论，并说明理由．
（3）活动二：将一块三角板固定，另一块直角三角板沿着斜边所在射线向上平移dcm，两直角顶点连线与斜边所在射线交点设为F，探究：当为等腰三角形时，求d的值为多少？(直接写出答案)
【答案】（1）
（2），详见解析
（3）或
【解析】
【分析】（1）过点D作于点H，由题意得，可求得及的长，从而可求得三角形的面积；
（2）过点A作于点M，交于点N．由等腰三角形的性质易得，由，则可得，再由等腰三角形的性质可得；
（3）分两种情况：；，分别计算出d的值即可．
【小问1详解】
解：过点D作于点H，如图，
∵，，
∴，
∴，，
在中，，
∴，
故答案为；
【小问2详解】
解：
理由：当是，过点A作于点M，交于点N．
∵，
∴，
又∵，
∴，
即，
又，
∴（等腰三角形三线合一），
∴，
∴；
【小问3详解】
解：当时，如图；
此时点D与点F重合，则，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴,
即；
当时，如图，
则，
∴；
取中点P，连接，则是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
综上，当为等腰三角形时，或．
【点睛】本题考查了含30度角直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，平移的性质等知识，综合运用这些知识是解题的关键．
24. 【问题初探】
（1）综合与实践数学活动课上，张老师给出了一个问题：如图1，在中，，，点D，E在BC边上，且，求证：．
①小明同学经过分析后，将绕点A逆时针旋转得到，连接，如图2，根据三角形全等和勾股定理知识得到线段，，之间的数量关系；
②小强同学经过分析后，将，分别沿，进行翻折，得到和，如图3，根据三角形全等和勾股定理知识也得到了线段，，之间的数量关系．
请你选择一名同学的分析，写出证明过程．
【类比分析】
（2）张老师发现两名同学分别从旋转和轴对称角度分析、解决问题，张老师将前面问题进行变式，请你解答：如图4，在中，，，点D在边上，点E在的延长线上，且，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
【学以致用】
（3）如图5，在四边形ABCD中，，，．若，，，求的长．
【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3）
【解析】
【分析】本题属于四边形综合题，主要考查全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，旋转变换，翻折变换，解题的关键是学会利用旋转法构造全等三角形．
（1）①利用旋转的性质，证明即可；
②根据翻折的性质得，，，，再利用勾股定理即可解决问题；
（2）作，使，连接，．证明，得出，，证明，得，再利用勾股定理即可解决问题；
（3）如图5中，在上取一点G，使得，证明，推出，，证明，推出，设，则，， ，在中，根据，构建方程求出x即可解决问题．
【详解】解：（1）．
①理由如下：
，，
，
如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连接，
则，
，，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
；
②如图3，根据题意可知：，，，，
，
，
；
（2）．
作，使，连接，．
则．
∵，
∴．
在和中，
，，，
∴．
∴，．
∴．
∴．
．
在和中，
，，，
∴．
∴．
在中，根据勾股定理，，即．
（3）如图5，在上取一点G，使得，
，
，
又，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，，，
，则，
，
，
在中，
，
，
，
．