山东省济南市历城区2024-2025学年下学期期中质量检测八年级 数学试题（含解析）

这是一份山东省济南市历城区2024-2025学年下学期期中质量检测八年级 数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了4）， 不等式的解集在数轴上表示为， 若，则下列不等式变形正确的是， 若，则的值为等内容，欢迎下载使用。
（2025.4）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下面有关我国航天领域的图标，其图标是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查中心对称图形的识别，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形完全重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此进行判断即可．
【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；
B、不是中心对称图形，不符合题意；
C、是中心对称图形，符合题意；
D、不是中心对称图形，不符合题意；
故选C．
2. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了因式分解的定义，把一个多项式化成几个整式的乘积形式叫做因式分解，据此逐一判断即可．
【详解】解：A、，这是整式乘法，不是因式分解，不符合题意；
B、，是因式分解，但是因式分解错误，不符合题意；
C、，等式右边不是积的形式，不是因式分解，不符合题意；
D、，是因式分解，符合题意；
故选：D．
3. 不等式的解集在数轴上表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式及在数轴上表示不等式的解集，熟知解一元一次不等式的步骤及数轴上的点所表示数的特征是解题的关键．
先求出不等式的解集，再对所给选项依次进行判断即可．
【详解】解：，
，
，
显然只有B选项符合题意．
故选：B．
4. 若，则下列不等式变形正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式的性质逐一进行判断即可．熟练掌握不等式的性质，是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，故A正确；
∵，
∴；故B错误；
∵，时，
∴；故C错误；
∵，
∴；故D错误；
故选A．
5. 如图，在△ABC中，已知AC＝27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长等于50，那么BC的长等于（ ）
A. 23B. 50C. 27D. 13
【答案】A
【解析】
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AE=BE，利用△BCE的周长=BC+CE+BE=BC+AC，求出BC的长．
【详解】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴△BCE的周长=BC+CE+BE=BC+AC=50，
∵AC=27，
∴BC=23，
故选：A
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键．
6. 若，则的值为（ ）
A. B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了分式求值，正确推出是解题的关键．先根据已知式子推出，再代入计算即可．
【详解】解；∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选C．
7. 根据下列表格中的部分信息，分式可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了分式无意义的条件和分式值为0的条件，熟练掌握分式的性质是解题的关键．由表格可知，当时，分式无意义；当时，分式的值为0，结合选项即可判断．
【详解】解：由表格可知，当时，分式无意义；当时，分式的值为0，
分式可能是．
故选：B．
8. 若关于的分式方程的解为正数，则满足条件的正整数的值为（ ）
A. 1，2，3B. 1，2C. 1，3，4D. 1，3
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查根据分式方程的解的情况求参数的范围，求不等式组的整数解，先求出分式方程的解，根据方程的解为正数，且分式有意义，得到关于的不等式组，进行求解即可．
【详解】解：解方程，得：，
∵方程的解为正数，且，
∴，解得：且，
∴满足条件的正整数的值为1，3；
故选D．
9. 如图，在中，，，按以下步骤作图．
①以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点，；
②分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点；
③作射线，交于点；
④以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点，；
⑤分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，连接交于点．若，则的长是（ ）
A. B. 8C. 6D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，作垂线，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，过点作，根据作图可知：平分，，角平分线的性质得到，平角的定义推出为含30度角的直角三角形，进而求出的长即可．
【详解】解：过点作，
根据作图可知：平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选B．
10. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点在第二象限内，，，将绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转后，点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查旋转中的坐标规律探究，根据题意，每旋转6次回到原位置，利用判断第2025次旋转后，点所在的位置，进行求解即可．
【详解】解：∵，，点，
∴，
∵将绕点逆时针旋转，每次旋转，
∴每旋转次，回到原来的位置，
∵，
∴第2025次旋转后，与第三次旋转后的位置相同，如图：
作轴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故第2025次旋转后，点的坐标为；
故选D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．）
11. 如图，______5（填“”或“”）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查列不等式，直接根据图象，列不等式即可．
【详解】解：由图可知：；
故答案为：
12. 如图，将绕点逆时针方向旋转一定角度得到，使点落在上，与相交于点．若，，则______度．
【答案】50
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质、等边对等角、直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．由得，推出，根据旋转的性质得到，，推出，再利用平角的定义求出的度数，再利用等腰三角形的性质即可求解．
【详解】解：，
，
，
由旋转的性质得，，，
，
，
，
，
解得：，
．
故答案为：50．
13. 如图，直线与直线（，为常数，）相交于点，则关于的不等式的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一次函数与不等式，根据图象法确定不等式的解集即可，熟练掌握图象法求不等式的解集，是解题的关键．
【详解】解：由图象可知，当时，直线在直线的上方，
∴不等式的解集为；
故答案为：
14. 如图，两个大小一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着方向平移到的位置，若，，则阴影部分的面积等于______．
【答案】16
【解析】
【分析】本题考查了平移的性质、梯形的面积公式，熟练掌握平移的性质是解题的关键．根据平移的性质得到，，，，，求出的长，进而得到梯形的面积，再利用等面积法推出阴影部分的面积等于梯形的面积，即可求解．
【详解】解：由平移的性质得，，，，，，
，
，
阴影部分的面积
．
故答案为：16．
15. 如图，在中，，，，为上一动点（不与点，点重合），将绕点顺时针旋转60°得到，连接，以为直角顶点，为直角边，在上方构造等腰直角三角形，为的中点，连接，，则的最小值是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查勾股定理，旋转的性质 ，等腰三角形的性质；根据直角三角形中的边角关系可得，，连接，由已知旋转可知，从而得到A点在线段的垂直平分线上、垂直平分线段，根据等腰三角形三线合一得，作点B关于直线的对称点，交直线于点H，根据轴对称的性质知，连接，由“两点之间，线段最短”可知：当点G在上时，的值最小，从而的值最小，最小值为线段的长，连接，得到，得到是等边三角形，在中，由勾股定理即可求出线段的长，即可得出结论．
【详解】解：在中，，，
∴
连接：
∵是以D为直角顶点的等腰直角三角形，
∴，
∵G为的中点，
∴，
∴G点在线段的垂直平分线上，
∵将绕点A顺时针旋转得到，
∴，
∴A点在线段的垂直平分线上，
∴垂直平分线段，
∴，即在点D的运动过程中，
点G在与夹角为的射线上运动，
作点B关于直线的对称点，交直线于点H，
则总有，
连接，
当点G在上时，的值最小，
从而的值最小，最小值为线段的长，
连接
此时，，
，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
由勾股定理，得
故答案为：．
三、解答题（本大题共9个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16. 因式分解：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法分解因式是解题的关键．
（1）利用提公因式法分解因式即可；
（2）先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
17. 按要求解下列不等式（组）：
（1）解关于的不等式，并将解集用数轴表示出来；
（2）解不等式组：，并写出它的所有整数解．
【答案】（1），见解析
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查解不等式（组），数轴；
（1）先去括号，再移项，合并同类项，系数化为1，最后在数轴上表示即可；
（2）根据解不等式的步骤分别解出①②，得到不等式组的解集，再找出整数解即可．
【小问1详解】
解：
，
，
，
；
用数轴表示如下：
【小问2详解】
解：，
解不等式①得：；
解不等式②去分母：，
，
，
，
∴不等式组的解集为：；
∴它的所有整数解为：．
18. （1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）；（2），
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简与求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
（1）根据分式的减法运算法则计算即可；
（2）利用分式的运算法则化简，再代值计算即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
，
代入，原式．
19. 已知关于的分式方程．
（1）若表示的数是2，解这个分式方程；
（2）查询发现正确答案为“原分式方程无解”，请你求出原分式方程中代表的数是多少．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查解分式方程，分式方程无解问题，熟练掌握解分式方程的步骤，正确的计算，是解题的关键：
（1）去分母，将方程转化为整式方程，求解后进行检验即可；
（2）去分母，将方程转化为整式方程，分整式方程无解和分式方程有增根两种情况进行求解即可．
【小问1详解】
解：当时，方程化为：，
去分母，得：，
解得：；
经检验，是原方程的解，
∴方程的解为．
【小问2详解】
，
去分母，得：，
整理，得：，
∵分式方程无解，
∴方程有增根，
∴，
∴，
∴，
∴．
20. 已知：如图，，，，E，F垂足，．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形全等的判定和性质，根据判定，可得，即可判定平行．
【详解】证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
和中，

∴，
∴，
∴．
21. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，．
（1）画出绕点逆时针旋转后的图形，此时点的坐标为_______；
（2）将（1）中所得平移得到，使得内一点平移后的对应点坐标为，画出，此时点的坐标为_______；
（3）若可以看作绕某点旋转得来，直接写出旋转中心的坐标．
【答案】（1）图见解析，
（2）图见解析，
（3）
【解析】
【分析】本题考查坐标与图形变换—旋转和平移，熟练掌握旋转的性质和平移的性质，是解题的关键：
（1）根据旋转的性质，画出，进而写出点的坐标即可；
（2）根据对应点的坐标确定平移规则，画出，进而写出点的坐标即可；
（3）根据旋转的性质，找到的中垂线和的中垂线的交点，即为旋转中心，进行求解即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
由图可知：
【小问2详解】
∵内一点平移后的对应点坐标为，
∴先向左平移4个单位，再向右平移2个单位，
如图，即为所求；
由图可知：；
【小问3详解】
由图可知：点即为旋转中心，为．
22. 为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2500元购买航空模型的数量是用2400元购买航海模型数量的．
（1）求航空和航海模型的单价；
（2）学校采购时恰逢该商场促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？
【答案】（1）航空模型的单价为125元，航海模型的单价为90元
（2）当购买航空模型40个，航海模型80个时，学校花费最少
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用，理解题意正确列出方程、不等式、函数关系式是解题的关键．
（1）设航海模型的单价为元，则航空模型的单价为元，根据题意列出方程，解出的值即可解答；
（2）设购买航空模型个，花费为元，则购买航海模型个，根据题意列出不等式，解出的范围，再根据题意列出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解：设航海模型的单价为元，则航空模型的单价为元，
由题意得，，
解得：，
经检验，是方程解且符合题意，
则，
答：航空模型的单价为125元，航海模型的单价为90元．
【小问2详解】
解：设购买航空模型个，花费为元，则购买航海模型个，
由题意得，，
解得：，
由题意得，，
，
随增大而增大，
当时，有最小值，最小值为，
此时，
答：当购买航空模型40个，航海模型80个时，学校花费最少．
23. 如图，中，，，，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间为秒．
（1）当______时，将的面积分成相等的两部分，此时______；
（2）若点不与的顶点重合，问为何值时，点在的角平分线上？
（3）另有一点，从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，若两点同时出发，当中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当直线把的周长分成相等的两部分时，请直接写出此时的值．
【答案】（1）2，；
（2）或或
（3）2或6
【解析】
【分析】（1）勾股定理求出的长，根据三角形的中线平分三角形的面积，得到当为的中线时，将的面积分成相等的两部分，进而得到，根据时间等于路程除以速度求出，勾股定理求出即可；
（2）分平分，平分和平分三种情况进行讨论求解即可；
（3）分两种情况讨论：当点在上，在上，当点在上，在上，分别画出图形，列出方程，求得t的值即可．
【小问1详解】
解：，，，
∴，
∵三角形的中线平分三角形的面积，
∴当为的中线时，将的面积分成相等的两部分，
∴，
∴；
∵，
∴；
故答案为：2，；
【小问2详解】
当平分时，如图，作，则：，
∵，
∴，即：，
∴，
∴；
当平分时，作，如图：则：，
∵，
∴四边形为正方形，
∴，
∵，
∴，即：，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理，得：，
∴；
当平分时，作，则：，
同法可得：，
∴，
∴；
综上：或或．
【小问3详解】
解：如图6，当点在上，在上，

则，
直线把的周长分成相等的两部分，且的周长为，
，
，
；
如图7，当点在上，在上，

则，，
直线把的周长分成相等的两部分，且的周长为，
，
，
当为2或6秒时，直线把的周长分成相等的两部分．
【点睛】本题考查了三角形的中线平分面积、角平分线的性质、勾股定理、三角形面积的计算，正方形的判定和性质等知识的综合应用，熟练掌握相关知识点，利用分类讨论进行求解是解决问题的关键．
24. 如图所示，为等腰三角形，，点是上一点，连接．
（1）当时，
①如图1，若，把绕顺时针旋转到，连接，，则______；
②如图2，将线段绕点逆时针旋转到，点落在上，连接，点为线段的中点，连接，，此时与的数量关系为______；
小明同学提出以下解决问题的思路，仅供大家参考：
延长到点，使，连接，，通过证明两组三角形全等，再进一步分析研究来解决问题：
（2）当时，
①如图3，将线段绕点逆时针旋转到，连接，点为线段的中点，连接，，此时与有怎样的数量关系，并说明理由；
②如图4，点为内一点，若，，请直接写出的值．
【答案】（1）（1）（2）
（2）（1）（2）
【解析】
【分析】（1）①证明，得到，推出，勾股定理求出的长即可；②延长到点，使，连接，，证明，得到，，再证明，得到，推出，勾股定理得到，再根据，即可得出结果；
（2）①延长到点，使，连接，，证明，得到，，再证明，得到，推出，进而推出，再根据，即可得出结果；
②将绕点旋转至点，连接，作，根据等边对等角，含30度的直角三角形的性质，推出，证明，得到，推出为含30度角的直角三角形，得到，进而得到，即可得出结果．
【小问1详解】
①∵，，
∴，
∵旋转，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：；
②延长到点，使，连接，，
∵为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∵旋转，
∴，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
①延长到点，使，连接，，
∵为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∵旋转，
∴，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴；
②将绕点旋转至点，连接，作，
则：，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质，利用旋转构造全等三角形，是解题的关键．…
0
1
2
…
…
无意义
*
*
0
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…