山东省济南市历城区2024—2025学年八年级下学期期中质量检测数学试卷（解析版）

这是一份山东省济南市历城区2024—2025学年八年级下学期期中质量检测数学试卷（解析版），共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1. 中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下面有关我国航天领域的图标，其图标是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A、不是中心对称图形，不符合题意；
B、不是中心对称图形，不符合题意；
C、是中心对称图形，符合题意；
D、不是中心对称图形，不符合题意；
故选C．
2. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A、，这是整式乘法，不是因式分解，不符合题意；
B、，是因式分解，但是因式分解错误，不符合题意；
C、，等式右边不是积的形式，不是因式分解，不符合题意；
D、，是因式分解，符合题意；
故选：D．
3. 不等式的解集在数轴上表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】，
，
，
显然只有B选项符合题意．
故选：B．
4. 若，则下列不等式变形正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵，
∴，
∴，故A正确；
∵，
∴；故B错误；
∵，时，
∴；故C错误；
∵，
∴；故D错误；
故选：A．
5. 如图，在△ABC中，已知AC＝27，AB垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长等于50，那么BC的长等于（ ）
A. 23B. 50C. 27D. 13
【答案】A
【解析】∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴△BCE的周长=BC+CE+BE=BC+AC=50，
∵AC=27，
∴BC=23，
故选：A
6. 若，则的值为（ ）
A. B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选C．
7. 根据下列表格中的部分信息，分式可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由表格可知，当时，分式无意义；当时，分式的值为0，
分式可能是．
故选：B．
8. 若关于的分式方程的解为正数，则满足条件的正整数的值为（ ）
A. 1，2，3B. 1，2C. 1，3，4D. 1，3
【答案】D
【解析】解方程，得：，
∵方程的解为正数，且，
∴，解得：且，
∴满足条件的正整数的值为1，3；
故选：D．
9. 如图，在中，，，按以下步骤作图．
①以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点，；
②分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点；
③作射线，交于点；
④以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点，；
⑤分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，连接交于点．若，则的长是（ ）
A. B. 8C. 6D.
【答案】B
【解析】过点作，
根据作图可知：平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选B．
10. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点在第二象限内，，，将绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转后，点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵，，点，
∴，，
∵将绕点逆时针旋转，每次旋转，
∴每旋转次，回到原来的位置，
∵，
∴第2025次旋转后，与第三次旋转后的位置相同，如图：
作轴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故第2025次旋转后，点坐标为；
故选D．
二、填空题
11. 如图，______5（填“”或“”）．
【答案】
【解析】由图可知：；
故答案为：．
12. 如图，将绕点逆时针方向旋转一定角度得到，使点落在上，与相交于点．若，，则______度．
【答案】50
【解析】，
，
，
由旋转的性质得，，，
，
，
，
，
解得：，
．
故答案为：50．
13. 如图，直线与直线（，为常数，）相交于点，则关于的不等式的解集为______．
【答案】
【解析】由图象可知，当时，直线在直线的上方，
∴不等式的解集为；
故答案为：
14. 如图，两个大小一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着方向平移到的位置，若，，则阴影部分的面积等于______．
【答案】16
【解析】由平移的性质得，，，，，，
，
，
阴影部分的面积
．
故答案为：16．
15. 如图，在中，，，，为上一动点（不与点，点重合），将绕点顺时针旋转60°得到，连接，以为直角顶点，为直角边，在上方构造等腰直角三角形，为的中点，连接，，则的最小值是______．
【答案】
【解析】在中，，，，
∴，
，
连接：
∵是以D为直角顶点的等腰直角三角形，
∴，
∵G为的中点，
∴，
∴G点在线段的垂直平分线上，
∵将绕点A顺时针旋转得到，
∴，
∴A点在线段的垂直平分线上，
∴垂直平分线段，
∴，即在点D的运动过程中，
点G在与夹角为的射线上运动，
作点B关于直线的对称点，交直线于点H，
则总有，
连接，
当点G在上时，的值最小，
从而的值最小，最小值为线段的长，
连接，
此时，，
，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
由勾股定理，得
，
故答案为：．
三、解答题
16. 因式分解：
（1）；
（2）．
解：（1）
；
（2）
．
17. 按要求解下列不等式（组）：
（1）解关于的不等式，并将解集用数轴表示出来；
（2）解不等式组：，并写出它的所有整数解．
解：（1）∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
用数轴表示如下：
（2），
解不等式①得：；
解不等式②去分母：，
，
，
，
∴不等式组的解集为：，
∴它的所有整数解为：．
18. （1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
解：（1）
；
（2）
，
代入，原式．
19. 已知关于的分式方程．
（1）若表示的数是2，解这个分式方程；
（2）查询发现正确答案为“原分式方程无解”，请你求出原分式方程中代表的数是多少．
解：（1）当时，方程化为：，
去分母，得：，
解得：；
经检验，是原方程的解，
∴方程的解为．
（2），
去分母，得：，
整理，得：，
∵分式方程无解，
∴方程有增根，
∴，
∴，
∴，
∴．
20. 已知：如图，，，，E，F是垂足，．求证：．
证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
在和中，

∴，
∴，
∴．
21. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，．
（1）画出绕点逆时针旋转后的图形，此时点的坐标为_______；
（2）将（1）中所得平移得到，使得内一点平移后的对应点坐标为，画出，此时点的坐标为_______；
（3）若可以看作绕某点旋转得来，直接写出旋转中心的坐标．
解：（1）如图，即为所求；
由图可知：．
（2）∵内一点平移后的对应点坐标为，
∴先向左平移4个单位，再向右平移2个单位，
如图，即为所求；
由图可知：；
（3）由图可知：点即为旋转中心，为．
22. 为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2500元购买航空模型的数量是用2400元购买航海模型数量的．
（1）求航空和航海模型的单价；
（2）学校采购时恰逢该商场促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？
解：（1）设航海模型的单价为元，则航空模型的单价为元，
由题意得，，
解得：，
经检验，是方程的解且符合题意，
则，
答：航空模型的单价为125元，航海模型的单价为90元．
（2）设购买航空模型个，花费为元，则购买航海模型个，
由题意得，，
解得：，
由题意得，，
，
随的增大而增大，
当时，有最小值，最小值为，
此时，
答：当购买航空模型40个，航海模型80个时，学校花费最少．
23. 如图，中，，，，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间为秒．
（1）当______时，将的面积分成相等的两部分，此时______；
（2）若点不与的顶点重合，问为何值时，点在的角平分线上？
（3）另有一点，从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，若两点同时出发，当中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当直线把的周长分成相等的两部分时，请直接写出此时的值．
解：（1），，，
∴，
∵三角形的中线平分三角形的面积，
∴当为的中线时，将的面积分成相等的两部分，
∴，
∴；
∵，
∴；
故答案为：2，；
（2）当平分时，如图，作，则：，
∵，
∴，即：，
∴，
∴；
当平分时，作，如图：则：，
∵，
∴四边形为正方形，
∴，
∵，
∴，即：，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理，得：，
∴；
当平分时，作，则：，
同法可得：，
∴，
∴；
综上：或或．
（3）如图6，当点在上，在上，
则，，
直线把的周长分成相等的两部分，且的周长为，
，
，
；
如图7，当点在上，在上，
则，，
直线把的周长分成相等的两部分，且的周长为，
，
，
，
当为2或6秒时，直线把的周长分成相等的两部分．
24. 如图所示，为等腰三角形，，点是上一点，连接．
（1）当时，
①如图1，若，把绕顺时针旋转到，连接，，则______；
②如图2，将线段绕点逆时针旋转到，点落在上，连接，点为线段的中点，连接，，此时与的数量关系为______；
小明同学提出以下解决问题的思路，仅供大家参考：
延长到点，使，连接，，通过证明两组三角形全等，再进一步分析研究来解决问题：
（2）当时，
①如图3，将线段绕点逆时针旋转到，连接，点为线段的中点，连接，，此时与有怎样的数量关系，并说明理由；
②如图4，点为内一点，若，，请直接写出的值．
解：（1）①∵，，
∴，
∵旋转，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：；
②延长到点，使，连接，，
∵为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∵旋转，
∴，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）①延长到点，使，连接，，
∵为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∵旋转，
∴，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴为等边三角形，∴，
∵，∴；
②如图，将绕点旋转至点，连接，作，
则：，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．…
0
1
2
…
…
无意义
*
*
0
*
…