江西省新余市第四中学2024-2025学年八年级下学期期中考试 数学试题（含解析）

这是一份江西省新余市第四中学2024-2025学年八年级下学期期中考试 数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项）
1. 若二次根式有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件得到，即可得到答案．
【详解】解：有题意可得：，
解得，
故选A．
2. 在中，斜边，则
A. 10B. 20C. 50D. 100
【答案】D
【解析】
【分析】根据勾股定理计算即可.
【详解】在中，，
，
故选D．
【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是记住在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
3. 如图，菱形ABCD的周长为28，对角线AC，BD交于点O，E为AD的中点，则OE的长等于（ ）
A. 2B. 3.5C. 7D. 14
【答案】B
【解析】
【分析】由菱形的周长可求得AB的长，再利用三角形中位线定理可求得答案0
【详解】∵四边形ABCD为菱形，∴AB28=7，且O为BD的中点．
∵E为AD的中点，∴OE为△ABD的中位线，∴OEAB=3.5．
故选B．
【点睛】本题考查了菱形的性质，由条件确定出OE为△ABD的中位线是解题的关键．
4. 如图，所有阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A，B，C的面积依次为2，4，3，则正方形D的面积为( )
A. 9B. 8C. 27D. 45
【答案】A
【解析】
【分析】设正方形D的面积为x，根据图形得出方程2+4=x-3，求出即可．
【详解】∵正方形A、B、C的面积依次为2、4、3，
∴根据图形得：2+4=x−3．
解得：x=9．
故选A．
【点睛】本题考查了勾股定理，根据图形推出四个正方形的关系是解决问题的关键．
5. 已知，化简的结果正确的是（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式的化简，化简绝对值，先判断，，再利用二次根式的性质与绝对值的性质化简，再合并即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴
；
故选：D
6. 如图，平行四边形中，对角线、相交于点，，、、分别是、、的中点，下列结论：①；②；③；④平分；⑤四边形是菱形．其中正确的个数是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】证明是等腰三角形即可证明①正确；由，可证②成立；由中点的性质可得出，且，结合平行即可证得③结论成立；由三线合一可证明④成立；无法证明⑤成立；此题得解．
【详解】∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴,
∵E为中点，
∴，故①成立；
∵，G是中点，
∴，
∵E、F分别是的中点，
∴，且，
∵四边形为平行四边形，
∴，且，
∴，
∴，故②成立；
∵，
∴,
∴（两直线平行，内错角相等），
在和中，
∵，
∴，即③成立；
∵,
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∵，
∴
即平分
故④正确，
若四边形是菱形
∴，
∴
与题意不符合
故⑤错误
故选C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质、中位线定理以及平行线的性质定理，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 化简：________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的性质进行化简即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
8. 命题“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是_____________________．
【答案】如果一个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形.
【解析】
【详解】解：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，
那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题.
因此，“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是“如果一个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形”.
故答案为：如果一个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形.
9. 在平面直角坐标系中，点到原点的距离为______．
【答案】10
【解析】
【分析】利用两点间的距离公式进行求解即可．
【详解】解：点到原点的距离为：，
故答案为：10．
【点睛】此题考查了平面直角坐标系中两点间的距离，熟练掌握两点间的距离是解题的关键．
10. 在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离长度为1尺．将它往前水平推送10尺，即尺，则此时秋千的踏板离地距离就和身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长为 _________尺．
【答案】14.5
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意能力，解题的关键是能构造出直角三角形，用勾股定理来解．
设秋千的绳索长尺，由题意知：尺，尺，尺，根据勾股定理列方程即可得出结论．
【详解】解：设秋千的绳索长为x尺，
由题意知：尺，尺，尺，
在中，，
∴，
解得：，
答：绳索长为14.5尺．
故答案为：14.5．
11. 如图，矩形内三个相邻的正方形的面积分别为4，3，2，则图中阴影部分的面积为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的应用．先表示出三个正方形的边长，然后用一个长为，宽为2的矩形的面积减去两个正方形的面积，可得到图中阴影部分的面积．
【详解】解：由题意得三个正方形的边长分别为，，2，
图中阴影部分的面积：．
故答案为：．
12. 如图，在矩形中，，，点从点A向点以每秒速度运动，同时点以每秒的速度从点出发，在，两点之间做往返运动，点到达点时，，两点同时停止运动，这段时间内，当运动时间为______s时，以，，，四点为顶点的四边形是矩形．

【答案】或或
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质与平行四边形的判定与性质，解题关键是要注意数形结合与方程思想的应用；
利用矩形对边平行且的性质，明确当时，四边形是矩形． 根据点在不同时间段的运动方向，分、 、 、这几个时间段，分别表示出和的长度表达式．在各时间段内令列方程求解，并根据实际情况对解进行取舍，从而得出满足条件的时间值．
【详解】根据题意可知：当点P到达点D时，点Q将由运动，
因为四边形是矩形，
所以，，
则 ，
当时，四边形是矩形
当时 ：
点从向运动，，， ，
令 ，即 ，
解得 ．
当时 ：
点从向运动，，， ，
令 ，即 ，
解得 ．
当时 ：
点从向运动，，， ，
令 ，即 ，
解得 ．
当时 ：
点从向运动，，， ，
令 ，即 ，
解得 ，
此时点到达点，点也停止运动，这种情况不符合构成四边形的条件，应舍去．
∴当运动时间为或或时，以，，，四点为顶点的四边形是矩形．
三、（本大题共5小题，每题6分，共30分）
13. 计算：
（1）；
（2）
【答案】（1）0； （2）4
【解析】
【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）先化简，然后合并同类二次根式即可；
（2）先利用平方差公式化简，再算加法即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
14. 如图，有一块三角形菜园，其中，，．
（1）判断菜园的边与是否垂直，并说明理由；
（2）现要扩大菜园，在边的延长上找一点D，使边的长为，求菜园的面积大了多少．
【答案】（1）垂直，理由见解析
（2）菜园的面积扩大了
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，得出是解题关键．
（1）利用勾股定理的逆定理求解即可；
（2）由勾股定理可得，进而求出的差值即可．
【小问1详解】
解：垂直，理由如下：
，，，
，
，
；
【小问2详解】
解：由（1）可知，，
，，
，
，
即菜园的面积扩大了．
15. 如图，在中，点E，F分别在和上，．求证：四边形平行四边形．
【答案】证明见详解．
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，解题的关键在于能够熟练掌握平行四边形的判定定理．
先根据平行四边形得出，，再结合由一组对边平行且相等判断四边形是平行四边形即可．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵
∴，
∴四边形是平行四边形．
16. 先化简， 再求值： 其中
【答案】；
【解析】
【分析】本题主要考查了分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键．根据分式混合运算法则进行化简，然后代入数据进行计算即可．
【详解】解：
，
把代入得：
原式．
17. 如图，在平行四边形中，点为的中点．仅用无刻度的直尺在给定图形中画图，画图过程用实线表示，按步骤完成下列问题：
（1）若，请在图1中的边上找点，使；
（2）如图2，点为边上一点，请在图2中的边上找点，使．
【答案】（1）图见解析；
（2）图见解析．
【解析】
【分析】本题考查了作图-复杂作图，平行四边形的性质，三角形中位线的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）连接交于点，连接并延长，交于点，则点即为所求；
（2）连接交于点，连接并延长，交于点，连接交于点，连接并延长，交于点，则点即为所求．
【小问1详解】
解：连接交于点，连接并延长，交于点，则点即为所求，如图：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴点为中点，
又∵点为的中点，
∴为的中位线，
∴，即，
又∴，
∴，
∴；
小问2详解】
解：连接交于点，连接并延长交于点，连接交于点，连接并延长，交于点，则点即为所求，如图：
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴点为的中点，
又∵点为的中点，
∴为的中位线，
∴，即，
∴，
∵点为的中点，，
∴是的中位线，
∴点是的中点，
∴是和的中位线，
∴，
∴．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 如图，在四边形中，，，，，．

（1）判断的形状；
（2）求四边形的面积．
【答案】（1）是直角三角形；
（2）
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理及其逆定理，利用勾股定理求解是本题的关键．
（1）根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半，先求出边的长度，再利用勾股定理逆定理判断出为直角三角形．
（2）根据进行计算即可．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
又，
∴，
∴（负值舍去），
∵，．
∴，
∴是直角三角形．
【小问2详解】
∵，
∴，
∴．
19. 小明在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解答的：
．．
，即．，．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）计算：______．
（2）若，求的值．
【答案】（1）；
（2）3
【解析】
【分析】此题考查已知式子的值求代数式的值，正确掌握分母有理数化简方法，完全平方公式是解题的关键．
（1）分子、分母同乘以，进而即可得到答案；
（2）根据例子求出，原式变形得到，再代入求值即可．
【小问1详解】
解：，
故答案为：；
【小问2详解】
解：∵，
∴
20. 如图，在中，，过点C的直线，D在边上一点．过点D作，交直线于E，垂足为F，连接、．

（1）求证：；
（2）当点D在中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）四边形是菱形，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由可知，进而可证四边形是平行四边形，进而可得；
（2）由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得，证是等腰三角形，由等腰三角形的性质可得，即为中点，可知是的中位线，则，由四边形是平行四边形，可得，进而有，进而可判断四边形的形状；
【小问1详解】
证明：由题意知，，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴；
【小问2详解】
解：四边形是菱形；理由如下：
∵在中，D在中点，
∴，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
∴为中点，
∴是的中位线，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴四边形是菱形；
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，平行线的判定，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，菱形的判定，中位线，等腰三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 如图，将长方形OABC置于平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，4)，点C的坐标为(m，0)(m>0)，点D(m，1)在BC上，将长方形OABC沿AD折叠压平，使点B落在坐标平面内，设点B的对应点为点E.
(1)当m＝3时，点B的坐标为________，点E的坐标为________；
(2)随着m的变化，试探索：点E能否恰好落在x轴上？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由．
【答案】(1)(3，4)；(0，1)；(2)点E能恰好落在x轴上，m的值是3，理由见详解.
【解析】
【分析】（1）根据点A、点D、点C的坐标和矩形的性质可以得到点B和点E的坐标；
（2）由折叠的性质求得线段DE和AE的长，然后利用勾股定理得到有关m的方程，求得m的值即可.
【详解】解：(1)点B的坐标是（3,4）
∵ AB=BD=3，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴∠BAD=45，
则∠DAE=∠BAD=45，
则E在y轴上．
AE=AB=BD=3，
∴四边形ABDE是正方形，OE=1，
则点E的坐标为(0,1)；
故答案为(3,4),(0,1)；
(2)点E能恰好落在x轴上．
理由如下：
∵四边形OABC为长方形，
∴BC＝OA＝4，∠AOC＝∠DCO＝90°，
由折叠的性质可得DE＝BD＝BC－CD＝4－1＝3，AE＝AB＝OC＝m.
如图，假设点E恰好落在x轴上．在Rt△CDE中，
由勾股定理可得EC＝＝＝2，
则有OE＝OC－CE＝m－2.
在Rt△AOE中，OA2＋OE2＝AE2，即42＋(m－2)2＝m2，解得m＝3.
故答案为(1)(3，4)；(0，1)；(2)点E能恰好落在x轴上，m值是3.
【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题），勾股定理.
22. 数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以互相转化.树形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.
(1) 【思想应用】已知m， n均为正实数，且m+n=2求的最小值通过分析，爱思考的小明想到了利用下面的构造解决此问题:如图， AB=2，AC=1，BD=2，AC⊥AB，BD⊥AB，点E是线段AB上的动点，且不与端点重合，连接CE，DE，设AE=m， BE=n.

①用含m的代数式表示CE=_______， 用含n的代数式表示DE= ;
②据此求的最小值;
(2)【类比应用】根据上述的方法，求代数式的最小值.
【答案】（1）①，；②；（2）20.
【解析】
【分析】（1）①利用勾股定理得到CE=，DE=；
②根据CE+DE=+，利用两点之间线段得到CE+DE≥CD（当且仅当C、E、D共线时取等号），作DH⊥CA交CA的延长线于H，如图，易得四边形ABDH为矩形，利用勾股定理计算出CD=，从而求解；
（2）如（1）中图，设AB=16，CA=5，BD=7，AE=x，则BE=16-x，利用勾股定理得到CE=，DE=；根据两点之间线段得到而CE+DE≥CD（当且仅当C、E、D共线时取等号），根据四边形ABDH为矩形，利用勾股定理计算出CD即可得到最小值．
【详解】解：（1）①在Rt△ACE中，，
在Rt△BDE中，DE=；
②CE+DE=+，
而CE+DE≥CD（当且仅当C、E、D共线时取等号），
作DH⊥CA交CA的延长线于H，如图，易得四边形ABDH为矩形，
∴AH=BD=2，DH=AB=2，
在Rt△CHD中，CD=，
∴CE+DE的最小值为，即的最小值为；
（2）如（1）中图，设AB=16，CA=5，BD=7，AE=x，则BE=16-x，
在Rt△ACE中，CE=，
在Rt△BDE中，DE=
∴CE+DE=+，
而CE+DE≥CD（当且仅当C、E、D共线时取等号），
∵四边形ABDH为矩形，
∴AH=BD=7，DH=AB=16，
在Rt△CHD中，CD=
∴CE+DE的最小值为20，即的最小值为20．
【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，灵活运用两点之间线段最短得到CE+DE≥CD是解题的关键，同时也考查了数形结合思想的应用．
六、（本大题共1小题，共12分）
23. 问题背景：已知共一个顶点的正方形和正方形，连接，取的中点P，连接，．探究，的数量关系与位置关系．
实践操作：如图①，小明旋转正方形，使正方形的顶点G落在正方形的边的延长线上．通过延长交于点Q，证．
是________三角形，和和数量关系是________，和和位置关系是________．
问题探究：如图②，小亮旋转正方形，使正方形的顶点E落在正方形的边的延长线上，此时线段，还有图①中的关系吗？请证明你的猜想．
拓展延伸：如图③，小红将正方形绕点旋转任意角度后，其他条件不变．线段，还有图①中的关系吗？请证明你的猜想．
【答案】（1）等腰直角；；；（2）成立；证明见解析；（3）有，证明见解析
【解析】
【分析】（1）证明，得出，，证明为等腰直角三角形，根据，得出，；
（2）延长交于点Q，连接，，证明，得出，，证明，得出，．根据等腰直角三角形的性质得出，；
（3）延长至点Q，使，连接并延长交的延长线于点H，证明，得出，证明，得出，，根据等腰直角三角形的性质得出，．
【详解】解：（1）延长交于点Q，
∵四边形，为正方形，
∴，，，，，
∵顶点G落在正方形的边的延长线上，
∴，
∴，，
∵P为线段的中点，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∵，
∴，；
（2）延长交于点Q，连接，，如图所示：
∵P是的中点，
∴，
∵正方形中，，，
∴，，
∵在和中，
∴，
∴，，
∴，
∵正方形中，，，，
∴，
∵在和中
∴，
∴，．
∴．
∵，
∴，；
（3）延长至点Q，使，连接并延长交的延长线于点H，如图所示：
∵P是的中点，
∴，
∵在和中，
∴，
∴，
∵在正方形中，，，，
∴，，
∵正方形中，，，四边形中，，，
∴，，
∵在和中，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰直角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．