江西省新余市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1. 下列式子一定是二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二次根式的定义，解题的关键是正确掌握二次根式的定义：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式．据此依次对各选项逐一分析即可作出判断．
【详解】解：A．当时，不是二次根式，故此选项不符合题意；
B．的根指数是，不是，则不是二次根式，故此选项不符合题意；
C．中，则不是二次根式，故此选项不符合题意；
D．是二次根式，故此选项符合题意．
故选：D．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则即可求解．
【详解】A、和不是同类项，不能合并，故该选项错误；
B、，故该选项错误；
C、，故该选项正确；
D、，故该选项错误，
故选：C．
3. 下列各组数中，为勾股数的是（ ）
A. 9，40，41B. 5，6，7C. ，，D. ，，
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了勾股数的定义，勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，根据勾股数的定义逐项判断即可．
【详解】解：A、，9，40，41是勾股数，故此选项符合题意；
B、，5，6，7不是勾股数，故此选项不符合题意；
C、，不是正整数，，，不是勾股数，故此选项不符合题意；
D、，，不是正整数，，，不是勾股数，故此选项不符合题意；
故选：A．
4. 已知△ABC的三边分别为a、b、c，下列条件中，不能判定△ABC为直角三角形的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否是90°即可．
【详解】A、∵∠A=∠B+∠C，且∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=90°，故能判定△ABC是直角三角形；
B、∵，∴，故能判定△ABC是直角三角形；
C、∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，∴∠C=，故不能判定△ABC是直角三角形；
D、∵，故能判定△ABC是直角三角形．
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的应用以及三角形内角和定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义判断．
5. 如图，菱形的对角线、交于点，菱形的周长为，直线过点，且与，分别交于点，，若，则四边形的周长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题重点考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，由菱形的性质得，，，证明，得，，再根据四边形的周长即可得解．证明是解题的关键．
【详解】解：∵菱形的周长为，，
∴，，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴四边形的周长是：
，
∴四边形的周长是．
故选：C．
6. 已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（ ）
A. 选①②B. 选②③C. 选①③D. 选②④
【答案】B
【解析】
【详解】解：A、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；
B、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误，故本选项符合题意；
C、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；
D、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意．
故选B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 要使代数式有意义，则x的取值范围是_____．
【答案】﹣2≤x＜3且x＞3
【解析】
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
【详解】解：由代数式有意义，得
．
解得﹣2≤x＜3且x＞3，
故答案为﹣2≤x＜3且x＞3．
【点睛】本题考查了代数式有意义时字母的取值范围，代数式有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当代数式是整式时，字母可取全体实数；②当代数式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当代数式是二次根式时，被开方数为非负数．
8. 命题“如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数”的逆命题是_______．它是_____命题．（填“真”或“假”）
【答案】 ①. 如果两个实数的积是正数，那么这两个实数（它们）都是正数 ②. 假
【解析】
【分析】逆命题就是将命题的题设和结论颠倒顺序，即可写出逆命题．根据逆命题判断真假命题．
【详解】解：逆命题就是将命题的题设和结论颠倒顺序，
故“如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数”的逆命题是“如果两个实数的积是正数，那么这两个实数（它们）都是正数”，
根据两个负数的乘积也是正数可以判断该命题为假命题，
故答案为：如果两个实数的积是正数，那么这两个实数（它们）都是正数，假．
【点睛】本题考查写出命题的逆命题，熟练掌握命题的逆命题是解题的关键．
9. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，则图中所有正方形的面积的和是______

【答案】
【解析】
【分析】本题考查勾股定理，设图中正方形的面积分别为、、、、、，对应的边长分别为、、、、、，根据勾股定理得，，，从而解决问题．熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【详解】解：如图，设图中正方形的面积分别为、、、、、、，对应的边长分别为、、、、、、，
∴、、、、、、，
∵所有的三角形都是直角三角形，
∴，
，
，
∴，
∴图中所有正方形的面积的和是．
故答案为：．

10. 如图，在中，，，，为边上一动点，于点，于点，则的最小值为______．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的逆定理，矩形的判定与性质，垂线段最短．连接，先根据勾股定理的逆定理可证是直角三角形，从而可得，再根据垂直定义可得，从而可得四边形是矩形，然后利用矩形的性质可得，从而可得当时，有最小值，即有最小值，最后利用等积法进行计算，可求出的长，即可解答．熟练掌握矩形的判定与性质，以及垂线段最短是解题的关键．
【详解】解：连接，
∵，，，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴当时，有最小值，即有最小值，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：．

11. 如图，数轴上的点表示的数是，点表示的数是1，于点，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，，则数轴上点表示的数是______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离、勾股定理、实数与数轴，先求出，再由勾股定理得出，再根据数轴上两点之间的距离计算即可得出答案．
【详解】解：数轴上的点表示的数是，点表示的数是1，
以点为圆心，长为半径画弧，交于点，
，
，
数轴上点表示的数是，
故答案为：．
12. 如图，在，对角线相交于，，分别是的中点，下列结论：①；②；③；④平分；⑤四边形是菱形，其中结论正确的是______．
【答案】①③④
【解析】
【分析】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、三角形全等的判定与性质，由平行四边形的性质得出，，结合，得出，再由等腰三角形的性质即可判断①；由直角三角形的性质和三角形中位线定理即可判断②；通过证明四边形是平行四边形即可判断③；由平行线的性质和等腰三角形的性质即可判断④；由即可判断⑤，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，，，
，
，
是的中点，
，故①正确，符合题意；
、分别是、的中点，
，，
点是斜边上的中点，
，
，无法证明，故②错误，不符合题意；
，，
四边形是平行四边形，
，且，，
，故③正确，符合题意；
，
，
，
，
，
平分，故④正确，符合题意；
若四边形是菱形，则，
，与题意不符合，故⑤错误，不符合题意；
综上所述，正确的是①③④，
故答案为：①③④．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. 计算
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查二次根式混合运算，
（1）先根据二次根式除法、乘法和负整数指数幂将原式化简，再利用二次根式的性质进行化简，最后进行加减运算；
（2）先根据完全平方公式和平方差公式将原式展开，再进行加减运算即可；
掌握相应的运算法则、性质和公式是解题的关键．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
．
14. 已知直角三角形两边长，满足，求第三边的值．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查勾股定理以及非负数的性质，直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质进而得出，，再利用分类讨论及勾股定理即可得出结论．利用分类讨论的思想是解题的关键．
【详解】解：∵，且，
∴，，
∴，，
①当为斜边时，
②当不为斜边
，
∴第三边的值是或．
15. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形边长都是1、每个小格的顶点叫做格点．以格点为顶点的三角形叫做格点三角形，请用无刻度直尺作图，
（1）如图1，在中画出边上高；
（2）如图2，点P为与网格线的交点，请在网格中补全，并作出过点且平分面积的直线．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了作图−应用与设计作图，平行四边形的性质等知识点，
（1）利用网格的特点，连接格点交于点D即可得解；
（2）利用过平行四边形对角线的交点的任一直线平分平行四边形面积的性质作出直线即可得解；
解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【小问1详解】
如图，即为所求；
【小问2详解】
如图，，直线即为所求．
16. 如图，菱形的对角线相交于点，且，．求证：四边形是矩形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查菱形的性质，矩形的判定，先根据，证明四边形是平行四边形，再根据菱形的性质得出，即可证明四边形是矩形．
【详解】证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
，
四边形是矩形．
17. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求菱形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、菱形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由平行线的性质结合角平分线的定义得出，由等角对等边得出，结合已知得出，结合推出四边形是平行四边形，再由即可得出四边形是菱形；
（2）由菱形的性质结合直角三角形的性质得出，再由菱形的面积公式计算即可得出答案．
【小问1详解】
证明：，
，
为的平分线，
，
，
，
又，
，
又，
四边形是平行四边形，
又，
是菱形；
【小问2详解】
解：四边形是菱形，
，，
，
，
，
．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 如图，点是内一点，连接、，并将、、、的中点、依次连接，得到四边形
（1）求证：四边形是平行四边形，
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定、含角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据三角形中位线定理得出，进而得出，即可得证；
（2）过点作于点，由含角直角三角形的性质得出，再由勾股定理得出，再由等腰直角三角形的性质得出，从而得出的长，即可得解．
【小问1详解】
证明：的中点分别为，
是的中位线，是的中位线，
，
，
四边形是平行四边形；
【小问2详解】
解：过点作于点，
，
在中，，，
，
，
在中，，，
，
，
．
19. 如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，求蚂蚁吃到饭粒器爬行的最短路径的长
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了轴对称的性质、平面展开－最短路径问题，勾股定理的应用等，正确利用侧面展开图、熟练运用相关知识是解题的关键．将容器侧面展开，作点关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，
高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与饭粒相对的点处，
将容器侧面展开，作关于的对称点，连接，则即为最短距离，
，
，
即蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径的长是．
20. 如图．在中，过上一点作交于点，以为顶点．为一边，作，另一边交于点．

（1）如图1，求证：四边形为平行四边形；
（2）延长图中的到点，使，连接，，，得到图，若，判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）四边形是矩形，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，矩形的判定．
（1）根据平行线的性质得到，根据题意得到，根据平行线的判定定理得到，根据平行四边形的判定定理证明；
（2）根据等腰三角形的性质得到，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明；
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形；
【小问2详解】
解：四边形是矩形，理由如下：
由（1）得，四边形为平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 先阅读下列解答过程，然后作答：
形如的化简，只要我们找到两个正数，使，，这样，，那么便有，例如：化简
解：首先把化为，这里，；由于，，即，
。
根据上述例题的方法化简：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查二次根式根号内含有根号的式子化简，二次根式的性质及完全平方公式，
（1）根据解答过程即可得解，
（2）将转化为，再根据解答过程即可得解，
（3）将转化为，再根据解答过程即可得解；
先把各题中的无理式变成的形式，进而可得出结论．解题的关键是理解和掌握：二次根式根号内含有根号的式子化简主要是根据完全平方公式的特点将该式子转化为平方的形式．
【小问1详解】
解：；
【小问2详解】
；
【小问3详解】
．
22. 我们知道著名的赵爽弦图可以推导出重要的勾股定理（如图1为赵爽弦图．其中四个直角三角形较长的直角边长都为，较短的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为）．
（1）从图1中取两个直角三角形如图2拼起来（连接）．我们容易证得是等腰直角三角形，请你利用图2推导出勾股定理．
（2）如图3，一条东西走向的河流一侧有一村庄，河边原有两个取水点A、B，其中，由于种种原因，由这条路村民已不能通行，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H，A、H、B在一条直线上）．并新修一条路，测得千米，千米，千米．请通过计算说明是否为从村庄到河边最近的路，如果不是，请说明理由；如果是，请求出比原来的路线近了多少千米．
【答案】（1）见解析 （2）千米
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的证明与应用，勾股定理的逆定理：
（1）根据梯形面积以及梯形面积由三个三角形面积求出，列出等式，化简即可得证；
（2）先根据勾股定理的逆定理得到，从而得到是最近的路，然后设出边长，根据勾股定理求出结果，相减即可求得最后结果．
【小问1详解】
证明：梯形的面积为，
也可以表示为，
，
即；
【小问2详解】
解：是为从村庄到河边最近的路，比原路少千米，理由如下：
，
是直角三角形，
，
是为从村庄到河边最近路．
设千米，
千米，
在中，根据勾股定理得：，
，
解得，
即千米，
（千米），
答：新路比原路少千米．
六、（本大题12分）
23. 已知，四边形是正方形，绕点旋转（），，，连接，．
（1）如图，求证：≌；
（2）直线与相交于点．
如图，于点，于点，求证：四边形是正方形；
如图，连接，若，，直接写出在旋转的过程中，线段长度的最小值．
【答案】（1）见解析 （2）①见解析②
【解析】
【分析】根据证明三角形全等即可；
根据邻边相等的矩形是正方形证明即可；
作交于点，作于点，证明是等腰直角三角形，求出的最小值，可得结论．
【小问1详解】
证明：四边形是正方形，
，．
，．
，
，
在和中，

≌；
【小问2详解】
证明：如图中，设与相交于点．

，
．
≌，
．
，
．
，
，，
四边形是矩形，
．
四边形是正方形，
，．
．
又，
≌．
．
矩形是正方形；
解：作交于点，作于点，

∵
∴≌．
．
，，
最大时，最小，．
．
由可知，是等腰直角三角形，
．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．