江西省九江外国语学校2024-2025学年八年级下学期期中考试 数学试题（含解析）

这是一份江西省九江外国语学校2024-2025学年八年级下学期期中考试 数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试范围：前三章 考试时间：120分钟
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，熟练掌握中心对称图形和轴对称图形的定义是解题的关键．根据中心对称图形和轴对称图形的定义，逐项分析即可判断．
【详解】解：A、图形既是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意；
B、图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
C、图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
D、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故选：A．
2. 在平面直角坐标系中，线段是由线段经过平移得到的，已知点的对应点为，点的坐标为，则点的对应点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了坐标的平移变换，熟练掌握变换的规律是解题的关键．根据左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加的规律，由点和的坐标推出平移方式，再将点平移变换即可求解．
【详解】解：点的对应点为
点向左移动了2个单位，向上移动了1个单位得到点，
线段是由线段经过左移动了2个单位，向上移动1个单位得到的，
点的坐标为，
点的坐标为，即．
故选：C．
3. 下列说法不正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了不等式的基本性质．根据不等式的基本性质进行判断即可得到答案．
【详解】解：A、若，则，故本选项不符合题意；
B、若，则，故本选项不符合题意；
C、若，则，故本选项不符合题意；
D、若，只有当时，，故本选项符合题意；
故选：D．
4. 如图，将沿方向向右平移到的位置，连接．已知的周长为，四边形的周长为．则这次平移的平移距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平移的性质可知，平移的距离为或的长度，且，，根据的周长和四边形的周长得到，求出的长即可得到答案．
【详解】解：由题意可知，平移的距离为或的长度，且，
将沿方向向右平移到的位置，，
，
的周长为，四边形的周长为，
，，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了平移的性质，解题关键是熟记平移的性质并灵活运用．
5. 尺规作图源于古希腊的数学，里面蕴含着丰富的几何原理，如图，在中，按如下步骤尺规作图，①以点为圆心，的长为半径作弧交边于点；②以点为圆心，的长为半径作弧交于点；③连接与、则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了基本作图，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由作图可知，，，然后根据等边对等角和三角形内角和可求得，即可求解．
【详解】解：由作图可知，，，
，，
，，
，，
又，，
故选：A．
6. 如图，已知△ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，将△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，以下结论：①BC＝B′C′，②AC∥C′B′，③C′B′⊥BB′，④∠ABB′＝∠ACC′，正确的有（ ）
A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④
【答案】B
【解析】
【分析】根据旋转的性质可得，BC＝B′C′，∠C′AB′＝∠CAB＝20°，∠AB′C′＝∠ABC＝30°，再根据旋转角的度数为50°，通过推理证明对①②③④四个结论进行判断即可．
【详解】解：①∵△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，
∴BC＝B′C′．故①正确；
②∵△ABC绕A点逆时针旋转50°，
∴∠BAB′＝50°．
∵∠CAB＝20°，
∴∠B′AC＝∠BAB′﹣∠CAB＝30°．
∵∠AB′C′＝∠ABC＝30°，
∴∠AB′C′＝∠B′AC．
∴AC∥C′B′．故②正确；
③在△BAB′中，AB＝AB′，∠BAB′＝50°，
∴∠AB′B＝∠ABB′＝（180°﹣50°）＝65°．
∴∠BB′C′＝∠AB′B+∠AB′C′＝65°+30°＝95°．
∴CB′与BB′不垂直．故③不正确；
④在△ACC′中，
AC＝AC′，∠CAC′＝50°，
∴∠ACC′＝（180°﹣50°）＝65°．
∴∠ABB′＝∠ACC′．故④正确．
∴①②④这三个结论正确．
故选：B．
【点睛】此题考查了旋转性质的应用，图形的旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，还考查了等腰三角形的判定和性质、平行线的判定等知识．熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）
7. 若是关于的一元一次不等式，则________.
【答案】
【解析】
【分析】根据一元一次不等式的定义可知，从而可求得m的值．
【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式，
∴．
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查的是一元一次不等式的定义，掌握一元一次不等式的特点是解题的关键．
8. 用反证法证明：“在中，已知，则”的逆命题，应首先假设_______．
【答案】
【解析】
【分析】先写出原命题的逆命题，然后假设其逆命题的结论不正确即可．
【详解】解：命题“在中，已知，则”的逆命题是：“在中，已知，则”，
∴应首先假设，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了写出一个命题的逆命题，反证法中的假设，正确写出原命题的逆命题是解题的关键．
9. 点关于x轴对称后再向右平移m个单位，其对应点落y轴上，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查平移的性质．根据x轴对称求出对称点，再根据平移的性质求出平移后的坐标即可得到答案．
【详解】解：点关于x轴对称的点为，
向右平移m个单位，得到点的坐标为，
由题意，点落在轴上，
解得．
故答案为：．
10. 若不等式的解集是x＞3，则a的取值范围是_______．
【答案】a≤3．
【解析】
【详解】化简不等式组可知 ．
∵解集为x＞3，
∴根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）”法则，得a≤3．
11. 如图，中，的平分线与的垂直平分线相交于点D，于点F，，，则的长度是________．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的全等判定及性质；连接，过点D作交的延长线于点M，由角平分线的性质得，由判定，由全等三角形的性质得，由线段垂直平分线的性质得，同理可证，即可求解；掌握角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的全等判定及性质是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，过点D作交的延长线于点M，
是的平分线，
，，
，
，
在和中，
，
（），
，
是的垂直平分线，
，
在和中，
，
（），
，

，
，，
，
．
故答案为：．
12. 在中，，，，若是三边所在直线上的一点，且，则的长为________．
【答案】或10或5．
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理逆定理，垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点并得到点的两种情况是解题的关键．先根据勾股定理逆定理得到，然后由垂直平分线的性质和是三边所在直线上的一点，推出点在线段的中点或者在线段的垂直平分线和直线和的交点上，当点在线段上时，易得的长；当点在上时，利用勾股定理和三角形面积法即可求得的长；当点在上时， 利用勾股定理即可求解．
【详解】解：，，，
，，，
，
，
，
点在线段的垂直平分线上，
又是三边所在直线上的一点，
如图所示，点、、符合题意，
①当点在上时，如上图点，
，，
；
②当点在上时，如上图点，
为线段的垂直平分线，
，
设，则，
，
，即，
解得，（负值已舍去）
，
③当点在上时，如上图点，
设，那么，
，，
，
，
．
综上所述，的长为或10或．
三、解答题（本题共5小题，每题6分，共30分．）
13. 解不等式组，并把它的解集表示在数轴上．
【答案】，见解析
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．先求出各不等式的解集，求出它们的公共部分，得到不等式组的解集，再把解集表示在数轴上即可．
【详解】解：，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
不等式组的解集为，
在数轴上表示不等式组的解集如图所示：
14. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为．
（1）画出绕点C逆时针旋转后的图形；
（2）将先向左平移4个单位，再向上平移4个单位得到，画出；
（3）若可以看作绕某点旋转得到，则旋转中心的坐标是__________．
【答案】（1）图见解析
（2）图见解析 （3）
【解析】
【分析】本题考查了平移作图，旋转作图，找旋转中心，熟练掌握相关知识是解题关键．
（1）利用网格特点和旋转的性质画出点、绕点逆时针旋转的对应点、，再顺次连接点、、即可；
（2）先将点、、分别先向左平移4个单位，再向上平移4个单位得到点、、的坐标，再顺次连接即可；
（3）分别作和的垂直平分线，它们的交点满足条件．
【小问1详解】
解：根据网格特点画出点、绕点逆时针旋转的对应点、，顺次连接点、、，如下图即为所求：
【小问2详解】
解：将点、、分别先向左平移4个单位，再向上平移4个单位得到点、、的坐标，再顺次连接，如下图即为所求：
【小问3详解】
解：作和的垂直平分线，交于点，如图所示，
由图可知点的坐标为，
故答案为：．
15. 如图，是的角平分线，，，垂足分别是，，连接，与相交于点．
（1）求证：是的垂直平分线；
（2）若，，求的面积．
【答案】（1）见解析 （2）12
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，角平分线的性质定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键
（1）根据角平分线的性质定理和，，易证，得到，，然后根据线段垂直平分线的判定即可得证．
（2）利用割补法求面积得到，即可求解．
【小问1详解】
证明：是的角平分线，，，
，，
又，
，
，，
、都在的垂直平分线上，
是的垂直平分线．
【小问2详解】
解：由（1）可知，，
，
，
，，，
16. 如图，在中，，，将绕点逆时针旋转，得到，求点到的距离．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．过点作于点，连接，由旋转的性质可得，，可证是等边三角形，然后根据直角三角形中30度角所对直角边等于斜边的一半即可求解．
【详解】解：过点作于点，连接，如图，
，将绕点逆时针旋转，得到，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
点到的距离为2．
17. 某游泳馆推出了两种收费方式：
方式一：顾容先购买会员卡，每张会员卡200元，仅限本人一年内使用，凭卡游泳，每次游泳再付费30元．
方式二：顾客不购买会员卡，每次游泳付费40元．
设小亮在一年内来此游泳馆的次数为次（），选择方式一的总费用为元，选择方式二的总费用为元．
（1）请分别写出，与之间的函数关系式．
（2）小亮选择哪种收费方式更省钱？
【答案】（1）；
（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
（1）根据题意方式一的总费用是会员卡的费用加上每次游泳30元，方式二就是每次游泳40元；
（2）分，及三种情况，求出的取值范围或的值，进而即可根据游泳的次数选择出省钱的收费方式．
【小问1详解】
解：根据题意，
方式一总费用是：，
方式一总费用是：，
答： ，．
【小问2详解】
解：当时，解得：；
当时，解得：；
当时，解得：．
答：小亮在一年内来此游泳馆的次数少于20次时，选择收费方式二省钱；当顾客一年内游泳次数等于20次时，选择两种收费方式费用相同；当顾客一年内游泳次数多于20次时，选择收费方式一省钱．
四、解答题（本题共3小题，每题8分，共24分．）
18. 若一个不等式组有解且解集为；则称为的解集中点值，若的解集中点值是不等式组的解（即中点值满足不等式组），则称不等式组对于不等式组中点包含．
（1）已知关于x的不等式组：，以及不等式组：，
①的解集中点值为_________；
②不等式组对于不等式组_________（填“是”或“不是”）中点包含．
（2）已知关于的不等式组：和不等式组：，若不等式组对于不等式组中点包含，求的取值范围．
【答案】（1）5； （2）
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，由不等式组的解集情况求参数，理解新定义是解题的关键．
（1）①求出不等式组的解集，再根据解集中点值的定义求出的解集中点值即可；②根据不等式组的解集判断即可求解；
（2）求出不等式组和的解集，进而得到，据此即可求解．
【小问1详解】
解：①
解不等式①，得，
解不等式②，得，
不等式组的解集为，
不等式组的解集中点值为，
故答案为：5．
②不等式组：，不等式组的解集中点值为5，
不等式组对于不等式组中点包含，
故答案为：是．
【小问2详解】
解：不等式组：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
不等式组的解集为，
不等式组的解集中点值为；
不等式组：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
不等式组的解集为，
不等式组对于不等式组中点包含，
，
．
19. 在等腰与等腰中，，，，连接和相交于点，交于点，交于点．
（1）求证：；
（2）求证：平分．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）利用角的和差可得，结合，，即可由证得；
（2）过点作，，由（1）可知，推出，，然后利用面积公式进而得到，根据角平线的判定定理即可判定．
【小问1详解】
证明：，
，
又，，
．
【小问2详解】
证明：过点作，，如图，
由（1）可知，
，，
，
，
又，，
平分．
20. 如图，是等边的中线，交的延长线于点，垂足为点．
（1）求证：；
（2）连接，若，求的长度．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，结合，可推出，然后根据对顶角相等得到，即可证明；
（2）根据等边三角形的性质和中线的性质得到，，然后根据直角三角形中30度所对直角边等于斜边的一半求得，再得到，最后利用勾股定理先求得，即可再求得．
【小问1详解】
证明：是等边三角形，
，
，
，
，，
，
又，
，
．
【小问2详解】
解：是等边三角形，，
，，
是等边中线，由（1）可知，
，
，
，由（1）可知，
，
，
，
，
，，
．
【点睛】本题考查了等边三角形性质，等腰三角形的判定，中线性质，直角三角形性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
五、解答题（本题共2小题，每题9分，共18分．）
21. 如图，已知直线经过点，，直线与直线相交于点M，与x轴交于点D，点M的横坐标为．
（1）根据图象，直接写出当时，x的取值范围是什么？
（2）求直线的表达式和a的值；
（3）若点P在直线上，且，求点P的坐标．
【答案】（1）
（2），
（3）或
【解析】
【分析】本题考查一次函数解析式及一次函数的性质，正确理解题意是解题的关键：
（1）根据图象可知时，在的下方，得出答案；
（2）将点，代入，得：，求解得出直线的表达式为，进而求出点M的坐标为，把代入，
求解即可得出答案；
（3）设把代入得，，求出，进而得出，根据题意得出，求解即可．
【小问1详解】
解：由图象可知，当时，
x的取值范围为；
【小问2详解】
将点，代入，
得：，
解得：，
∴直线的表达式为，
把代入
得，
∴点M的坐标为，
把代入，
得．
【小问3详解】
设，
把代入得，，
∴，
∴，
，
解得或．
∴或
22. 某商店决定购进A、B两种北京冬奥会纪念品．若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要1000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要550元．
（1）求购进A、B两种纪念品的单价；
（2）若该商店决定拿出1万元全部用来购进这两种纪念品，考虑市场需求，要求购进A种纪念品的数量不少于B种纪念品数量的6倍，且购进B种纪念品数量不少于20件，那么该商店共有几种进货方案？
（3）若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？求出最大利润．
【答案】（1）购进A、B两种纪念品的单价分别为50元、100元
（2）共有6种进货方案
（3）当购进A种纪念品160件B种纪念品20件时，可获得最大利润，最大利润是3800元
【解析】
【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组进行求解即可；
（2）根据题意列出一元一次不等式组进行求解即可；
（3）设总利润为W元，求出W和x之间的函数关系式，利用一次函数的性质进行求解即可．
【小问1详解】
设A种纪念品单价为a元，B种纪念品单价为b元
根据题意，得 解得
∴购进A、B两种纪念品的单价分别为50元、100元.
【小问2详解】
设该商店购进A种纪念品x个，购进B种纪念品y个
根据题意，得
变形得
由题意得：
由①得：
由②得：
∴
∵x，y均为正整数
∴x可取的正整数值是150，152，154，156，158，160
与x相对应的y可取的正整数值是25，24，23，22，21，20
∴共有6种进货方案.
【小问3详解】
设总利润为W元
则
∵
∴W随x的增大而增大
∴当时，W有最大值：（元）
∴当购进A种纪念品160件，B种纪念品20件时，可获得最大利润，最大利润是3800元．
【点睛】本题考查二元一次方程组、一元一次不等式组和一次函数的实际应用．根据题意正确的列出二元一次方程组，一元一次不等式组，根据一次函数的性质进行求解，是解题的关键．
六、解答题（本题共1小题，12分．）
23. 初二某班同学在数学老师的指导下，以“图形的旋转”为主题，开展数学探究活动．
【操作探究】（1）如图1，在等腰直角中，，D是边上的一点，将绕着A点逆时针旋转得到，连按，请证明线段之间的数量关系．
【迁移探究】（2）如图2，是等边三角形，P是内一点，，则_________
【拓展应用】如图3，在中，为直角，，平面内存在一点D，使若，，求的面积．
【答案】（1），证明见解析；（2）；（3）10或26
【解析】
【分析】（1）先由三角形内角和定理可得，再由旋转的性质得到，则可证明，据此利用勾股定理可得结论；
（2）将绕点C顺时针旋转60度得到，连接，由旋转的性质可得，，则可证明的等边三角形，得到，再证明，推出，据此可得答案；
（3）分点D在下方和点D在上方，两种情况画出对应的示意图，讨论求解即可．
【详解】解：（1），证明如下：
∵，
∴，
由旋转的性质可得，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴；
（2）如图所示，将绕点C顺时针旋转60度得到，连接，
由旋转的性质可得，，
∴的等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（3）如图3所示，当点D在下方时，
∵在中，为直角，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
如图所示，将绕点A顺时针旋转90度得到，
∵，
∴，
∴，
由旋转的性质可得，
∴，
∴三点共线，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
如图4所示，当点D在上方时，过点A作交于E，
∵，
∴；
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
综上所述，的面积为10或26．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，勾股定理及其逆定理，旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定等待，正确作出辅助线是解题的关键．