吉林省长春市东北师范大学附属实验学校2024-2025学年下学期期中考试八年级 数学试题（含解析）

这是一份吉林省长春市东北师范大学附属实验学校2024-2025学年下学期期中考试八年级 数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
时长：120分钟 分值：120分
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是分母不为0是解题的关键．根据分式有意义的条件即可解答．
【详解】解：分式有意义，
，
解得：．
故选：C．
2. 水是生命之源，水以多种形态存在，固态的水即我们熟知的冰，气态的水即我们所说的水蒸气，水分子的半径约是0.00000000014m．将数据0.00000000014用科学记数法表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可．
【详解】将数据0.00000000014用科学记数法表示正确的是．
故选：B．
3. 下列各式从左往右的变形正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练理解分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变是解题的关键．
根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变进行逐项判断．
【详解】解：A、，原计算错误，该选项不符合题意；
B、，原计算错误，该选项不符合题意；
C、，原计算错误，该选项不符合题意；
D、正确，该选项符合题意；
故选；D．
4. 下列图象中，表示不是的函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查函数的概念，关键是掌握函数的定义．
设在一个变化过程中有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么就说是的函数，由此即可判断．
【详解】解：由函数的定义∶设在一个变化过程中有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么就说是的函数，
选项A、B、D中的图象，是的函数，故A、B、D不符合题意；选项C中的图象，不是的函数，故C符合题意，
故选：C．
5. 下列分式是最简分式的是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查最简分式，根据分式的分子和分母不含公因式，这样的分式叫做最简分式，进行判断即可．
【详解】解：A、，不是最简分式，不符合题意；
B、，是最简分式，符合题意；
C、，不是最简分式，不符合题意；
D、，不是最简分式，不符合题意；
故选B．
6. 在平面直角坐标系内有一点，若点位于第四象限，并且点到轴和轴的距离分别为，，则点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，根据点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值，结合第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标是负数，即可求解．
【详解】解：∵点在第四象限，且点到轴和轴的距离分别为，，
∴点的横坐标是，纵坐标是，即点的坐标为．
故选：B．
7. 将直线向上平移4个单位长度，得到的新直线的解析式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据上加下减的原则平移求解即可．
本题考查了一次函数的平移，熟练掌握平移规律是解题的关键．
【详解】解：直线向上平移4个单位长度，得到的新直线的解析式为．
故选：D．
8. 关于一次函数，给出下列说法正确的是（ ）
①无论取何值，点一定在该函数图象上；
②当时，该函数图象不经过第四象限；
③若，该函数图象可以看成正比例函数的图象向下平移2个单位得到；
④若点，在该函数图象上，且，则．
A. ①②③B. ②③④C. ①②④D. ①③④
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查一次函数的定义、一次函数的图象与性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
根据一次函数的相关性质逐项分析求解即可．
【详解】解：令，则，
无论取何值，点一定该函数图象上，
故①正确；
若该函数不经过第四象限，则，
解得，
故②正确；
当时，函数为，
正比例函数的图象向下平移2个单位得，
故③错误；
，，
随的增大而增大，
，
故④正确；
综上所述，说法正确的是①②④，
故选：C ．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9. 若分式的值为零，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是分式值为0的条件：当分母不为0且分子值为0时，分式值为0．
根据分式值为0的条件求解即可．
【详解】解：分式的值为零，则且，
，
，
故答案为：．
10. 函数的自变量的取值范围是______．
【答案】且
【解析】
【分析】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．根据被开方数大于等于，分母不等于列式计算即可得解．
【详解】解：由题意得，且，
解得且．
故答案为：且．
11. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标规律，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特点是解题关键． 关于x轴的对称点，横坐标不变，纵坐标变成相反数．关于y轴的对称点，纵坐标不变，横坐标变成相反数．根据关于y轴的对称点，纵坐标不变，横坐标变成相反数求解即可．
【详解】解：点关于y轴的对称点的坐标是，
故答案为：．
12. 如果点、点在直线上，那么______（填“”或“”）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数增减性是关键．根据随增大而减小判断即可．
【详解】解：∵直线中，
故随的增大而减小，
∵
∴
故答案为：．
13. 如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点，则二元一次方程组的解是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图像交点坐标与方程组解的关系：对于函数，，其图象的交点坐标中x，y的值是方程组的解．据此求解即可．
【详解】解；∵直线与直线相交于点，
∴二元一次方程组的解是．
故答案为：．
14. 如图1，在中，动点P从A点运动到B点再到C点后停止，速度为2，其中长与运动时间（单位：）的关系如图2，则的长为________．

【答案】
【解析】
【分析】根据图象可知时，点与点重合，得到，进而求出点从点运动到点所需的时间，进而得到点从点运动到点的时间，求出的长，再利用勾股定理求出即可．
【详解】解：由图象可知：时，点与点重合，
，
点从点运动到点所需的时间为；
点从点运动到点的时间为，
；
在中，由勾股定理可得；
故答案为：．
【点睛】本题考查动点的函数图象，勾股定理．从函数图象中有效的获取信息，求出，的长是解题的关键．
三、解答题（共78分）
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了实数混合运算，熟练掌握零指数幂运算法则，负整数指数幂运算法则，是解题的关键．根据零指数幂和负整数指数幂运算法则，绝对值意义，二次根式运算法则进行计算即可．
【详解】解：
．
16. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查分式的混合运算，先通分，计算括号内，除法变乘法，进行约分化简即可．
【详解】解：原式
．
17 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）无解
【解析】
【分析】本题考查的是分式方程的解法，先去分母化为整式方程，再解整式方程并检验即可，掌握解分式方程的步骤是解本题的关键．
（1）根据解分式方程的步骤解方程即可；
（2）根据解分式方程的步骤解方程即可．
【小问1详解】
解：
去分母得：，
整理得：，
解得：，
经检验是分式方程的解．
【小问2详解】
解：
去分母得：，
去括号得：，
整理得：，
解得：，
经检验：是增根，
∴原分式方程无解．
18. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则成为解题的关键．先根据分式的混合运算法则化简，然后将代入计算即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
19. 2022年我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势，经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少0.6元．若充电费和加油费均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费．
【答案】这款电动汽车平均每公里的充电费为0.2元．
【解析】
【分析】设这款电动汽车平均每公里的充电费为x元，则燃油车平均每公里的充电费为(x+0.6)元，根据“电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍”列分式方程，解方程即可求解．
【详解】解：设这款电动汽车平均每公里的充电费为x元．
根据题意，得．
解，得．
经检验，是原方程的根．
答：这款电动汽车平均每公里的充电费为0.2元．
【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
20. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．
（1）画出关于轴对称的；
（2）若点为轴上一动点，使得值最小，在轴上画出点（保留作图痕迹），并直接写出点的坐标______．
【答案】（1）图见解析
（2）图见解析，
【解析】
【分析】本题考查坐标与轴对称，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键：
（1）根据轴对称的性质，画图即可；
（2）连接，与轴的交点即为点．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
【小问2详解】
如图，点即为所求；
由图可知：．
21. 如图，一次函数图象与正比例函数的图象交于点，与轴的负半轴交于点，与轴的负半轴交于点，且．
（1）点的坐标______；
（2）求一次函数的解析式；
（3）直接写出当时，自变量的取值范围______．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式及一次函数与一元一次不等式间的关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）将代入求出，即可得到答案；
（2）根据题意得到,用待定系数法求函数解析式即可；
（3）根据函数图象即可得到答案．
【小问1详解】
解：将代入得，
解得：，
点的坐标为，
故答案为：；
【小问2详解】
解：，
,
将代入得，
解得;，
一次函数的解析式为；
【小问3详解】
解:对于，令即
；由函数图象得，当时，自变量的取值范围是，
故答案为：．
22. 某校八年级数学兴趣小组同学们，对函数（是常数，）的性质进行了初步探究，部分过程如下，请你将其补充完整．
（1）当，时，即．当时，函数化简为______，当时，函数化简为______；
（2）当，时，即．
①该函数自变量和函数值的若干组对应值如下表：
其中______，______；
②在图中所示的平面直角坐标系内画出函数的图象；
（3）请写出函数的一条性质：______．
【答案】（1），
（2）①4，3②见解析
（3）函数的图象有最低点，最低点是（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象和性质，理解题意是正确解答此题的关键．
（1）根据绝对值的意义进行化简；
（2）①根据一次函数图象上点的特征代入求出m，n的值即可；②根据描点法作图；
（3）根据图象解答即可．
【小问1详解】
解：，
当时，函数化简为，
当时，函数为：；
故答案为：，；
【小问2详解】
解：①当，时，，
当，时，，
解得：， （舍），
故答案为：4，3；
②把①中的各个点在平面直角坐标系中描出并连接各点，如图1所示：
；
【小问3详解】
解：由②中的图象可得：函数的图象有最低点，最低点是．
23. 我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是方向相反的变形．类似的，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是方向相反的变形，我们称这种与“几个分式相加”方向相反的变形为“分式分解”．
例如，将分式分解：．
（1）将分式分解的结果为______；
（2）若可以分式分解为（其中是常数），则______，______；
（3）当时，判断与的大小关系，并写出你的证明过程．
【答案】（1）
（2）1，3 （3），证明过程见详解
【解析】
【分析】本题考查新定义下分式的加减及分式的大小比较，理解题中新定义、熟练掌握作差法是解题的关键．
（1）根据题中示例进行变形即可得出答案；
（2）将通分，即可求得m及关于的方程组，解之即可得答案；
（3）根据做差法求出两个分式的差再判断出差的正负即可得出答案．
【小问1详解】
解：，
故答案为：；
【小问2详解】
解：
，
，
，
解得，
故答案为：1，3；
【小问3详解】
证明：
，
当时，，，，
．
24. 在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足：，则称点的“美好点”为点．例如，点的美好点是．
（1）点的美好点坐标是______，若点的美好点为，则点的坐标是______；
（2）若点的美好点在直线上，求的值；
（3）正方形各顶点的坐标分别为，，，，点在直线上且点的横坐标为，点为点的美好点，
①点______直线（填“在”或“不在”）；
②连结，当线段与正方形的边有且只有一个公共点时，直接写出的取值范围______．
【答案】（1），
（2）
（3）①在；②或
【解析】
【分析】本题是一次函数的综合问题，解题的关键是掌握“美好点”的定义，并熟练加以运用，及一次函数图象上点的坐标和分类讨论思想的运用．
（1）根据“美好点”的定义进行求解即可；
（2）若点的美好点在直线上，可得方程，解之可得；
（3）①先根据点Q为点P的美好点．求得点Q的坐标，再代入，求解即可；
②先根据题意画出图形，然后根据题意分类讨论求解即可．
【小问1详解】
解： 根据题意可得：点的美好点坐标是
，，
即；
若点P的美好点为，
则，
解得，，
点P的坐标是，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：点的美好点为，即，
若点的美好点在直线上，
得，
解得：，
所以的值为，
故答案为：；
【小问3详解】
解： ①点在直线上且点的横坐标为，
，
点Q为点P的美好点，
，
令，得，
也在直线上，
故答案为：在；
②解： 如图，

将代入中，
得，则，
将代入中，得，则，
当线段与正方形的边有且只有一个公共点时，分两种情况讨论：
当点P在点F下方（含点F），点Q在线段上时，符合题意，
，
解得，
当点P在线段上，点Q在点E上方（含点E）时，符合题意，
，
解得，
故的取值范围是或．…
－2
－1
0
1
2
4
…
…
6
2
0
2
4
6
…