吉林省长春市东北师大附中明珠学校2024-2025学年下学期期中考试八年级 数学试题（含解析）

这是一份吉林省长春市东北师大附中明珠学校2024-2025学年下学期期中考试八年级 数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1. 下列各图象中，能表示是的函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查函数的定义．根据函数的定义可知，满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定函数．
【详解】解：由图象得D的图象有唯一的值与之对应，故D符合题意；
A，B，C三个选项均不符合函数的定义，
故选：D．
2. 下列各式中，计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的加减法和乘除法，解答本题的关键是掌握二次根式的加减运算法则和乘除运算法则．结合选项分别进行二次根式的加减运算和乘除运算，然后选择正确选项即可．
【详解】解：A．与不是同类二次根式，不能相加，故本选项错误，不符合题意；
B．，故本选项错误，不符合题意；
C．，故本选项错误，不符合题意；
D．，故本选项正确，符合题意．
故选：D．
3. 在平面直角坐标系中，将函数y=3x +2的图象向下平移3个单位长度，所得的函数的解析式是（ ）
A. y=3x+5B. y=3x﹣5C. y=3x+1D. y=3x﹣1
【答案】D
【解析】
【分析】根据“上加下减，左加右减”的平移规律即可求解．
【详解】解：将函数y=3x +2的图象向下平移3个单位长度，所得的函数的解析式是y=3x﹣1,
故选：D
【点睛】本题考查了一次函数的平移，掌握平移规律是解题的关键．
4. 一元二次方程配方后可变形为（ ）
A B.
C. D. ．
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤是解决此题的关键．将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
∴ ，即，
故选：A．
5. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A. ，，，
B. ，，，
C. ，，，
D. ，，，
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查比例线段概念．注意掌握在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．
由题意根据比例线段的概念：如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，依次对各选项进行分析判断．
【详解】解：
A．，这四条线段不成比例，故不符合题意；
B．，这四条线段成比例；符合题意；
C．，这四条线段不成比例，故不符合题意；
D．，这四条线段不成比例，故不符合题意；
故选：B．
6. 如图所示，在一边靠墙（墙足够长）空地上，修建一个面积为的矩形临时仓库，仓库一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成，若设栅栏的长为，则下列各方程中，符合题意的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据的长表示出线段或线段的长，利用矩形的面积列出方程即可．
【详解】解：设的长为x米，则，
根据矩形的面积得：
故选：A．
7. 小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途时，自行车出了故障，只好停下来修车，车修好后，因怕耽误上课，他比修车前加快了速度继续匀速行驶，下面是行驶路程s（m）关于时间t（min）的函数图象，那么符合小明行驶情况的大致图象是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由于开始以正常速度匀速行驶，接着停下修车，后来加快速度匀驶，所以开始行驶路S是均匀减小的，接着不变，后来速度加快，所以S变化也加快变小，由此即可作出选择．
【详解】解：因为开始以正常速度匀速行驶，所以s随着t的增加而增加，随后由于故障修车，此时s不发生改变，再之后加快速度匀驶，s随着t的增加而增加，综上可得s先缓慢增加，再不变，再加速增加．
故选：C．
8. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点为轴上的一点，将绕点顺时针旋转至，反比例函数的图象经过点，过作交反比例函数的图象于点，若的面积为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，反比例函数的几何意义，根据，得到，是解答本题的关键．过B点作于E点，根据旋转的性质可得：，，即有是等边三角形，则有，得出，根据，可得，即可求解．
【详解】解：过B点作于E点，如图，
根据旋转的性质可得：，，
∴是等边三角形，
∵，
∴，则
∵，
∴，
∵，
∴，
∵反比例函数图象在第二象限，则，
∴，
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9. 式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是_______ ．
【答案】x≥3
【解析】
【分析】直接利用二次根式有意义的条件得到关于x的不等式，解不等式即可得答案.
【详解】由题意可得：x—3≥0，
解得：x≥3，
故答案为：x≥3
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键.
10. 已知，则的值为____________
【答案】
【解析】
【分析】本题考查比例的性质，利用设参法，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴设，
∴；
故答案为：．
11. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．根据题意令根的判别式大于或等于零求解即可．
详解】解：由题意得，
解得：．
故答案为：．
12. 若关于的一元二次方程的一个根为，则它的另一个根为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若为方程的两个根，则与系数的关系式：，．根据根与系数的关系求解即可．
【详解】解：设另一个根为，由题意得，
∴，
故答案为：．
13. 计算的结果是________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，正确计算是解题的关键．先根据绝对值、二次根式的性质化简，再合并即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
14. 如图，直线分别与轴、轴交于点，，直线与轴相交于点，与轴正半轴相交于点，则下列说法正确的有________．
①；
②直线与轴夹角；
③无论取何值，直线一定过定点；
④若直线与直线相交于点，则不等式的解集为．
【答案】①②③
【解析】
【分析】本题考查的是一次函数的性质，等腰三角形的性质，一次函数与不等式的关系，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．根据一次函数的图象直接判断①；先求解一次函数与坐标轴的坐标，结合等腰三角形的性质可判定②，把代入可判断③，由一次函数与不等式的关系结合图象可判断④，从而可得答案．
【详解】解：直线与轴相交于点，与轴正半轴相交于点，
∴，故①正确，符合题意；
直线分别与轴、轴交于点，，
则，，即，
∴为等腰直角三角形，，②正确，符合题意；
将代入可得，，
即函数图象过点，③正确；符合题意；
直线与轴相交于点，即
直线与直线相交于点，将代入可得，，
即，
又∵
根据图形可得：不等式的解集为，④不正确；不符合题意；
故答案为：①②③．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算：
（1）先计算二次根式除法，再化简二次根式，最后计算二次根式加减法即可；
（2）先利用平方差公式计算二次根式乘法，再计算加减法即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
16. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题考查的是解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键．
（1）先移项，再利用因式分解法解方程即可；
（2）直接利用公式法解方程即可．
【小问1详解】
解：，
移项，得：，
因式分解，得：
∴或，
解得：，；
【小问2详解】
解：，
，
，
∴，
解得：，．
17. 某商品经过两次涨价，每件零售价由元涨为元，求平均每次涨价的百分率．
【答案】平均每次涨价的百分率为
【解析】
【分析】此题考查一元二次方程的应用，解题关键是根据题意列出一元二次方程，涨价一次则乘，涨价两次则乘，直接列一元二次方程求解即可．
【详解】依题意得：，
解得．
因为，所以；
答：平均每次涨价的百分率为．
18. 如图，，直线、与这三条平行线分别交于点、、和点、、．若，，，求的长．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算，得到答案，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
解得：．
19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点．
（1）反比例函数㳖达式为_________，一次函数的表达式为________；
（2）求的面积；
（3）当时．根据图象直接写出的取值范围．
【答案】（1）；
（2）
（3）或
【解析】
【分析】本题考查的是利用待定系数法求解含义解析式，坐标与图形面积，利用函数图象解不等式；熟练的利用数形结合的思想解题是关键．
（1）将A点坐标代入反比例函数可得反比例函数解析式，再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可；
（2）令直线与x轴的交点为M．由，再计算即可；
（3）直接利用函数图象解答即可．
【小问1详解】
解：将代入反比例函数得，．
∴反比例函数的解析式为．
将、两点坐标代入一次函数解析式得，
，解得．
∴一次函数解析式为．
故答案为：；．
【小问2详解】
解：将代入一次函数解析式得，
即点的坐标为．
∴，，
故．
【小问3详解】
解：由函数图象可知，当时，x的取值范围是：或．
20. 阅读材料：像两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式．
在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
例如：．
解答下列问题：
（1）写出的一个有理化因式：________，将分母有理化得________．
（2）计算：；
（3）比较大小：________（用“＞”、“=”或“＜”填空）．
【答案】（1）；
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查二次根式的混合运算，分母有理化，解答本题的关键是明确二次根式的混合运算的计算方法．
（1）根据题意可以得到所求式子的分母有理化因式，并将题目中的二次根式化简；
（2）根据分母有理化的方法可以化简题目中的式子，再进行加减计算，即可求解；
（3）先计算两数的倒数，根据分母有理化，进而比较即可求解．
【小问1详解】
解：的一个有理化因式为；分母有理化得，
故答案为：；．
【小问2详解】
解：
；
【小问3详解】
解：
∵
∴
故答案为：．
21. 端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日．某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售，甲、乙两种粽子的进价和售价如表所示．该超市计划购进这两种粽子共200个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍．设购进甲种粽子个，两种粽子全部售完时获得的利润为元．
（1）求与的函数关系式，并求出的取值范围；
（2）超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？
【答案】（1）(且为正整数)；
（2）购进甲粽子个，乙粽子个才能获得最大利润，最大利润为元．
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是找出数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数解析式；
（1）设购进甲粽子个，则乙粽子个，由题意得，再由甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的倍，得；
（2）由一次函数的性质即可得出结论．
【小问1详解】
解：设购进甲粽子m个，则乙粽子个，利润为元，
由题意得：，
∵甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，
∴，
解得：，
又∵为正整数，且两种粽子共个（两种都有），
且为正整数
与的函数关系式为且为正整数；
【小问2详解】
，则随的增大而减小，，即的最小整数为，
当时，最大，最大值，
则，
答：购进甲粽子个，乙粽子个才能获得最大利润，最大利润为元．
22. 某物流公司派遣甲、乙两辆快递车从仓库沿同一路线向某小区运输快件，甲车先从仓库出发，乙车随后也从该仓库出发，已知甲车在途中因故障停留1小时，修复后保持原来的速度继续行驶．甲、乙两车距仓库的距离（千米）与甲车出发的时间（小时）之间的函数图象如图所示．
（1）乙车的行驶速度为________千米/小时，________；
（2）甲车故障修复后，求甲车距仓库的距离与之间的函数关系式；
（3）直接写出在乙车行㳏过程中，甲、乙两车相距50千米时的值．
【答案】（1）；
（2）
（3）或时，甲、乙两车相距50千米
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，从函数图像上获取信息是解题的关键．
（1）结合函数图像求解即可．
（2）设甲车故障修复后，甲车距仓库的距离y与x之间的函数关系式为结合（1）得出点在函数图像上，利用待定系数法求解即可．
（3）先求得甲车各段距仓库的距离y与x之间的函数表达式，以及乙车距仓库的距离y与x之间的函数解析式，根据题意分类讨论，列出一元一次方程，解方程，即可求解．
【小问1详解】
解：乙车的行驶速度为：（千米／小时）
甲车的速度为：（千米／小时），
则，
解得：，
经检验， 是原分式方程的解，
故．
故答案为：80；5.5
【小问2详解】
解：设甲车故障修复后，甲车距仓库的距离y与x之间的函数关系式为，
把点，代入，得：
，
解得：，
则甲车距仓库的距离y与x之间的函数关系式为．
【小问3详解】
解：当时，
当时，
当时，
设乙车距仓库的距离y与x之间的函数关系式为，代入，得
解得：
∴乙车距仓库的距离y与x之间的函数关系式为
当时，，
解得：
∴
当两车相遇前相距50千米时，时，
解得：
当时，
解得：（舍去）
当两车相遇后相距50千米时，当时，
解得：
综上所述，或时，甲、乙两车相距50千米
23. 在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表，描点，连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照函数学习的过程与方法，探究分段函数的图象与性质，探究过程如下，请补充完整．
（1）列表：
其中，________，________．
（2）描点：在平面直角坐标系中，以自变量的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示，请画出函数的图象．
（3）研究函数并结合图像与表格，回答下列问题：
①点，，，在函数图象上，则______，______（填“＞”、“=”或“＜”）；
②在直线的右侧的函数图象上有两个不同的点，，且，则的值为________；
③若直线与此函数图象有三个相交，则的取值范围是________．
【答案】（1）；0；
（2）见详解； （3）①，；②；③
【解析】
【分析】本题考查一次函数的图象和性质，画出函数图象是解题的关键．
（1）选择对应的函数解析式，代入求值即可；
（2）描点连线即可；
（3）①把代入中，得，把代入中，得，然后比较即可；由（2）中的图象可知，当时，或或，当时，，即可比较；
②点，，在直线右则, 时，点，，关于对称，即可求解；
③直线分别过和时，求得对应的的值，结合函数图象，即可求解．
【小问1详解】
解：当时，代入得，，即；
当时，代入得，，即
故答案为：；0
【小问2详解】
解：
【小问3详解】
解：①把代入中．得
把代入中，得
∴
由（2）中的图象可知，当时，或或
当时，
∴
故答案为：