福建省厦门市湖里中学2024-2025学年八年级下学期期中考试 数学试题（含解析）

这是一份福建省厦门市湖里中学2024-2025学年八年级下学期期中考试 数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟
一、选择题（本大题共有10小题，每小题4分，共40分，每小题有四个选项，其中有且只有一个选项正确．）
1. 下列根式是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查最简二次根式的定义，熟练掌握最简二次根式需要满足的条件：①被开方数不含分母，②被开方数不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．
【详解】解：A、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、，不最简二次根式，故本选项符合题意；
C、是最简二次根式，故本选项符合题意；
D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：C．
2. 若二次根式有意义，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
∴；
故选A．
3. 下列式子中，y是x的正比例函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了正比例函数的定义，根据正比例函数的定义条件：k为常数且，自变量次数为1，判断各选项，即可得出答案．
【详解】解：A、不是正比例函数，故本选项不符合题意；
B、是正比例函数，故本选项符合题意；
C、不是正比例函数，故本选项不符合题意；
D、不是正比例函数，故本选项不符合题意．
故选：B．
4. 已知y关于x的函数关系式为，其中y随x的增大而增大，则m的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数的性质即可求解，掌握一次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：∵y随x的增大而增大，
∴，
∴，
故选：D．
5. 如图每个小正方形的边长均为1，其中到点P的距离为的点是（ ）

A. AB. BC. CD. D
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要查了勾股定理．根据勾股定理求出点A，B，C，D分别到的距离，即可求解．
【详解】解：根据题意得：点A到P的距离为2；
点B到P的距离为；
点C到P的距离为；
点D到P的距离为；
故选：D
6. 如图所示，下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查平行四边形判定，平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定逐一验证．
【详解】解：、对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定是平行四边形，故该选项不符合题意；
、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以判定是平行四边形，故该选项不符合题意；
、∵，，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．可以判定是平行四边形，故该选项不符合题意；
、∵,∴，属于一组对边平行，另一组对边相等，不能判定是平行四边形，故该选项符合题意；
故选：D．
7. 下列各曲线中哪些不是表示y是x的函数（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了函数的定义．根据函数是一一对应的关系，给自变量一个值，有且只有一个函数值与其对应，就是函数，如果不是，则不是函数．
【详解】解：根据题图可知，A、B、D三选项中，对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，y是x的函数；
C、对于x的值，存在y有两个值与之相对应，则y不是x的函数；
故选：C．
8. 如图，木制活动衣帽架由3个全等的菱形挂钩构成，在A、E、F、C、G、H处安装上、下两排挂钩，可以根据需要改变挂钩间的距离，并在B，M处固定．已知菱形的边长为，要使两排挂钩的距离（即）为，则之间的距离为（ ）
A. 36B. 60C. 72D. 96
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查菱形的性质、勾股定理，根据菱形的对角线互相垂直平分，可得，再用勾股定理解求出，即可求解．
【详解】解：如图，设交于点O，
∵四边形是菱形，
∴，，
∵菱形的边长为，
∴，
∴，
∴．
即之间距离为．
故选：C
9. 如图，，E为的中点，与相交于点F，，则的度数是（ ）
A. 56°B. 62°C. 63°D. 72°
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了直角三角形斜边中线性质、等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边中线的性质是解题的关键．
根据直角三角形斜边上中线的性质得，再根据等腰三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵，E为的中点，
∴和均为直角三角形，且点E是公共斜边的中点，
∴，
∴，
故选：A．
10. 如图，在菱形中，F为上一点，连接交于点E，若，则下列哪条线段等于线段的和（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】如图所示，连接，证明出，得到，然后推出，得到，进而求解即可．
【详解】如图所示，连接
∵在菱形中，
∴，，
又∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴等于线段的和．
故选：D．
【点睛】此题考查了菱形的性质，全等三角形的性质和判定，等角对等边，三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点．
二、填空题（本大题共有6小题，其中第11题每小题2分，其余每小题4分，共28分．）
11. （1）______；（2）________；（3）__________；（4）_______．
【答案】 ①. ②. ③. ④.
【解析】
【分析】本题考查二次根式的化简及运算．需要掌握以下知识点：将根号内因数分解为完全平方数与剩余数的乘积，开平方后简化；分母有理化的方法；二次根式乘除法的性质．注意化简时要确保结果不含分母中的根号且根号内不含完全平方因数．
【详解】解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
故答案为：；；；．
12. 小胡同学在学习了“数轴上表示无理数”的方法后，进行了练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作，使，再以O为圆心，的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，那么点P表示的数是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要查了实数与勾股定理．根据题意得：，，再由勾股定理求出的长，即可求解．
【详解】解：根据题意得：，，
∵，，
∴，
∴点P表示的数是．
故答案为：
13. 如图，是中位线，平分交于D，，则的长度为_________．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查三角形的中位线定理，等腰三角形的判定，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握这些基本知识．
根据三角形中位线定理得到，根据平行线的性质和角平分线的定义可得，从而证明，计算即可．
【详解】解：∵是的中位线，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：6
14. 如图，大正方形与小正方形的面积之差是45，点H在上，点I在上，则阴影部分的面积是________．
【答案】22.5
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算，设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，用含a、b的代数式先表示出两个正方形的面积差，再利用a、b表示出阴影三角形的面积，代入计算即可．
【详解】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，
∴，，
∵大正方形与小正方形的面积之差是45，
∴，
∴，
．
∴阴影部分的面积为22.5．
故答案为：22.5．
15. 漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用，小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位h（cm）是时间t（min）的一次函数，如下表是小明记录的部分数据，当时间t为8时，对应的高度h为___________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得，设，求得一次函数解析式，即可求解．
【详解】解：由题意可得，设，
将，代入可得：
解得，即
将代入可得，，
故答案为．
【点睛】此题考查了一次函数的应用，解题的关键是根据题意，求得一次函数解析式．
16. 如图，长方形纸片中，，将纸片折叠，使顶点B落在E点处，折痕的一端G点在边上，当折痕的另一端F在边上，B点的对应点E在长方形内部，E到的距离为，且时，则的长为_______．
【答案】##
【解析】
【分析】与相交于点K，过点E作分别交于M、N，则，然后求出，在中，利用勾股定理列式求出，再根据，利用相似三角形对应边成比例列式求出，再求出，然后根据，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．
【详解】解：设与相交于点K，过点E作分别交于M、N，则，
∵E到的距离为，
∴，，
由折叠的性质得：，
在中，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，解得，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，熟记翻折前后两个图形能够重合得到相等的线段和角是解题的关键．
三、解答题（本大题共有9小题，共82分．）
17. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握实数的运算法则以及去绝对值的方法是解题的关键．本题通过去括号、化简绝对值以及合并同类项来完成．需要注意绝对值的符号处理和实数的化简规则．
【详解】解：
．
18. 如图，平行四边形中，．求证：四边形是矩形．
【答案】见详解
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定、平行四边形的性质以及矩形的判定．矩形的判定方法：1．一个角是直角的平行四边形是矩形；2．对角线相等的平行四边形是矩形；3．有三个角是直角的四边形是矩形；4．对角线相等且互相平分的四边形是矩形．
根据平行四边形的性质可得，根据可得，则，根据对角线相等的平行四边形是矩形就可解答．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形．
19. 已知小李家、体育场、文具店在同一直线上，下面的图像反映的过程是：小李从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家．图中x表示时间，y表示小李离家的距离．根据图象解答下列问题：
（1）填表：
（2）填空：
①体育场到文具店的距离为_____．
②小李在文具店停留了______．
③小李从文具店回家的平均速度为________．
④当小李离家的距离为时，他离开家的时间为______．
【答案】（1）见解析 （2）①1；②20；③；④12或
【解析】
【分析】本题考查从函数图象获取信息，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
（1）直接根据图象完成表格，即可；
（2）①直接观察图象，即可；②直接观察图象，即可；③直接观察图象，即可；④直接观察图象，即可．
【小问1详解】
解：小李从家到体育场的速度为，
∴当小李离家的时间为时，他离开家的距离为，
根据图象，完成表格，如下：
【小问2详解】
解：①根据题意得：体育场到文具店的距离为；
故答案为：1
②根据题意得：小李在文具店停留了；
故答案为：20
③根据题意得：小李从文具店回家的平均速度为；
故答案为：
④根据题意得：小李从家到体育场的速度为，
∴当小李离家的距离为时，他离开家的时间为；
体育场到文具店的速度为，
∴当小李离家的距离为时，他离开家的时间为；
综上所述，当小李离家的距离为时，他离开家的时间为或．
故答案为：12或
20. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查的是分式的化简求值，分母有理化，熟记运算法则是解本题的关键；先计算括号内的分式的减法运算，再计算除法运算得到化简的结果，再把代入计算即可．
【详解】解：
，
当时，
原式．
21. 一次函数图像经过和两点，
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）请写出该函数图像与x轴交点B的坐标_______；并画出函数图像；
（3）请判断点是否在该函数图像上．
【答案】（1）
（2），见解析
（3）不在
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的综合应用，待定系数法求一次函数解析式，画一次函数的图象，求一次函数与坐标轴的交点坐标．
（1）待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）令，求出，即可得函数图像与x轴的交点坐标，再描点画出一次函数图象即可；
（3）将点代入一次函数解析式，即可得出结论．
【小问1详解】
解：设这个一次函数的解析式为，
将和代入，得
，
解得，
∴这个一次函数的解析式为；
【小问2详解】
解：令，则，
解得，
∴该函数图像与x轴交点B的坐标为，
画出函数图像如下：
【小问3详解】
解：将代入，得
，
∵，
∴点不在该函数图像上．
22. 在物理学中，速度具有大小和方向．如图1，点O受到两个速度，的影响，大小方向用有向线段，表示，以线段为邻边作平行四边形，则对角线的大小和方向表示合速度（即实际速度）v的大小和方向，这种方法称为平行四边形法则．下面利用平行四边形法则解决实际问题．
（1）已知小河的水流速度为，小船在静水中的航行速度也为3km/h．如图2，当小船朝着垂直河岸方向航行时，根据平行四边形法则可知，小船的实际速度方向为北偏东______°，大小为______km/h．
（2）已知小河的水流速度仍为3km/h．如图3，若要使小船的实际速度方向为垂直于河岸方向，大小为km/h，则小船应该朝哪个方向航行，速度大小为多少？
【答案】（1）；
（2）小船在静水中的航行的方向为北偏西，航行速度为
【解析】
【分析】（1）设小船的实际速度方向为北偏东角度，根据锐角三角函数，得出，再根据特殊角的三角函数值，得出，进而得出小船的实际速度方向；再根据勾股定理，计算得出小船的实际速度大小；
（2）画出图形，根据勾股定理，计算得出小船在静水中的航行速度；再设小船在静水中的航行的方向为北偏西角度，根据锐角三角函数，得出，再根据特殊角的三角函数值，得出，进而得出小船的实际速度方向．
【小问1详解】
解：设小船的实际速度方向为北偏东角度，
∵小河的水流速度为，小船在静水中的航行速度也为3km/h，
∴，
∴，
∴小船的实际速度方向为北偏东；
∵小河的水流速度为，小船在静水中的航行速度也为，
∴小船的实际速度为：；
故答案为：；
【小问2详解】
解：如图，
∵小河的水流速度仍为3km/h，小船的实际速度为km/h，
小船在静水中的航行速度为：；
设小船在静水中的航行的方向为北偏西角度，
∵小河的水流速度仍为3km/h，小船的实际速度为km/h，
∴，
∴，
∴小船在静水中的航行的方向为北偏西，
综上可得：小船在静水中的航行的方向为北偏西，航行速度为．
【点睛】本题考查了锐角三角函数、勾股定理，解本题的关键在理解平行四边形法则．
23. 观察下面算式：
第一个算式：
第二个算式：
第三个算式：
第n个算式：………………
（1）根据上述特征，请再写出第五个算式______________
（2）你发现上述等式有什么规律？请用恰当的方式描述这个规律；
（3）请你用含n式子表示上述规律，并证明这个规律．
【答案】（1）；
（2）见解析； （3），证明见解析．
【解析】
【分析】本题考查二次根式的运算以及数字的变化规律，通过观察找到各式子分母分子之间的规律是解题的关键．
（1）通过观察所给的式子，直接分析即可求解；
（2）通过观察算式的左边和右边的变化量和不变化量可以得出规律；
（3）通过观察算式的规律可以直接写出用含n式子表示上述规律，并利用二次根式的计算进行计算证明．
【小问1详解】
解：由题意可得第五个算式：；
故答案为：；
【小问2详解】
解：通过观察可以得出规律：等号左边的被开方数都是这个算式的序号大的数减去的差再乘以加上比这个算式的序号大的数的倒数，等号右边是这个算式的序号大的数分之这个算式的序号大的数乘以比这个算式的序号大的数的算术平方根；
【小问3详解】
解：第个等式：，
证明：是正整数，
．
24. 在矩形中，F是外角平分线上一点，且
（1）（尺规作图）请在线段上找一点E，使得．（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）若，试探究与的数量关系．
【答案】（1）见解析；
（2），理由见解析．
【解析】
【分析】本题考查了矩形性质以及全等三角形的判定与性质，还涉及到垂直平分线的作法，熟练掌握相关概念是解题的关键．
（1）直接利用垂直平分线的作法进行作图即可；
（2）过作交于点，先证明，进而即可等量代换得出与的数量关系．
【小问1详解】
解：点E如图所示：
【小问2详解】
解：如图，过作交于点，
，
，
，
是矩形,
，
在和中，
，
，
，
平分，
，
，
，
．
25. 如图，四边形是正方形，点E，F分别在边上，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，点O为正方形的对角线交点，M，N分别在边上，满足，连接；求的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，连结，与交于点P，若P为中点，判断线段的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3），理由见解析．
【解析】
【分析】（1）利用证明，即可证得；
（2）连接，由，可得，，再证得，可得，，进而证得是等腰直角三角形，得出；
（3）连接，由是的中位线，可得，再证得，可得，再利用勾股定理和等腰直角三角形性质即可得出答案．
【小问1详解】
证明：如图1：
∵四边形是正方形，
， ，
，
，
，
，
在和中，
，
，
；
【小问2详解】
解：如图2，连接，
∵点为正方形的对角线交点，
，，，
由（1）知：，
∴，
∴，即，
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴是等腰直角三角形，
∴；
【小问3详解】
解：，理由如下：
连接，如图：
∵点为正方形的对角线交点，
∴点是的中点，
∵点是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
，即，
∵四边形是正方形，
，
在中，，
，即．
【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，掌握相关知识是解题的关键．
t（min）
…
1
2
3
…
h（cm）
…
2.4
2.8
3.2
…
离开家的时间/min
3
6
15
30
65
离家的记录/km
____
____
____
离开家的时间/min
3
6
15
30
65
离家的记录/km
1