福建省泉州市晋江市第一中学2024-2025学年八年级下学期期中考试 数学试题（含解析）

这是一份福建省泉州市晋江市第一中学2024-2025学年八年级下学期期中考试 数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（满分150分 考试时间：120分钟）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，根据分式的分母不等于零，求出x的取值范围即可．
【详解】解：∵分式有意义，
∴，
∴，
故选：C．
2. 小米 汽车采用0.0000000048米制程技术打造的全新旗舰车规级芯片—高通8295芯片，其算力、性能、渲染性能大幅提升．用科学记数法表示该制程技术为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，熟知概念是解题的关键．根据用科学记数法可以把一个绝对值小于1的非零数表示成，其中，n是一个负整数，n的绝对值等于原数中的第一个非零数字前面所有零的个数（包括小数点前面的那个零），即可解答．
【详解】解：，
故选：B．
3. 关于一次函数，下列说法不正确的是（ ）
A. 图象经过点B. 图象与轴交于点
C. 图象不经过第二象限D. 函数值随的增大而增大
【答案】B
【解析】
【分析】根据一次函数的图像与性质即可求解
【详解】A．图象经过点，正确
B．图象与x轴交于点是错误的，因为与 x轴交于点
C． 图象不经过第二象限，因为图象经过第一、二、三象限，正确
D． 函数值随的增大而增大，正确
故选B
【点睛】此题主要考查一次函数的图像与性质，解题的关键是熟知一次函数的性质．
4. 若点与点关于y轴对称，则点所在的象限是（ ）
A 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”，求出a、b的值，即可确定点M的坐标，进而得到结论．
【详解】解：点与点关于y轴对称，
∴，，
∴在第一象限，
故选：A．
【点睛】本题考查了关于y轴对称的点的坐标特征，判断点所在的象限，关于y轴对称的点的点的纵坐标相同，横坐标互为相反数．
5. 已知点，，在函数的图象上，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查的是反比例函数图象的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据，得出在每个象限内，y随x的增大而增大，根据，得出，再进行比较即可．
【详解】解：∵，
∴在每个象限内，y随x的增大而增大，
∵点，，在函数的图象上，且，
∴，
即，
故选：C．
6. 如图所示，满足函数和的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由的取值确定函数所在的象限．分别根据一次函数与反比例函数图象的特点解答即可．
【详解】解：，
函数过点，
∴直线经过点，故不合题意；
当时，函数过第一、三、四象限，函数在一、三象限；
当时，函数过第一、二、四象限，函数在二、四象限；故A不符合题意，符合题意；
故选：．
7. A、B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用，根据题意，先把逆流速度和顺流速度表达出来，再根据共用去9小时，列出方程解答即可．
【详解】根据题意，得，
故选A．
8. 若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是（ ）
A. B. 且C. D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的方程的解，解出分式方程，根据解是非负数判断范围是解题的关键，别忘记分式的分母不为零．解出分式方程，根据解是非负数求出m的取值范围，再根据时分式方程的增根，求出此时m的值，即可得到答案．
【详解】解：去分母得，，
解得，，
∵分式方程的解为非负数，
∴，
∴，
又∵，
∴，，
∴m的取值范围是且，
故选：D．
9. 如图，将沿对角线翻折，点落在点处，交于点，若，，则度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，三角形内角和定理，找出角度之间的数量关系是解题关键．由折叠的性质可知，，根据平行四边形的性质，得到，进而得出，再结合三角形内角和定理，即可求出的度数．
【详解】解：由折叠的性质可知，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
10. 如图是反比例函数的部分图象，点D在函数图象上，点A是y轴正半轴上的一个动点，线段交函数图象于点C，若，的面积是8，则k为（ ）
A. B. 8C. D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查根据图形面积求值，相似三角形的判定和性质，作，，垂足分别为E，F，则，则，推出，设，则，由，列式计算即可求解．
【详解】解：作，，垂足分别为E，F，则，

∴，
∴，
∵，
∴，
∵点C，点D在函数图象上，
设，
∴，且，
∴，
∴，
解得；
故选A．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 当______时，分式的值为零．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．根据分式值为零的条件可得且，再解即可．
【详解】解：由题意得：且，
解得：．
故答案为：．
12. 已知函数是正比例函数，那么的值是___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，正确把握定义是解题关键．根据正比例函数的定义，可得，且，由此即可求出的值．
【详解】解：函数是正比例函数，
，且，
解得：，
故答案为：．
13. 如图，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一次函数与不等式，把代入，求出的值，再利用图象法解不等式即可．
【详解】解：把代入，得：，
∴，
由图可知：的解集为：；
故答案为：．
14. 点P在第四象限，且到x轴、y轴距离分别为4、3．则点P的坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了象限内点的坐标特征，点到坐标轴的距离，根据点P在第四象限，得出横坐标，纵坐标，再根据到x轴、y轴的距离分别为4、3，得出点P的坐标即可．
【详解】解：设点P的坐标为，
∵点P在第四象限，
∴，，
∵点P到x轴、y轴的距离分别为4、3，
∴点P的坐标为．
故答案为：．
15. 若分式方程无解，则______．
【答案】或2
【解析】
【分析】先把k看作已知，解分式方程得出x与k的关系，再根据分式方程无解，进一步即可求出k的值．
【详解】解：在方程的两边同时乘以x－1，得 ，
解得．
∴当k=2时，上述一元一次方程，即原分式方程无解，
当时，有，
∵分式方程无解，
∴，解得，
故答案为：或2．
【点睛】本题考查了分式方程无解问题，正确理解分式方程无解与其增根的关系是解题的关键．
16. 如图①，已知点，，的边与轴交于点，且为的中点，双曲线经过两点．点在双曲线上，点在轴上，若以点为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为______．
【答案】；；
【解析】
【分析】先求出反比例函数解析式，分类讨论，①当为边时：第一种情况：如图所示，若为平行四边形，过点作轴于点；第二种情况：如图2所示，若为平行四边形；②当为对角线时：如图3所示；根据平行四边形的性质，全等三角形的性质等知识即可求解．
【详解】解：∵，，
∵为中点，且点的横坐标为，设点的横坐标为，
∴，
∴，设，
又∵四边形是平行四边形，且，
如图所示，过点作轴于点，过点作于点，

∴轴，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵点，都在双曲线的图像上，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵在双曲线上，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
∵点在双曲线上，点在轴上，，，
∴设，，
①当为边时：
第一种情况：如图所示，若为平行四边形，过点作轴于点，

∵在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴点的横坐标为，
∴，，
∴；
第二种情况：如图所示，若为平行四边形，

∵点在轴上，且，
∴轴，
∴点的横坐标相同，即，
此时，
∴，
∵，
∴；
②当为对角线时：如图所示，

∵，且，
∴点的横坐标相同，即，
∴，
∴，
∵，
∴；
综上所述点Q的坐标为：；；．
【点睛】本题主要考查反比例函数与几何图形变换的综合，平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，掌握待定系数法求反比例函数解析式，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识是解题的关键．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查零指数幂，负整数指数幂，先化简绝对值，进行乘方，零指数幂和负整数指数幂的运算，再进行乘法运算，最后算加减即可．
【详解】解：原式
．
18. 解方程：．
【答案】无解
【解析】
【分析】本题考查解分式方程，去分母，将方程转化为整式方程，求解后，进行检验即可．
【详解】解：去分母，得：，
整理，得：，
解得：；
检验：当时，，
∴是原方程的增根，舍去；
∴原方程无解．
19. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，再代入计算即可，熟练掌握分式的混合运算法则是解此题的关键．
【详解】解：
，
将代入得，原式．
20. 如图，在中，O为的中点，过点O且分别交、于点E、F．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解答本题的关键．根据题意：为的中点，四边形是平行四边形，得到，，由此通过证明，得出即可．
【详解】证明：∵为的中点，
，
四边形是平行四边形，
，
，
在与中，
，
，
∴．
21. 已知一次函数，
（1）若函数图象平行于直线，求的值；
（2）该函数图象不经过第二象限，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据平行直线的解析式的k值相等列式计算即可得解；
（2）根据图象不在第二象限，，列出不等式组求解即可．
【小问1详解】
解：∵函数的图象平行于直线，
∴，
解得：；
【小问2详解】
解：∵函数的图象不过第二象限，
∴，
由①得：，
由②得，，
∴．
【点睛】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线所在的位置与k、b的符号有直接的关系；时，直线必经过一、三象限；时，直线必经过二、四象限；时，直线与y轴正半轴相交；时，直线过原点；时，直线与y轴负半轴相交．
22. 如图，函数的图象与函数的图象交于点，.
(1)求函数的表达式；
(2)观察图象，直接写出不等式的解集；
(3)若点是轴上的动点，当周长最小时，求点的坐标.
【答案】(1)；(2)或；(3)点的坐标为.
【解析】
【分析】（1）先把A（1，a），B（b，2）分别代入y=-2x+8中求出a、b的值得到A（1，6），B（3，2），然后把A点坐标代入中得到k的值，从而得到反比例函数解析式；
（2）写出一次函数图象在反比例函数图像上方所对应的自变量的范围即可；
（3）作点A关于y轴的对称点A′，连接BA′交y轴于P，如图，则A′（-1，6），根据两点之间线段最短判断此时PA+PB的值最小，△ABP周长最小，然后利用待定系数法求出直线A′B的解析式，从而得到点P的坐标．
【详解】解：(1)把，分别代入得，
，解得，
∴，；
把代入得，
∴反比例函数解析式为；
(2)不等式的解集为或；
(3)作点关于轴的对称点，连接交轴于，如图，则，
∵，
∴此时值最小，周长最小，
设直线的解析式为，
把，代入得，解得，
∴直线的解析式为，
∴点的坐标为.
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式．
23. 2025年春晚舞台上，字树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划购买两种机器人进行销售．已知每个种机器人比种机器人贵5万元，用1200万元购进种机器人的数量是用650万元购进种机器人数量的2倍．
（1）求购买一个种机器人、一个种机器人各需多少万元？
（2）一段时间后，该公司准备用不超过6200万元再购进第二批、两种机器人共100个，且种机器人数量不超过种机器人数量的3倍．据市场销售分析，当种机器人提价种机器售价为购买价的倍时，销售状况最好，若按此销售方案将第二批机器人全部销售完，怎样安排购进方案可以使获得的利润最大，求出最大利润及对应的购进方案．
【答案】（1）种机器人的价格为万元，种机器人的价格为万元．
（2）购进了种机器人个，种机器人个；最大利润万元
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，一次函数最值问题等知识点，理解题意合理列出方程是解题的关键．
（1）设种机器人的价格为万元，则种机器人的价格为万元，利用1200万元购进种机器人的数量是用650万元购进种机器人数量的2倍的关系列出分式方程求解即可；
（2）先运算出和的售价，设购买的数量为个，则的数量为个，列出不等式方程组求出的取值范围，再通过利润的表达式分析出方案即可．
【小问1详解】
解：设种机器人的价格为万元，则种机器人的价格为万元，
由题意可得：
解得：，
经检验，是原方程的解，
∴种机器人的价格为（万），
答：种机器人的价格为万元，种机器人的价格为万元．
【小问2详解】
解：由题意可得：的售价为：万元，的售价为：万元，
设购买的数量为个，则的数量为个，
∴由题意可得：，
解得：，
∴，
∵利润，
∵
∴当越小时，利润最大，
把代入可得：，
∴最大利润为：万，此时购进了种机器人个，种机器人个．
答：安排购进了种机器人个，种机器人个时最大利润为万元．
24. 在实验课上，小明做了一个试验．如图，在仪器左边托盘A（固定）中放置一个物体，在右边托盘B（可左右移动）中放置一个可以装水的容器，容器的质量为．在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘B与点C的距离x（），记录容器中加入的水的质量，得到下表：
把上表中的x与各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图所示的关于x的函数图象．

（1）请在该平面直角坐标系中作出关于x的函数图象；
（2）观察函数图象，并结合表中的数据回答下列问题：
①直接写出关于x的函数表达式；
②当时，随x的增大而_______（填“增大”或“减小”），随x的增大而_______（填“增大”或“减小”）
③的图象与的图象有什么位置关系？
④求关于x的函数表达式；
（3）若在容器中加入的水的质量（g）满足，求托盘B与点C的距离x的取值范围．
【答案】（1）见解析 （2）①；②减小，减小；③的图象向下平移5个单位长度得到的图象；④
（3）
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的应用，解一元一次不等式组，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）用平滑的曲线将这些点连接起来即可；
（2）①根据表格数据，直接利用待定系数法求解即可；
②观察图象即可作答；
③观图象即可作答；
④根据表格中数据的变化规律作答即可；
（3）将的函数表达式代入，解不等式组求解即可．
小问1详解】
关于x的函数图象如图所示：
【小问2详解】
①设关于x的函数表达式为，
把代入，得，解得，
∴关于x的函数表达式为；
②观察图象可知，当时，随x的增大而减小，随x的增大而减小，
故答案为：减小，减小；
③由图象可知，将的图象向下平移得到的图象；
④由题意得，关于x的函数表达式为，
∴关于x的函数表达式为；
【小问3详解】
当，即，
解得，
∴盘B与点C的距离x的取值范围为．
25. 阅读材料，若点M到直线a，b的距离相等，则称点M为直线a，b的关联点．
例如：如图1，在平面直角坐标系中，点到x轴和y轴的距离相等，故是x轴和y轴的关联点．
在平面直角坐标系中，已知，直线：（）交x轴于点，交y轴于点C，点D为x轴上一个点；
（1）直线经过点A，
①_________，若在直线上，则比较t与6的大小：t________6；
②当点D坐标为时，点B恰好为、的关联点，求直线的解析式；
（2）若（），D为中点，点P为线段上一点，且为x轴和y轴的关联点，将绕点P逆时针旋转至，
①求证：点E为直线：与直线：的关联点；
②对于直线：上任意两点M、N，始终有，直接写出m的值．
【答案】（1）①，；②
（2）①见解析；②或
【解析】
【分析】（1）①把代入，即可求得m，把代入，可得，再由，即可求得答案；
②利用勾股定理可得，作于点H，根据新定义可得，利用三角形面积求得，再运用待定系数法即可求得答案；
（2）①根据中点坐标可得，将代入：中，可求得k的值，进而得出点P的坐标，过点P作轴于点M，过点E作交的延长线于点N，再证得，求得点E的坐标，得出，连接，则，根据新定义即可证得结论；
②过点E作点，轴交于点，点，过点A作点，，再由得到，即可证明，得到，即可列方程求解即可．
【小问1详解】
解：①把代入，得，
解得：，
∴直线：（），
把代入，得，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：，；
②由①得：，
则直线的解析式为，
∵
在中，，
作于点H，
∵点B恰好为、的关联点，
则
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
将代入，得：，
∴直线的解析式为；
【小问2详解】
解：①∵，
∴，
∵D为中点，
∴，
将代入：中，得：，
∴，
∴直线：与轴的交点，
∴，
∴，
∴，
∵点P为线段上一点，且为x轴和y轴的关联点，
∴设，
∴，
∴
∴，
如图，过点P作轴于点M，过点E作交的延长线于点N，连接，
∴，，
∵将绕点P逆时针旋转至，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴平分直线：与直线：的夹角，
∴E到直线：与直线：的距离相等；
∴E为直线：与直线：的关联点；
②过点E作点，轴交于点，点，过点A作点，则，
∵，当时，，
∴，
∵对于直线：上任意两点M、N，始终有，
∴点、到的距离相等，即，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
解得或．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积，旋转变换的性质，新定义等．
托盘B与点C的距离x/
30
25
20
15
10
容器与水的总质量/g
10
12
15
20
30
加入的水的质量/g
5
7
10
15
25