安徽省芜湖市镜湖区芜湖市第二十九中学2024-2025学年八年级下学期4月期中 数学试题（含解析）

这是一份安徽省芜湖市镜湖区芜湖市第二十九中学2024-2025学年八年级下学期4月期中 数学试题（含解析），共14页。
2、请务必“答题卷”上答题，在“试题卷”答题是无效的；
3、考试结束后，请将“答题卷”交回．
一、单项选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）
1. 下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（ ）
A. 1，，B. 3，4，5C. 2，2，3D. 5，12，13
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，掌握“三角形的三边为，，，若，则三角形是直角三角形．”是解题的关键．
【详解】解：A.，能构成直角三角形，故不符合题意；
B.，能构成直角三角形，故不符合题意；
C.，不能构成直角三角形，故符合题意；
D.，能构成直角三角形，故不符合题意；
故选：C．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式的性质及运算法则逐项计算即可．
【详解】解：A．，不合题意；
B．，不合题意；
C．，不合题意；.
D．，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式的性质及乘法法则是解题的关键．
3. 如果最简二次根式和能合并，则x的值为（ ）
A. B. C. 2D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】根据最简根式能合并，那么被开方数相同，据此求解即可．
【详解】解：∵最简二次根式和能合并，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查了同类二次根式，解一元一次方程，熟知同类二次根式的定义是解题的关键．
4. 如图，点O在数轴上表示的数为0，在数轴上取一点A，使，过点A作直线，在直线l上取点B，使，以点O为圆心，长为半径作弧，交数轴正半轴于点C，则点C表示的数是（ ）
A. B. C. 7D. 29
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理与数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
根据题意利用勾股定理得出的值，即可得点C表示的数．
【详解】解：由在数轴上点A表示的数为5，，，以原点O为圆心，以长为半径作弧，
得，
得点C表示的数为,
故选：B．
5. 下列说法不能判定四边形是矩形的是（ ）
A. 有一个角为90°的平行四边形B. 四个角都相等的四边形
C. 对角线相等的平行四边形D. 对角线互相平分的四边形
【答案】D
【解析】
【分析】根据矩形的判定方法逐项分析即可.
【详解】A. 有一个角为90°的平行四边形，正确；
B. 四个角都相等的四边形，正确；
C. 对角线相等的平行四边形，正确；
D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是矩形，故不正确；
故选D.
【点睛】本题考查了矩形的判定方法：①有一个角的直角的平行四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有三个角是直角的四边形是矩形；④对角线相等且互相平分的四边形是矩形.
6. 如图，中，、为对角线，，边上的高为4，则阴影部分的面积为（ ）

A. 3B. 6C. 12D. 24
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质可得出阴影部分的面积为平行四边形面积的一半，再由平行四边形的面积得出答案即可．
【详解】解：四边形为平行四边形，
，，，
，又，
，
同理：，，
，
．
故先C．
【点睛】本题考查了平行四边形的面积和性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质：对角线互相平分．
7. 在菱形中如图，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，等边对等角的性质，三角形内角和定理，掌握菱形的性质是解题的关键．
根据菱形的性质可得，由等边对等角可得，由三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
在中，
∴，
故选：B ．
8. 如图，在中，以为圆心，长为半径画弧交于．分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点作射线交于点若则的长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】如下图，根据作图可得AE与BF相互垂直平分，在Rt△ABO中，利用勾股定理可求得AO的长，从而得出AE的长．
【详解】如下图，AE与BF交于点O，连接EF

由作图可知，AE与BF相互垂直平分
∵BF=6，∴BO=3
∵AB=5
∴在Rt△ABO中，AO=4
∴AE=8
故选：C．
【点睛】本题考查垂直平分线的画法和勾股定理，解题关键是根据作图，判断出AE与BF相互垂直平分．
9. 如图，在菱形纸片ABCD中，AB=2，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，则EF的长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】连接BE，BD，如图,利用菱形的性质得△BDC为等边三角形,在Rt△BCE中计算出BE=,接着证明BE⊥AB, 利用折叠的性质得到EF=AF.,设EF=AF=x, FG垂直平分AE,所以在Rt△BEF中利用勾股定理列方程求解即可.
【详解】解: 连接BE，BD，如图,
∵四边形ABCD为菱形，∠A=60°,
∴△BDC为等边三角形， ∠C=∠A=60°,
∴∠CBE=90°-60°=30°.
∵E点为CD的中点，
∴CE=DE=1,BE⊥CD.
在Rt△BCE中，
BC=2CE=2，
BE= .
∵AB∥CD,
∴BE⊥AB.
∵菱形纸片翻折,使点A落在CD的中点E处,
∴EF=AF.
设EF=AF=x,则BF=2-x,
在Rt△BEF中,
,
解得 .
故选A.
点睛:本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，含30°的直角三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，求出BE的长并能利用Rt△BEF的三条边列方程是解答本题的关键.
10. 如图，在一张矩形纸片中，，，点，分别在，上，将沿直线折叠，点落在上的一点处，点落在点处，有以下四个结论：
①四边形是菱形；②平分；③线段的取值范围为；④当点与点重合时，．
其中正确的结论是（ ）
A. ①②③④B. ①④C. ①②④D. ①③④
【答案】D
【解析】
【分析】先判断出四边形是平行四边形，再根据翻折的性质可得，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出①正确；由菱形的性质可得，由点C落在上的一点H处，不一定等于30°，可判断②；当点H与点A重合时，有最小值，由勾股定理可求的最小值，若与重合时，有最大值，由正方形的性质可求的最大值，可判断③；如图，过点H作于M，由勾股定理可求的长，可判断④；即可求解．
【详解】解：由矩形的性质可得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，故①正确；
∵四边形是菱形，
∴，
若平分，
∴，
∴，
∵点C落在上的一点H处，
∴不一定等于30°
∴不一定平分，故②错误；
当点H与点A重合时，有最小值，
设，则，
在中，，
即，
解得，
∴，
若落在上时，有最大值，
∴四边形是正方形，
∴，
∴最大值为4，
∴，故③正确；
如图，过点F作于M，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵四边形菱形，
∴，
∴，
∴，故④正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了翻折变换性质，菱形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理的应用，难点在于灵活运用菱形的判定与性质与勾股定理等其它知识有机结合．
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
11. 若代数式无意义，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了二次根式和分式无意义的条件，根据二次根式和分式无意义的条件即可求出的范围，解题的关键是熟练掌握二次根式和分式无意义的条件．
【详解】解：∵代数式无意义，
∴，解得：，
故答案为：．
12. 如图，的顶点的坐标分别是．则顶点的坐标是_________．

【答案】
【解析】
【分析】根据“平行四边形的对边平行且相等的性质”得到点的纵坐标与点的纵坐标相等，且，即可得到结果．
【详解】解：在中，，，
，
，
点的纵坐标与点的纵坐标相等，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和坐标与图形的性质，此题充分利用了“平行四边形的对边相等且平行”的性质．
13. 如图，中，，，BD是的平分线，,______________．
【答案】
【解析】
【分析】利用已知条件求出，，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵，，BD是的平分线，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查角平分线，等角对等边，勾股定理，所对的直角边等于斜边的一半，解题的关键是求出，，再利用勾股定理求解．
14. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝2，E是AB边上一点，AE＝2，F是直线CD上一动点，将沿直线EF折叠，点A的对应点为点，当点E，，C三点在一条直线上时，DF的长为_____．
【答案】6﹣2或6+2
【解析】
【分析】利用勾股定理求出CE，再证明CF=CE即可解决问题，（注意有两种情形）．
【详解】解：如图，由翻折可知，∠FEA＝∠FEA′，
∵CD∥AB，
∴∠CFE＝∠AEF，
∴∠CFE＝∠CEF，
∴CE＝CF，
在Rt△BCE中，EC＝ ，
∴CF＝CE＝2，
∵AB＝CD＝6，
∴DF＝CD﹣CF＝6﹣2，
当点F在DC的延长线上时，易知EF⊥EF′，CF＝CF′＝2，
∴DF＝CD+CF′＝6+2
故答案为：6﹣2或6+2．
【点睛】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，本题的突破点是证明△CFE的等腰三角形，属于中考常考题型．
三、计算题（本大题共2小题，共16分）
15. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）15 （2）
【解析】
【分析】（1）根据二次根式乘除运算法则进行计算即可；
（2）先根据二次根式性质进行化简，然后再按照二次根式加减运算法则进行计算即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算．
四、解答题（本题共7小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 已知，，求下列各式的值：
（1）．
（2）．
【答案】（1）；（2）37．
【解析】
【分析】（1）先利用分母有理化，把，化简，再利用平方差公式进行计算，即可求解；
（2）先求出，，再利用完全平方公式，即可求解．
【详解】（1）∵，，
∴=；
（2）由（1）得：，，
∴
．
【点睛】本题主要考查二次根式混合运算，熟练掌握分母有理化，平方差公式和完全平方公式，是解题的关键．
17. 如图，的对角线，相交于点，，是上的两个点，并且，求证：四边形是平行四边形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，根据平行四边形对角线互相平分得到，再证明，则可由对角线互相平分的四边形是平行四边形证明结论．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，即，
∴四边形是平行四边形．
18. 已知4x2+y2 -4x-6y+10=0，求的值.
【答案】
【解析】
【分析】先求出x、y的值，然后化简二次根式，合并同类二次根式，最后把x、y的值代入即可．
【详解】解：，
∴，
∴2x-1=0，y-3=0，
∴x=，y=3．
原式==
当x=，y=3时，
原式==．
19. 如图，平行四边形中，P是边上的一点（不与点A，B重合），，过点P作，交于点Q，连接．
（1）若，求证：四边形是矩形；
（2）在（1）的条件下，当，时，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）的长是
【解析】
【分析】本题考查矩形判定及性质，全等三角形判定及性质，勾股定理等．
（1）根据题意得，继而得，即可得到本题答案；
（2）利用矩形性质可知，再判定，利用勾股定理即可得到本题答案．
【小问1详解】
解：证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴平行四边形是矩形；
【小问2详解】
解：∵四边形是矩形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得：，
∴的长是．
20. 小芳在解决问题：已知a＝，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解的：
a＝＝＝2﹣，
∴a＝2﹣，
∴(a﹣2)2＝3，a2﹣4a+4＝3，
∴a2﹣4a＝﹣1，
∴2a2﹣8a+1＝2(a2﹣4a)+1＝2×(﹣1)+1＝﹣1
请你根据小芳的分析过程，解决如下问题：
（1）计算：．
（2）若．
①求4a2﹣8a﹣1的值；
②求3a3﹣12a2+9a﹣12值．
【答案】（1）
（2）①3；②﹣18
【解析】
【分析】（1）原式各项分母有理化，计算即可求出值；
（2）各式变形后，将a的值代入计算即可求出值．
【小问1详解】
解：
=（-1）+（-）+（-）+…+（-）
=-1；
【小问2详解】
解：①∵a=+1，
∴a−1=，
∴(a−1)2=2，
∴a2−2a=1，
∴4a2﹣8a﹣1=4（a2﹣2a）﹣1=4×1-1=3；
②∵a2−2a=1，
∴3a3﹣12a2+9a﹣12
=3a（a2﹣2a）-6a2+9a-12
=3a-6a2+9a-12
=-6（a2﹣2a）-12
=﹣18．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，正确读懂例题，对根式进行化简是关键．
21. 如图，在中，，，点为直线上一点点不与、重合，将绕点逆时针旋转，得到线段，连接．
（1）观察猜想：
如图，当点在线段上时，连接，与的位置关系为：______；
（2）数学验证：
如图，当点在延长线上时，与有怎样的位置关系？说明理由；
（3）拓展延伸：
如图，当点在线段的延长线上时，延长交于点，作于，于，若，，则点到的距离为______．
【答案】（1），理由见解析
（2），理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）先由等腰直角三角形的性质得到，，再证明得到，进而得到，即．
（2）仿照（1）求解即可；
（3）如图中，作于，于．证明，推出，则，求出，，，，再证明，得到，利用勾股定理求出，利用面积法即可得到答案．
【小问1详解】
解：，理由如下：
，，
，，
在和中，
，
，
，
，
即．
【小问2详解】
解：，理由如下：
，，
，，
，
在和中，
，
，
，
，即．
【小问3详解】
解：如图中，∵于，于．
，，
，，
在和中，
，
，
，
，即，
，
，，，，
，，，
，
，
在中，，
，
，
．
故答案为∶．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
22. 【理解定义】一组对边相等且垂直的四边形叫等垂四边形．如图1，四边形中；，，四边形ABCD即为等垂四边形，其中相等的边称为腰，另两边称为底．
（1）【性质初探】等垂四边形两个钝角的度数和为 ；
（2）【拓展研究】如图2，M，N分别为等垂四边形的底的中点，试探索与的数量关系，小坤的想法是连接一个中点与四边形对边的一个顶点，得到一条线段，再倍长这条线段，请按此方法求出与的数量关系；
（3）【实践应用】如图3，直线，是两条相互垂直的公路，利用三段围栏，，靠路边按如图方式围成一块四边形种植园，第四条边做成一条隔离带，已知米，米，米，此隔离带最长为多少米？
【答案】（1）
（2）
（3）隔离带最长为650米
【解析】
【分析】（1）延长与延长线交于点P，则，可以得到，再由，即可得到；
（2）延长交延长线与P，交延长线与Q，延长线与延长线交于点F，连接并延长至点，使，连接，，证明，根据新定义推出，，勾股定理求出，三角形的中位线定理，得到，即可得出结论；
（3），取的中点M，N，连接，连接并延长至点，使，连接，设直线与直线交于点P，同法（2）可得米，勾股定理求出的长，中位线求出的长，斜边上的中线求出的长，得到，根据，进行求解即可．
【小问1详解】
解：如图所示，延长与延长线交于点P，
∵四边形为等垂四边形，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
【小问2详解】
解：，理由如下：
延长交延长线与P，交延长线与Q，延长线与延长线交于点F，连接并延长至点，使，连接，，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵四边形是等垂四边形，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵M、N分别是的中点，
∴是的中位线，
∴；
【小问3详解】
解：如图所示，取的中点M，N，连接，连接并延长至点，使，连接，设直线与直线交于点P，
同（2）法可知，米，
∵，
∴，
∴，
∴米，
∵M、N分别是的中点，
∴是的中位线，
∴米，，
∵M为的中点，，
∴米，
同理可得，即
∴米，
∴米，
∴隔离带最长为650米．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质与判定，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，三角形三边的关系等等，解题的关键在于能够正确理解题意作出辅助线求解．