安徽省芜湖市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

这是一份安徽省芜湖市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题，共23页。试卷主要包含了 下列各式属于最简二次根式的有， 下列计算正确的有．， 在中，斜边，则的值为，5D， 有下列说法， 能使成立的x的取值范围是， 如图，在中，，于点，则的长是等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1. 下列各式属于最简二次根式的有（ ）
A. B. C. D.
2. 下列计算正确的有( )．
① ② ③ ④
A. ①、②B. ③、④C. ①、③D. ②、④
3. 若|x﹣5|+2=0，则x﹣y值是（ ）
A. ﹣7B. ﹣5C. 3D. 7
4. 在中，斜边，则的值为（ ）
A. B. C. D. 无法计算
5. 一个三角形的三边分别是3、4、5，则它的面积是（ ）
A. 6B. 12C. 7.5D. 10
6. 有下列说法：①平行四边形具有四边形的所有性质；②平行四边形是中心对称图形；③平行四边形的任一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形；④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形.其中正确说法的序号是（ ）
A. ①②④B. ①③④C. ①②③D. ①②③④
7. 如图，在中，，若，则正方形和正方形的面积和为（ ）

A. 150B. 200C. 225D. 无法计算
8. 能使成立的x的取值范围是（ ）
A. x≠2B. x≥0C. x≥2D. x＞2
9. 已知三角形的三边长为n、n＋1、m(其中m2＝2n＋1)，则此三角形( )．
A. 一定是等边三角形B. 一定是等腰三角形C. 一定是直角三角形D. 形状无法确定
10. 如图，在中，，于点，则的长是（ ）
A 6B. C. D.
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
11. 不超过的最大整数是_____．
12. 代数式中x的取值范围是_______．
13. 如图，在中，，的平分线交于点，交的延长线于点，，垂足为，，，则的周长为______．
14. 如图，已知等边三角形ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在B′处，DB′，EB′分别交AC于点F，G.若∠ADF＝80°，则∠DEG的度数为________．
三．解答题（共4小题，满分32分，每小题8分）
15. 计算：
（1）；
（2）（﹣）（+）+（﹣1）2
16. 已知：如图，四边形中，，求四边形的面积．
17. 已知：如图，中，于D，平分交于F．求证：．
18. 如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F分别是边DC、AB的中点，FE的延长线分别与AD、BC的延长线交于点H、G，求证：∠AHF＝∠BGF．
五．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分）
19. 如图所示，中，D是边上一点，E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于F，且，连接．
（1）求证：D是的中点；
（2）若，试判断四边形形状，并证明你的结论．
20. 在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°的方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某个角度的方向以每小时15海里的速度前进，2小时后，甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？
六．解答题（共2小题，满分12分，每小题24分）
21. 如图，将矩形ABCD（纸片）折叠，使点B与AD边上的点K重合，EG为折痕；点C与AD边上的点K重合，FH为折痕．已知∠1=67.5°，∠2=75°，EF=+1，求BC的长．
22. 如图，已知中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，M，N是边上的两个动点，其中点N从点A开始沿A→B方向运动，且速度为2cm/s，点M从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为4cm/s，它们同时出发，设运动的时间为t s．
（1）出发2s后，求MN的长，
（2）当点M在边BC上运动时，出发几秒钟，是等腰三角形？
（3）当点M在边CA上运动时，求能使成为等腰三角形t的值．
七．解答题（共1小题，满分14分，每小题14分）
23. 如图，矩形中，．
（1）在边上找一点E，使平分，并加以说明；
（2）若P为边上一点，且，连结并延长交的延长线于F．
①求证：；
②能否由绕P点按顺时针方向旋转而得到?若能，加以证明，并写出旋转度数；若不能，请说明理由.
安徽省芜湖市八年级（下）期中数学试卷
（满分150分，考试时间为120分钟）
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1. 下列各式属于最简二次根式的有（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查最简二次根式判定条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数的因数是整数，因式是整式．由此逐项判断即可．
【详解】解：A、中含能开得尽方的因数，故本选项不正确；
B、符合最简二次根式的定义，故本选项正确；
C、中含能开得尽方的因式，故本选项不正确；
D、中被开放数含有分母，故本选项不正确；
故选：B．
2. 下列计算正确的有( )．
① ② ③ ④
A ①、②B. ③、④C. ①、③D. ②、④
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】①，正确；
②，错误，无意义；
③，正确；
④，错误，无意义.
故①、③正确.
故选C.
3. 若|x﹣5|+2=0，则x﹣y的值是（ ）
A. ﹣7B. ﹣5C. 3D. 7
【答案】D
【解析】
【详解】根据非负数的意义，可得x-5=0，y+2=0，解得x=5，y=-2，所以x-y=5-（-2）=7.
故选D.
【点睛】此题主要考查了非负数的意义，解题关键是利用绝对值、平方、二次根式的和为0时，是使各部分均为0，即可求解.
4. 在中，斜边，则的值为（ ）
A. B. C. D. 无法计算
【答案】C
【解析】
【分析】根据勾股定理可知，进而可知．
【详解】解：∵在中，斜边为，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选．
【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
5. 一个三角形的三边分别是3、4、5，则它的面积是（ ）
A. 6B. 12C. 7.5D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】由于32+42＝52，易证此三角形是直角三角形，从而易求此三角形的面积．
【详解】∵32+42＝52，∴此三角形是直角三角形，
∴S△＝×3×4＝6．
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理．解题的关键是先证明此三角形是直角三角形．
6. 有下列说法：①平行四边形具有四边形的所有性质；②平行四边形是中心对称图形；③平行四边形的任一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形；④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形.其中正确说法的序号是（ ）
A. ①②④B. ①③④C. ①②③D. ①②③④
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的性质逐个判断即可得到答案．
【详解】解：平行四边形具有四边形的所有性质，故①正确，
平行四边形是中心对称图形，故②正确，
平行四边形的任意一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形，故③正确，
平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形，故④正确，
故选：D．
7. 如图，在中，，若，则正方形和正方形的面积和为（ ）

A. 150B. 200C. 225D. 无法计算
【答案】C
【解析】
【分析】根据勾股定理即可进行解答．
【详解】解：∵四边形和四边形为正方形，
∴， ，
∵在中，，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
8. 能使成立的x的取值范围是（ ）
A. x≠2B. x≥0C. x≥2D. x＞2
【答案】D
【解析】
【分析】根据被开方数为非负数，且分式的分母不能为0，列不等式组求出x的取值范围即可．
【详解】由题意可得：，解得：x＞2．
故选D．
【点睛】二次根式的被开方数是非负数，分母不为0，是本题确定取值范围的主要依据．
9. 已知三角形的三边长为n、n＋1、m(其中m2＝2n＋1)，则此三角形( )．
A. 一定是等边三角形B. 一定是等腰三角形C. 一定是直角三角形D. 形状无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形，进行判断即可．
详解】∵，
∴三角形是直角三角形，且(n＋1)为斜边.
故选C.
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，属于基础题，关键是掌握定理的内容.
10. 如图，在中，，于点，则的长是（ ）
A. 6B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据勾股定理的应用与性质即可求解．
【详解】∵，，
∴BC＝
∵
∴CD＝＝＝
故选：D
【点睛】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是熟知勾股定理的性质．
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
11. 不超过的最大整数是_____．
【答案】4
【解析】
【分析】本题主要考查了有理数的乘方计算，计算出的结果即可得到答案．
【详解】解；∵，
∴不超过的最大整数是4，
故答案为：4．
12. 代数式中x的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件．根据二次根式的被开方数是非负数，且分式的分母不为零求解即可．
【详解】由题意得：，
∴，
解得：，
故答案为：．
13. 如图，在中，，的平分线交于点，交的延长线于点，，垂足为，，，则的周长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、平行四边形的性质、勾股定理、角平分线的定义，由平行四边形的性质结合角平分线的定义得出，由等角对等边得出，从而得出，由勾股定理得出，从而得出，再证明出得出，即可得解．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的周长为，
故答案为：．
14. 如图，已知等边三角形ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在B′处，DB′，EB′分别交AC于点F，G.若∠ADF＝80°，则∠DEG的度数为________．
【答案】70°
【解析】
【详解】解：由折叠的性质得到∠BDE=∠B′DE，
∵∠ADF=80°，∠ADF+∠BDE+∠B′DE=180°，
∴∠BDE=∠B′DE=50°，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=60°，
则∠BED=180°-（50°+60°）=70°．
∴∠DEG=∠BED =70°，
故答案为：70°
三．解答题（共4小题，满分32分，每小题8分）
15. 计算：
（1）；
（2）（﹣）（+）+（﹣1）2
【答案】(1)；(2).
【解析】
【分析】（1）先分别进行化简，然后再合并同类二次根式即可；
（2）先利用平方差公式以及完全平方公式进行展开，然后再进行加减运算即可
【详解】(1)原式=
=；
(2)原式=
=.
【点睛】本题考查了二次根式的化简，二次根式的混合运算，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键.
16. 已知：如图，四边形中，，求四边形的面积．
【答案】．
【解析】
【分析】连接，先根据勾股定理求出的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出的形状，再利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：如图所示，连接．
∵
∴，
在中，，
∴是直角三角形，
∴，
，
．
故四边形ABCD的面积为．
【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面积，能根据勾股定理的逆定理判断出的形状是解答此题的关键．
17. 已知：如图，中，于D，平分交于F．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】过点E作EG⊥AB于点G，过F点作FH⊥AC于点H，在△ABC中，∠ABC=90°，可得∠C=∠ABD，再由角平分线的性质可得GE=DE，然后由两平行线间的距离处处相等，可得ED=FH，从而得到GE=FH，可证得△BEG≌△CFH，即可求证．
【详解】证明：过点E作EG⊥AB于点G，过F点作FH⊥AC于点H，
∵在△ABC中，∠ABC=90°，
∴∠C+∠BAC=90°，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAC+∠ABD=90°，
∴∠C=∠ABD，
∵平分，
∴GE=DE，
∵且BD⊥AC，FH⊥AC
∴ED=FH，
∴GE=FH，
在△BEG与△CFH中，
∵∠C=∠ABD，∠BGE=∠FHC，GE=FH，
∴△BEG≌△CFH（AAS），
∴BE=CF．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，平行线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理，角平分线的性质定理是解题的关键．
18. 如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F分别是边DC、AB的中点，FE的延长线分别与AD、BC的延长线交于点H、G，求证：∠AHF＝∠BGF．
【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】连接BD，取BD的中点P，连接EP，FP，根据三角形中位线定理得到PF＝AD，PFAD，EP＝BC，EPBC，根据平行线的性质、等腰三角形的性质证明结论．
【详解】证明：连接BD，取BD的中点P，连接EP，FP，
∵E、F、P分别是DC、AB、BD边的中点，
∴EP是△BCD的中位线，PF是△ABD的中位线，
∴PF＝AD，PFAD，EP＝BC，EPBC，
∴∠H＝∠PFE，∠BGF＝∠FEP，
∵AD＝BC，
∴PE＝PF，
∴∠PEF＝∠PFE，
∴∠AHF＝∠BGF．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
五．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分）
19. 如图所示，中，D是边上一点，E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于F，且，连接．
（1）求证：D是的中点；
（2）若，试判断四边形的形状，并证明你的结论．
【答案】（1）见解析 （2）四边形是矩形．理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，是基础题，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键．
（1）根据两直线平行，内错角相等求出，然后利用“角角边”证明和全等，再根据全等三角形的性质和等量关系即可求解；
（2）由（1）知平行等于，易证四边形是平行四边形，而，是中线，利用等腰三角形三线合一定理，可证，即，那么可证四边形是矩形．
【小问1详解】
证明：，
，
点为的中点，
，
在和中，
，
，
，
，
，
是的中点；
【小问2详解】
若，则四边形是矩形．理由如下：
，
，
，
；
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
平行四边形是矩形．
20. 在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°的方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某个角度的方向以每小时15海里的速度前进，2小时后，甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？
【答案】乙船沿南偏东30°方向航行．
【解析】
【分析】首先根据速度和时间计算出AO、BO的路程，再根据勾股定理逆定理证明∠AOB＝90°，进而可得答案．
【详解】
解：由题意得：甲船的路程：AO＝8×2＝16（海里），
乙船的路程：BO＝15×2＝30（海里），
∵，
∴∠AOB＝90°，
∵AO是北偏东60°方向，
∴BO是南偏东30°．
答：乙船航行的方向是南偏东30°．
【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定理，以及方向角，解题关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．
六．解答题（共2小题，满分12分，每小题24分）
21. 如图，将矩形ABCD（纸片）折叠，使点B与AD边上的点K重合，EG为折痕；点C与AD边上的点K重合，FH为折痕．已知∠1=67.5°，∠2=75°，EF=+1，求BC的长．
【答案】BC的长为3++．
【解析】
【分析】由题意知∠3=180°﹣2∠1=45°、∠4=180°﹣2∠2=30°、BE=KE、KF=FC，作KM⊥BC，设KM=x，知EM=x、MF=x，根据EF的长求得x=1，再进一步求解可得．
【详解】解：∵∠1=67.5°，∠2=75°，
∴∠3=180°﹣2∠1=45°，∠4=180°﹣2∠2=30°，
由折叠可知，BE=KE、KF=FC，
如图，过点K作KM⊥BC于点M，
设KM=x，则EM=x，KF=2x，
，，
∴x+x=+1，
解得：x=1，
∴EK=，KF=2，
∴BC=BE+EF+FC=EK+EF+KF=3++，
∴BC的长为3++．
【点睛】本题主要考查翻折变换和勾股定理，解题的关键是掌握翻折变换的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
22. 如图，已知中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，M，N是边上的两个动点，其中点N从点A开始沿A→B方向运动，且速度为2cm/s，点M从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为4cm/s，它们同时出发，设运动的时间为t s．
（1）出发2s后，求MN的长，
（2）当点M在边BC上运动时，出发几秒钟，是等腰三角形？
（3）当点M在边CA上运动时，求能使成为等腰三角形的t的值．
【答案】（1）cm
（2）s
（3）6.6或6或5.5
【解析】
【分析】（1）由题意求得BM和BN，由勾股定理可求出答案；
（2）用t可分别表示出BM和BN，根据等腰三角形的性质可得到BM＝BN，可得到关于t的方程，可求得t；
（3）求出BM，分三种情况可求出答案．
【小问1详解】
解：(1)当t=2时，，
，
，
在中,由勾股定理可得
(cm)，
即MN的长为cm；
【小问2详解】
解：由题意可知：，
又，
，
当为等腰三角形时，则有，
即，
解得：，
∴出发后是等腰三角形；
【小问3详解】
解：在中,由勾股定理可求得：
，
当点M在AC上运动时，
，
∵为等腰三角形，
∴有和三种情况
①当时，如图
过B作则CE=CM=2t-6，
在中,可求得BE=，
在中,由勾股定理可得，
即，
解得t=6.6或t=-0.6(舍去)；
②当CM=BC=12时,则4t-12=12，
解得；
③当CM=BM时,则∠C=∠MBC，
，
，
，
，
即4t-12=10，
解得；
综上可知,当t的值为6.6或6或5.5时,为等腰三角形．
【点睛】本题为三角形的综合应用，涉及勾股定理、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．解题关键是用时间t表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用．
七．解答题（共1小题，满分14分，每小题14分）
23. 如图，在矩形中，．
（1）在边上找一点E，使平分，并加以说明；
（2）若P为边上一点，且，连结并延长交的延长线于F．
①求证：；
②能否由绕P点按顺时针方向旋转而得到?若能，加以证明，并写出旋转度数；若不能，请说明理由.
【答案】（1）见解析 （2）①见解析②能，见解析
【解析】
【分析】此题考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，特殊角的三角函数值．
（1）利用E是的中点，再加上已知边的长，得出，同理可知，从而求出，即平分；
（2）①证明，可以得到，即，又，即可得结论；
②因为P是三分点，结合已知边的长，可求出和的值，再利用勾股定理，可分别求出，从而得出，再证明，通过观察可知，就是顺时针旋转的角度．
【小问1详解】
当E为中点时，平分，理由如下：
∵矩形中，，
∴，，
∵E为中点,
∴，
∴
∴，
同理，，
∴，
即平分，；
【小问2详解】
①图形如下：
∵，，
∴
∴，
∴，
∵E为中点，
∴，
∴，
②能．
证明：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴能否由按照顺时针方向绕P点旋转而得到，旋转角．