2023-2024学年安徽省芜湖二十九中八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年安徽省芜湖二十九中八年级（下）期中数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各组3个整数是勾股数的是( )
A. 4，5，6B. 6，8，9C. 13，14，15D. 8，15，17
2.如果二次根式 x+3在实数范围内有意义，那么x的取值范围是( )
A. x≠−3B. x≤−3C. x≥−3D. x>−3
3.若 3=a， 5=b，则 45可以表示为( )
A. a2bB. a bC. a2bD. ab
4.已知 24n是整数，正整数n的最小值为
( )
A. 0B. 1C. 6D. 36
5.一个三角形的三边长分别是 8cm， 18cm， 32cm，则此三角形的周长为( )
A. 9 2cmB. 8 2cmC. 7 2cmD. 6 2cm
6.计算(2+ 3)2022(2− 3)2021的结果是( )
A. 2+ 3B. 3−2C. 2− 3D. 1
7.如图所示，是用4个全等的直角三角形与1个正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边(x>y)，下列四个说法：①x2+y2=49，②x−y=2，③2xy+4=49，④x+y=9.其中说法正确的是( )
A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ①②③④
8.在如图的网格中，每个小正方形的边长为1，A、B、C三点均在正方形格点上，若AD是△ABC的高，则AD的长为( )
A. 2 3
B. 5
C. 3
D. 2
9.如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A(−3,2)，点B(−1,−2)，点C(3,−2)，则点D的坐标为( )
A. (1,2)
B. (2,1)
C. (1,3)
D. (2,3)
10.如图，在▱ABCD中，BC=3，CD=4，点E是CD边上的中点，将△BCE沿BE翻折得△BGE，连结AE，A、G、E在同一直线上，则点G到AB的距离为( )
A. 3 154
B. 3 158
C. 3 1516
D. 3 152
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.在数轴上表示实数a的点如图所示，化简 (a−5)2+|a−2|的结果为 ．
12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是______．
13.如图，平行四边形ABCD中，O为对角线交点，DP平分∠ADC，CP平分∠BCD，AB=7，AD=10，则OP= ______．
14.如图，在平行四边形ABCD中，∠B=90°，且AD=9cm，AB=4cm，延长BC至点E，使(CE=3cm，连接DE.若动点P从A点出发，以每秒3cm的速度沿射线AD运动；动点Q从E点出发以每秒2cm的速度沿EB向B点运动，当点Q到达点B时，动点P、Q同时停止运动，设点P、Q同时出发，并运动了t秒，回答下列问题：
(1)当t为______秒时，以P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形；
(2)使得△DQE是等腰三角形时t的值．______．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
15.计算：(−1)2020+ 9−π0+ 18× 32．
四、解答题：本题共8小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
已知a= 7−1，求3a2+6a+1的值．
17.(本小题8分)
如图，在△ABC中，BC=4，AC=13，AB=15，求S△ABC．
18.(本小题8分)
在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1.以格点为顶点．
(1)在图1中画一个边长分别为 10、2 5、 10的三角形；
(2)在图2中画出一个两边长都为 5，面积为2的三角形．
19.(本小题10分)
高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为.据研究，从高度为h(单位：m)的高空抛出的物体下落的时间t(单位：s)和高度h(单位：m)近似满足公式t= h5(不考虑风速的影响)．
(1)从50m高空抛出的物体从抛出到落地所需时间t1是多少？从100m高空抛出的物体从抛出到落地所需时间t2是多少？
(2)t2是t1的多少倍？
(3)从足够高的高空抛出物体，经过1.5s，所抛物体下落的高度是多少？
20.(本小题10分)
已知：如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，且BF=DE．
求证：(1)AE=CF；
(2)四边形AECF是平行四边形．
21.(本小题12分)
如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交CD于点F，交BC的延长线于点E，连结BF．
(1)求证：BE=CD；
(2)若点F是CD的中点．
①求证BF⊥AE；
②若∠BEA=60°，AB=4，求平行四边形ABCD的面积．
22.(本小题12分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，设AC=b，BC=a，AB=c，CD=h．
试说明：(1)1a2+1b2=1h2；(2)a+b23.(本小题14分)
已知点O是△ABC内任意一点，连接OA并延长到点E，使得AE=OA，以OB，OC为邻边作平行四边形OBFC，连接OF，与BC交于点H，连接EF．
(1)问题发现
如图1，若△ABC为等边三角形，线段EF与BC的位置关系是______，数量关系为______；
(2)拓展探究
如图2，若△ABC为等腰直角三角形(BC为斜边)，(1)中的两个结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出正确的结论再给予证明；
(3)解决问题
如图3，若△ABC是等腰三角形，AB=AC=2，BC=3，请你直接写出线段EF= ．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、42+52=41≠62，故不是勾股数；
B、62+82=100≠92，故不是勾股数；
C、132+142=365≠152，故不是勾股数；
D、82+152=289=172，故是勾股数；
故选D．
满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数．依此判断即可．
本题考查了勾股数，注意：
①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2=c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．
②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．
③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…
2.【答案】C
【解析】解：∵二次根式 x+3在实数范围内有意义，
∴x+3≥0，
解得，x≥−3，
故选：C．
根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】【分析】
此题考查了二次根式的乘法法则的应用，以及二次根式的性质，正确将二次根式变形是解题关键．
首先利用二次根式的乘法法则对二次根式 45进行变形，进而结合已知条件得出答案．
【解答】
解：∵ 3=a， 5=b，
∴ 45= 9×5=3× 5= 32× 5=a2b．
故选C．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了乘除法法则和二次根式有意义的条件．二次根式有意义的条件是被开方数是非负数．二次根式的运算法则：乘法法则 a⋅ b= ab(a≥0,b≥0).除法法则 ba= b a(b≥0,a>0).解题关键是分解成一个完全平方数和一个代数式的积的形式．因为 24n是整数，且 24n= 4×6n=2 6n，则6n是完全平方数，满足条件的最小正整数n为6．
【解答】
解：∵ 24n= 4×6n=2 6n，且 24n是整数，
∴2 6n是整数，即6n是完全平方数；
∴n的最小正整数值为6．
故选：C．
5.【答案】A
【解析】解：根据题意得， 8+ 18+ 32=2 2+3 2+4 2=9 2(cm)，
答：此三角形的周长为9 2cm．
故选：A．
根据三角形的周长公式即可得到结论．
本题考查了二次根式的加减法，二次根式的化简，熟练掌握二次根式加减混合运算的法则是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：原式=(2+ 3)(2+ 3)2021(2− 3)2021
=(2+ 3)×[(2+ 3)(2− 3)]2021
=(2+ 3)×(4−3)2021
=(2+ 3)×12021
=2+ 3，
故选：A．
根据同底数幂乘法的逆用、积的乘方的逆用、二次根式的乘法法则即可得．
本题考查了同底数幂乘法的逆用、积的乘方的逆用、二次根式的乘法，熟练掌握各运算法则是解题关键．
7.【答案】A
【解析】解：∵大正方形面积为49，
∴大正方形边长为7，
在直角三角形中，
x2+y2=72=49，
故说法①正确；
∵小正方形面积为4，
∴小正方形边长为2，
∴x−y=2，
故说法②正确；
∵大正方形面积等于小正方形面积与四个直角三角形面积之和，
∴4×12xy+4=49，
∴2xy+4=49，
故说法③正确；
∵2xy+4=49，
∴2xy=45，
∵x2+y2=49，
∴x2+y2+2xy=49+45，
∴(x+y)2=94，
∴x+y= 94，
故说法④错误；
故选：A．
利用大正方形面积和小正方形面积可得出大正方形和小正方形的边长，利用勾股定理可判断①，利用线段和差可判断②，利用大正方形面积等于小正方形面积与四个直角三角形面积之和可判断③，利用①③可判断④．
本题考查勾股定理的证明，解题的关键是利用大正方形面积和小正方形面积得出大正方形和小正方形的边长．
8.【答案】D
【解析】解：∵AB2=22+42=4+16=20；
AC2=22+12=4+1=5，
BC2=32+42=9+16=25，
∴BC2=AB2+AC2，
∴∠BAC=90°，
∴S△BAC=12AB×AC=12× 20× 5=5，
S△BAC=12BC⋅AD=12×5×AD=5，
∴AD=2．
故选：D．
利用勾股定理求出AB、AC、BC的长的平方，再根据勾股定理的逆定理判断△ABC是直角三角形，求出三角形面积，由同一三角形面积相等即可求出AD．
本题考查勾股定理和同一三角形的面积相等，关键是判断△ABC是直角三角形．
9.【答案】A
【解析】解：∵平行四边形ABCD的顶点A(−3,2)，点B(−1,−2)，点C(3,−2)，
∴AD//BC，AD=BC=4，
∵A点的横坐标为−3，
∴D点的横坐标为4−3=1，
∵AD/​/BC，
∴D点和A点的纵坐标相等为2，
∴D点的坐标为(1,2)．
故选：A．
根据平行四边形ABCD的顶点A(−3,2)，点B(−1,−2)，点C(3,−2)，可得AD//BC，AD=BC=4，进而可以解决问题．
本题考查平行四边形的性质以及坐标与图形的性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质．
10.【答案】B
【解析】解：如图，GF⊥AB于点F，
∵点E是CD边上的中点，
∴CE=DE=2，
由折叠可知：
∠BGE=∠C，BC=BG=3，CE=GE=2，
∵在▱ABCD中，BC=AD=3，BC/​/AD，
∴∠D+∠C=180°，
∵∠BGE+∠AGB=180°，
∴∠AGB=∠D，
∴BG=AD，
∵AB/​/CD，
∴∠BAG=∠AED，
∴△ABG≌△EAD(AAS)，
∴AG=DE=2，
∴AB=AE=AG+GE=4，
∵GF⊥AB于点F，
∴∠AFG=∠DFG=90°，
在Rt△AFG和△DFG中，根据勾股定理，得
AG2−AF2=BG2−BF2，即22−AF2=32−(4−AF)2，
解得AF=118，
∴GF2=AG2−AF2=4−12164=13564，
∴GF=3 158．
故选：B．
根据折叠性质和平行四边形的性质可以证明△ABG≌△EAD，可得AG=DE=2，然后利用勾股定理可得求出AF的长，进而可得GF的值．
本题考查了折叠的性质、平行四边形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形与折叠的性质是解题的关键．
11.【答案】3
【解析】解：由数轴可得：a−5<0，a−2>0，
则 (a−5)2+|a−2|
=5−a+a−2
=3．
故答案为：3．
直接利用二次根式的性质以及绝对值的性质分别化简求出答案．
此题主要考查了二次根式的性质以及绝对值的性质，正确掌握相关性质是解题关键．
12.【答案】245
【解析】解：如图，过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，
∵AD是∠BAC的平分线．
∴PQ=PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，
∵AC=6，BC=8，∠ACB=90°，
∴AB= AC2+BC2= 62+82=10，
∵S△ABC=12AB⋅CM=12AC⋅BC，
∴CM=AC⋅BCAB=6×810=245．
故答案为：245．
过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，由AD是∠BAC的平分线．得出PQ=PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，运用勾股定理求出AB，再运用S△ABC=12AB⋅CM=
12AC⋅BC，得出CM的值，即PC+PQ的最小值．
本题解题的关键是找出满足PC+PQ有最小值时点P和Q的位置．
13.【答案】1.5
【解析】解：延长DP交BC于Q，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，CD=AB=7，BC=AD=10，AD//BC，
∴∠ADC+∠BCD=180°，∠ADP=∠CQD，
∵DP平分∠ADC，CP平分∠BCD，
∴∠ADP=∠CDQ=12∠ADC，∠DCP=∠QCP=12∠BCD，
∴∠CQD=∠CDQ，
∴CQ=CD=7，
∴BQ=BC−CQ=3，
∵∠CDQ+∠DCP=12(∠ADC+∠BCD)=12×180°=90°，
∴CP⊥DQ，
∴DP=QP，
∵OB=OD，
∴OP是△BDQ的中位线，
∴OP=12BQ=1.5，
故答案为：1.5．
延长DP交BC于Q，由平行四边形的性质得OB=OD，CD=AB=7，BC=AD=10，AD//BC，再证CQ=CD=7，则BQ=BC−CQ=3，然后证CP⊥DQ，由等腰三角形的性质得DP=QP，最后证OP是△BDQ的中位线，即可求解．
本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的性质，证出OP为△BDQ的中位线是解题的关键．
14.【答案】95或9 3或2512或52
【解析】解：(1)当0≤t≤3时，
根据题意得，AP=3t，PD=9−3t，EQ=2t，
∵四边形PQED是平行四边形，
∴PD=EQ，
∴9−3t=2t，
∴t=95，
当3∵四边形PQED是平行四边形，
∴PD=EQ，即：3t−9=2t，
∴t=9，
当t为95秒或9秒时，四边形PQED成为平行四边形，
故答案为：95或9；
(2)根据题意得，EQ=2t，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=4，AB/​/CD，
∴∠DCE=∠B=90°，
在Rt△DCE中，CE=3，
根据勾股定理得，DE= CD2+CE2=5(cm)，
∵△DQE是等腰三角形，
∴①当DQ=DE时，
∵∠DCE=90°，
∴CQ=CE，
∴EQ=2CE=6cm，
∴2t=6，
∴t=3；
②当DQ=EQ时，如图，
则DQ=2t，CQ=EQ−CE=2t−3，
在Rt△DCE中，根据勾股定理得，CD2+CQ2=DQ2，
∴42+(2t−3)2=(2t)2，
∴t=2512；
③当DE=EQ时，
∴2t=5，
∴t=52；
即：△DQE是等腰三角形时，t的值为3秒或2512秒或52秒，
故答案为：3或2512或52．
(1)先判断出PD=EQ，进而建立方程求解即可得出结论；
(2)分三种情况，利用等腰三角形的性质或勾股定理，建立方程求解即可得出结论．动点Q从E点出发以每秒2cm的速度沿EB向B点运动，当点Q到达点B时，动点P、Q同时停止运动，设点P、Q同时出发，并运动了t秒，回答下列问题：
此题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
15.【答案】解：(−1)2020+ 9−π0+ 18× 32
=1+3−1+ 24×4 2
=3+2
=5．
【解析】首先计算乘方、开方和零指数幂，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
16.【答案】解：∵3a2+6a+1
=3(a2+2a)+1
=3(a+1)2−3+1
=3(a+1)2−2，
∴当a= 7−1时，原式=3×( 7−1+1)2−2=3×7−2=19．
【解析】先将所求代数式变形，再代入计算即可．
本题考查了完全平方公式，二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
17.【答案】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D；
设AD=λ，CD=μ；由勾股定理得：
(4+μ)2+λ2=152②μ2+λ2=132①，
由②−①得：8μ=40，
∴μ=5，代入②并解得λ=12，
∴S△ABC=12×4×12=24．
【解析】如图，作BC边上的高，设出AD、CD的长，运用勾股定理列出关于线段AD的方程，求出AD的长，问题即可解决．
该题主要考查了勾股定理在几何计算、化简、求值等方面的应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用有关定理来分析、计算、推理或解答．
18.【答案】解：(1)如图，△ABC即为所求；
(2)如图，△DEF即为所求．(答案不唯一)

【解析】(1)利用网格根据勾股定理即可在图1中画一个边长分别为 10、2 5、 10的三角形；
(2)利用网格根据勾股定理和三角形的面积公式即可在图2中画出一个两边长都为 5，面积为2的三角形．
本题考查了作图−应用与设计作图，二次根式的应用，勾股定理，解决本题的关键是利用网格准确画图．
19.【答案】解：(1)当h=50时，t1= 505= 10(s)；
当h=100时，t2= 1005= 20=2 5(s)．
(2)∵t2t1=2 5 10= 2，
∴t2是t1的 2倍．
(3)当t=1.5时，1.5= h5，
解得h=11.25．
答：下落的高度是11.25米．
【解析】(1)将h=50或h=100分别代入求出对应的时间即可；
(2)将(1)中的对应时间进行计算即可；
(3)根据公式将t=1.5代入进行计算即可．
本题考查二次根式的应用，能够理解题意，读懂题意是解题的关键．
20.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB/​/CD
∠ABE=∠CDF．
又∵BF=DE，
∴BF−EF=DE−EF，即BE=DF，
在△ABE和△CDF中，
AB=CD∠ABE=∠CDFBE=DF，
∴△ABE≌△CDF(SAS)．
∴AE=CF．
(2)∵△ABE≌△CDF，
∴∠AEB=∠CFD，
∴∠AEF=∠CFE，
∴AE//CF
∵AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
【解析】(1)先证明△BCF≌△DAE，再利用全等三角形的性质可得出AE=CF；
(2)利用对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明．
本题主要考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，截图的关键是掌握SAS证明两个三角形全等以及平行四边形的判定定理．
21.【答案】解：(1)ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB=CD．
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠EAD=∠E，
∴BA=BE．
又∵AB=CD，
∴BE=CD；
(2)①∵点F是CD的中点，
∴CF=DF，
在△ADF和△ECF中，∠DAF=∠CEF∠AFD=∠EFCDF=CF，
∴△ADF≌△ECF，
∴AF=EF
又∵BE=BA，
∴BF⊥AE；
②∵∠BEA=60°，
∴△ABE是等边三角形，
又∵AB=4，
∴S△ABE= 34×AB2=4 3，
∵△ADF≌△ECF，
∴S△ADF=S△ECF，
∴行四边形ABCD的面积=S△ADF+S四边形ABCF=S△CEF+S四边形ABCF=S△ABE=4 3
【解析】(1)先判断出AD//BC，AB=CD，进而得出∠BAE=∠EAD=∠E，即可得出结论′
(2)①先判断出CF=DF，进而得出△ADF≌△ECF，即可得出结论；
②先判断出△ABE是等边三角形，进而求出△ABE的面积，S△ADF=S△ECF，即可得出结论．
此题主要考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，判断出△ADF≌△ECF是解本题的关键．
22.【答案】(1)证明：∵Rt△ABC的面积为：12ab或12ch，
∴ab=ch，(ab)2=(ch)2，即a2b2=c2h2，
∵a2+b2=c2，
∴a2b2=(a2+b2)h2，
∴a2b2a2+b2=h2，
∴a2+b2a2b2=1h2，
∴a2a2b2+b2a2b2=1h2，
∴1a2+1b2=1h2；
(2)证明：∵c2∴a2+b2∵ab=ch
∴a2+b2+2ab∴(a+b)2<(c+h)2，
∴a+b(3)是直角三角形．
证明：∵(c+h)2=c2+2ch+h2，
h2+(a+b)2=h2+a2+2ab+b2，
∵a2+b2=c2，(勾股定理)
ab=ch(面积公式推导)
∴c2+2ch+h2=h2+a2+2ab+b2，
∴(c+h)2=h2+(a+b)2，
∴根据勾股定理的逆定理知道
以h，c+h，a+b为边构成的三角形是直角三角形
【解析】(1)只需证明h2(1a2+1b2)=1，从左边推导到右边；
(2)证明(a+b)2<(c+h)2；
(3)直角三角形，证明(a+h)2+h2=(c+h)2．
此题主要考查学生对勾股定理和勾股定理的逆定理的理解和掌握，此题有一定的拔高难度，属于难题，在证明过程中，注意面积关系式ab=ch的应用．
23.【答案】(1)EF⊥BC，EF= 3BC；
(2)如图，连接AH，
∵四边形OBFC是平行四边形，
∴BH=HC=12BC，OH=HF，
又∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AH⊥BC，∠ABC=45°，
∴AH=BH=HC，
∵AE=OA，OH=HF，
∴AH/​/EF，EF=2AH，
∵AH/​/EF，AH⊥BC，
∴EF⊥BC，
∵EF=2AH，AH=BH，BC=2BH，
∴EF=BC；
(3) 7．
【解析】解：(1)如图，连接AH，
∵四边形OBFC是平行四边形，
∴BH=HC=12BC，OH=HF，
又∵△ABC是等边三角形，
∴AH⊥BC，∠ABC=60°，
∴AH= 3BH，
∵AE=OA，OH=HF，
∴AH/​/EF，EF=2AH，
∵AH/​/EF，AH⊥BC，
∴EF⊥BC，
∵EF=2AH，AH= 3BH，BC=2BH，
∴EF= 3BC，
故答案为：EF⊥BC，EF= 3BC；
(2)见答案；
(3)如图，连接AH，
∵四边形OBFC是平行四边形，
∴BH=HC=12BC=32，OH=HF，
又∵AB=AC=2，
∴AH⊥BC，
∴AH= AB2−BH2= 72，
∵OH=HF，AE=AO，
∴EF=2AH= 7．
【分析】(1)问题发现：由平行四边形的性质可得BH=HC=12BC，OH=HF，由等边三角形的性质可得AH= 3BH，由三角形中位线定理可得AH/​/EF，EF=2AH，可得结论；
(2)拓展探究：由平行四边形的性质可得BH=HC=12BC，OH=HF，由等腰直角三角形的性质可得AH=BH，由三角形中位线定理可得AH/​/EF，EF=2AH，可得结论；
(3)解决问题：由平行四边形的性质可得BH=HC=12BC，OH=HF，由等腰三角形的性质可得AH⊥BC，由勾股定理可求AH的长，由三角形中位线定理可得EF=2AH= 7．
本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，证明AH/​/EF，EF=2AH是本题的关键．