安徽省合肥市第三十八中学2024-2025学年八年级下学期期中 数学卷（含解析）

这是一份安徽省合肥市第三十八中学2024-2025学年八年级下学期期中 数学卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．如果二次根式有意义，那么x应满足的条件是（ ）
A．B．C．D．
2．用求根公式解一元二次方程时，a，b，c的值是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知的三个角度数的比，，则为（ ）
A．B．4C．2D．
4．下列计算中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．若一元二次方程的一个根为，则的值为（ ）
A．B．C．D．或
6．若，化简等于（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在中，，，，则数轴上点A所表示的数是（ ）

A．B．C．D．
8．一元二次方程的两根分别为，1，则方程的两根分别为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
9．已知方程x2+bx+c=0有两个相等的实数根，且当x=a与x=a+n时，x2+bx+c=m，则m、n的关系为（ ）
A．m=nB．m=nC．m=n2D．m=n2
10．如图，四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成了一个大正方形，连结，交于点，若，且的面积为2，则正方形的面积为（ ）
A．60B．50C．45D．40
二、填空题（本大题共4小题）
11．比较大小： ．
12．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝3，，DA＝5，∠B＝90°，则∠BCD的度数 ．
13．将一元二次方程配方后得到，则 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，点，点是x轴上的一个动点．
（1）用含x的式子表示线段的长是 ；
（2）结合图形，判断式子的最小值是 ．
三、解答题（本大题共9小题）
15．计算：
16．解方程：．
17．如图，在的网格中，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点叫做格点，点、、均为格点．
(1)的周长为_______；
(2)使用没有刻度的直尺，画出的平分线（保留画图痕迹）．
18．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值．
19．与危险相伴，与烈火为伍，致敬和平年代的英雄，最美的逆行者——中国消防员．云梯消防车是常见的消防器械，云梯最多能伸长到30米，消防车高3米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为24米．
(1)求处与地面的距离．
(2)完成处的救援后，消防员发现在处的上方6米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，则消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米?
20．上海市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔9月份到11月份的销量，该品牌头盔9月份销售500个，11月份销售720个，9月份到11月份销售量的月增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)若此种头盔的进价为40元/个，商家经过调查统计，当售价为50元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨2元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到9000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少钱？
21．明光数学之星在解决问题：已知，求的值时．他是这样分析与解决的：
，
，
，，
，
．
请你根据数学之星的分析过程，解决如下问题：
(1)________，________．
(2)化简：
(3)若，请按照数学之星的方法求出代数式的值．
22．某农场要建一个饲养场（矩形ABCD），两面靠墙（AD位置的墙最大可用长度为27米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长45米．
(1)若饲养场（矩形ABCD）的一边CD长为8米，则另一边BC＝ 米；
(2)若饲养场（矩形ABCD）的面积为180平方米，求边CD的长；
(3)饲养场的面积能达到210平方米吗？若能达到，求出边CD的长；若不能达到，请说明理由．
23．如图1，是两个全等的直角三角形（直角边分别为，，斜边为）
(1)用这样的两个三角形构造图2的图形，你能利用这个图形证明出结论吗？如果能，请写出证明过程；
(2)当，时，将其中一个直角三角形放入平面直角坐标系中，使直角顶点与原点重合，两直角边，分别与轴、轴重合（如图3中的位置）．点为线段上一点，将沿着直线翻折，点恰好落在轴上的处，
①求出、两点的坐标；
②若为等腰三角形，点在轴上，直接写出符合条件的所有点的坐标．
参考答案
1．【答案】C
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式求解即可
【详解】解：∵二次根式有意义，
∴
解得，
故选C
2．【答案】C
【分析】把原方程化为形如（其中a、b、c是常数，）的形式即可得到答案．
【详解】解：，
，
则，，，
故选C．
3．【答案】A
【分析】由三角之比，利用内角和定理求出三角度数，利用30度所对的直角边等于斜边的一半即可求解．
【详解】解：的三个内角度数之比是，
，，，
，
．
故选A．
4．【答案】D
【分析】根据二次根式的加法、减法、乘法、除法运算法则逐项判断即可．
【详解】解：A． 和不是同类二次根式，不能相加减，故选项A错误，不符合题意；
B． ，故选项B错误，不符合题意；
C． ，故选项C错误，不符合题意；
D． ，故选项D正确，符合题意．
故选D．
5．【答案】C
【详解】解：∵一元二次方程的一个根为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选．
6．【答案】D
【分析】由得到再利用二次根式的性质：，结合条件求绝对值即可得到答案．
【详解】解：


故选D
7．【答案】D
【分析】利用勾股定理求得的长度，然后结合数轴求得的值即可．
【详解】解：在中，，，
，
设点A所表示的数为，
∵，
∴，
∴，
数轴上点所表示的数是：．
故选D．
8．【答案】D
【分析】根据题意可知，用替换了原方程中的，结合换元思想即可解决问题．
【详解】解：由题知，
将一元二次方程中的“”用“”替换，
可得方程，
因为一元二次方程的两根分别为，1，
所以或1，
解得或2，
即方程的两根分别为，．
故选D．
9．【答案】D
【详解】由题意得，
消去a,b,c,可得m=n2，
故选D.
10．【答案】A
【分析】根据题意得到，，根据全等三角形的性质得到，得到，求得，根据三角形的面积公式得到，根据勾股定理得到，于是得到正方形的面积为．
【详解】解：如图，设与相交于点M，
根据题意得，，，
，
，
，
，
，
，
，，
，即，
，
，
，
的面积为2，
的面积为8，
的面积为8，
，
，
，
，
，
正方形的面积为，
故选A．
11．【答案】
【分析】此题把它们的减数变成和被减数相同的形式，然后只需比较被减数的大小．分母相同时，分子大的大．首先确定，再进行比较即可求解．
【详解】解：，
，
，
．
12．【答案】135°
【分析】由于∠B=90°，AB=BC=3，利用勾股定理可求AC，并可求∠BCA=45°，而CD=，AD=5，易得AC2+AD2=CD2，可证△ACD是直角三角形，于是有∠ACD=90°，从而易求∠BCD．
【详解】解：∵∠B=90°，AB=BC=3，
∴AC===3，∠BAC=∠BCA=45°，
又∵CD=，DA=5，
∴AC2+CD2=18+7=25，AD2=25，
∴AC2+CD2=AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠ACD=90°，
∴∠BCD=∠BCA+∠DCA=45°+90°=135°．
13．【答案】
【分析】先展开，再得出关于，的方程组，解出，的值，从而可得答案．
【详解】解：由展开得
一元二次方程，
解得
．
14．【答案】 5
【分析】（1）直接根据坐标系中两点之间的距离公式计算即可；
（2）根据题意得出求PA+PB的最小值，作点B关于x轴的对称点B’，连接AB’与x轴交于点P’，此时PA+PB取得最小值，利用坐标系中两点之间的距离公式求解即可得出结果．
【详解】解：（1），
故答案为：；
（2）由题意可得：，即为求PA+PB的最小值，
作点B关于x轴的对称点B’，连接AB’与x轴交于点P’，此时PA+PB取得最小值，如图所示：
PA+PB=AB’=，
即的最小值为5
15．【答案】
【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
【详解】解：
．
16．【答案】，
【分析】用配方法进行解方程即可．
【详解】解：，
．
，
，
∴，
∴，
17．【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）由勾股定理求出、、长，再相加即可求解；
（2）延长至点，使得，连接，找到上的格点，作射线，可得，根据等腰三角形三线合一性质可得平分．
【详解】（1）解： ，
的周长为，
故答案为：；
（2）解：如图，即为所求．
18．【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】（1）根据根的判别式的范围即可证明结论；
（2）解一元二次方程得到，根据和该方程的两个实数根的差为2，得到，即可求出m的值．
【详解】（1）证明：，
∴该方程总有两个实数根：
（2）解：，
，
或，
，
，
，
∵该方程的两个实数根的差为2，
，
解得．
19．【答案】(1)米；
(2)米．
【分析】（1）先根据勾股定理求出的长，进而可得出结论；
（2）由勾股定理求出的长，利用即可得出结论．
【详解】（1）解：在中，
米，米，
米
（米）．
答：处与地面的距离是米；
（2）在中，
米，（米），
米
（米）．
答：消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米．
20．【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为
(2)该品牌头盔每个售价应定为60元
【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个列出方程求解即可；
（2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可．
【详解】（1）解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意，得：
解得（不合题意，舍去）
答：设该品牌头盔销售量的月增长率为．
（2）解：设该品牌头盔每个售价为y元，依题意，得：
，
整理，得
解得
因为尽可能让顾客得到实惠，所以不合题意，舍去．
所以．
答：该品牌头盔每个售价应定为60元．
21．【答案】(1)，
(2)4
(3)5
【分析】（1）根据分母有理化的方法化简即可；
（2）根据分母有理化的方法化简后再计算即可；
（3）将分母有理化，化简为，代入计算即可．
【详解】（1）解：，
．
故答案为：，；
（2）解：
；
（3）解：
，即，
，即，
．
22．【答案】(1)24
(2)10米
(3)不能，见解析
【分析】（1）直接根据图形计算即可；（2）根据矩形的面积等于长乘宽，即可列方程求解；（3）列出方程，根据一元二次方程根的判别式计算．
【详解】（1）解：BC＝45﹣8﹣2×（8﹣1）+1＝24（米）．
故答案为：24．
（2）设CD＝x（0＜x≤15）米，
则BC＝45﹣x﹣2（x﹣1）+1＝（48﹣3x）米，
依题意得：x（48﹣3x）＝180，
整理得：x2﹣16x+60＝0，
解得：x1＝6，x2＝10．
当x＝6时，48﹣3x＝48﹣3×6＝30（米），
30＞27，不合题意，舍去；
当x＝10时，48﹣3x＝48﹣3×10＝18（米），符合题意．
答：边CD的长为10米．
（3）不能，理由如下：
设CD＝y（0＜y≤15）米，
则BC＝45﹣y﹣2（y﹣1）+1＝（48﹣3y）米，
依题意得：y（48﹣3y）＝210，
整理得：y2﹣16y+70＝0．
∵＝（﹣16）2﹣4×1×70＝256﹣280＝﹣24＜0，
∴该方程没有实数根，
∴饲养场的面积不能达到210平方米．
23．【答案】(1)能，见解析
(2)①，；②、、、．
【分析】（1）根据四边形的面积的两种表示方法即可证明；
（3）①根据翻折的性质和勾股定理即可求解；
②根据等腰三角形的性质分四种情况求解即可．
【详解】（1）解：能，证明如下：
连接，如图，
，
，
，
；
（2）解：①设，则，又，
根据翻折可知：
，，
．
在中，根据勾股定理，得
，
解得．
，．
答：、两点的坐标为，．
②如图：
当点在轴正半轴上时，
当时，
设，则，解得，
，
；
当时，，
；
当点在轴负半轴上时，
当时，
，
；
当时，，
．
答：符合条件的所有点的坐标为：、、、．