安徽省合肥市第三十八中学 2024-2025学年 八年级下学期期中数学卷

这是一份安徽省合肥市第三十八中学 2024-2025学年 八年级下学期期中数学卷，共24页。试卷主要包含了考生答题时独立思考，诚信答题等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间共120分钟．
2．考生答题时独立思考，诚信答题．
一、选择题（本大题共10小题，每题4分，满分40分）
1. 如果二次根式有意义，那么x应满足的条件是（ ）
A. B. C. D.
2. 用求根公式解一元二次方程时，a，b，c的值是（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知的三个角度数的比，，则为（ ）
A. B. 4C. 2D.
4. 下列计算中，正确的是（ ）
A. B.
C D.
5. 若一元二次方程的一个根为，则的值为（ ）
A. B. C. D. 或
6 若，化简等于（ ）
A. B. C. D.
7. 如图， 在中，，，，则数轴上点A所表示的数是（ ）

A. B. C. D.
8. 一元二次方程的两根分别为，1，则方程的两根分别为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
9. 已知方程x2+bx+c=0有两个相等的实数根，且当x=a与x=a+n时，x2+bx+c=m，则m、n的关系为（ ）
A. m=nB. m=nC. m=n2D. m=n2
10. 如图，四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成了一个大正方形，连结，交于点，若，且的面积为2，则正方形的面积为（ ）
A. 60B. 50C. 45D. 40
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 比较大小：________．
12. 如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝3，，DA＝5，∠B＝90°，则∠BCD的度数______．
13. 将一元二次方程配方后得到，则________．
14. 如图，在平面直角坐标系中，点，点是x轴上的一个动点．
（1）用含x的式子表示线段的长是_____；
（2）结合图形，判断式子的最小值是____．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：
16. 解方程：．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点叫做格点，点、、均为格点．
（1）的周长为_______；
（2）使用没有刻度的直尺，画出的平分线（保留画图痕迹）．
18. 已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 与危险相伴，与烈火为伍，致敬和平年代的英雄，最美的逆行者——中国消防员．云梯消防车是常见的消防器械，云梯最多能伸长到30米，消防车高3米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为24米．
（1）求处与地面的距离．
（2）完成处救援后，消防员发现在处的上方6米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，则消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米?
20. 上海市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔9月份到11月份的销量，该品牌头盔9月份销售500个，11月份销售720个，9月份到11月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为40元/个，商家经过调查统计，当售价为50元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨2元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到9000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少钱？
六、（本大题共2小题，每小题12分，满分24分）
21. 明光数学之星在解决问题：已知，求值时．他是这样分析与解决的：
，
，
，，
，
．
请你根据数学之星分析过程，解决如下问题：
（1）________，________．
（2）化简：
（3）若，请按照数学之星的方法求出代数式的值．
22. 某农场要建一个饲养场（矩形ABCD），两面靠墙（AD位置的墙最大可用长度为27米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长45米．
（1）若饲养场（矩形ABCD）的一边CD长为8米，则另一边BC＝ 米；
（2）若饲养场（矩形ABCD）的面积为180平方米，求边CD的长；
（3）饲养场的面积能达到210平方米吗？若能达到，求出边CD的长；若不能达到，请说明理由．
七、（本题满分14分）
23. 如图1，是两个全等的直角三角形（直角边分别为，，斜边为）
（1）用这样的两个三角形构造图2的图形，你能利用这个图形证明出结论吗？如果能，请写出证明过程；
（2）当，时，将其中一个直角三角形放入平面直角坐标系中，使直角顶点与原点重合，两直角边，分别与轴、轴重合（如图3中的位置）．点为线段上一点，将沿着直线翻折，点恰好落在轴上的处，
①求出、两点的坐标；
②若为等腰三角形，点在轴上，直接写出符合条件的所有点的坐标．
2024−2025学年度八年级第二学期
数学试题卷
注意事项：
1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间共120分钟．
2．考生答题时独立思考，诚信答题．
一、选择题（本大题共10小题，每题4分，满分40分）
1. 如果二次根式有意义，那么x应满足的条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件列出不等式求解即可
【详解】解：∵二次根式有意义，
∴
解得，
故选：C
2. 用求根公式解一元二次方程时，a，b，c的值是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，把原方程化为形如（其中a、b、c是常数，）的形式即可得到答案．
【详解】解：，
，
则，，，
故选：C．
3. 已知的三个角度数的比，，则为（ ）
A. B. 4C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了勾股定理，以及含30度直角三角形的性质．由三角之比，利用内角和定理求出三角度数，利用30度所对的直角边等于斜边的一半即可求解．
【详解】解：的三个内角度数之比是，
，，，
，
．
故选：A．
4. 下列计算中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式的加法、减法、乘法、除法运算等知识点，明确二次根式加减乘除运算的计算法则是解答本题的关键．
根据二次根式的加法、减法、乘法、除法运算法则逐项判断即可．
【详解】解：A． 和不是同类二次根式，不能相加减，故选项A错误，不符合题意；
B． ，故选项B错误，不符合题意；
C． ，故选项C错误，不符合题意；
D． ，故选项D正确，符合题意．
故选：D．
5. 若一元二次方程一个根为，则的值为（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的定义，由一元二次方程根的定义可得，即得，再根据即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵一元二次方程的一个根为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：．
6. 若，化简等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由得到再利用二次根式的性质：，结合条件求绝对值即可得到答案．
【详解】解：


故选
【点睛】本题考查的是二次根式的化简,绝对值的化简，掌握是解题的关键．
7. 如图， 在中，，，，则数轴上点A所表示的数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用和实数与数轴，利用勾股定理求得的长度，然后结合数轴求得的值即可．
【详解】解：在中，，，
，
设点A所表示的数为，
∵，
∴，
∴，
数轴上点所表示的数是：．
故选：D．
8. 一元二次方程的两根分别为，1，则方程的两根分别为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，熟知换元思想是解题的关键．根据题意可知，用替换了原方程中的，结合换元思想即可解决问题．
【详解】解：由题知，
将一元二次方程中的“”用“”替换，
可得方程，
因为一元二次方程的两根分别为，1，
所以或1，
解得或2，
即方程的两根分别为，．
故选：D．
9. 已知方程x2+bx+c=0有两个相等的实数根，且当x=a与x=a+n时，x2+bx+c=m，则m、n的关系为（ ）
A. m=nB. m=nC. m=n2D. m=n2
【答案】D
【解析】
【详解】由题意得，
消去a,b,c,可得m=n2，故选D.
10. 如图，四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成了一个大正方形，连结，交于点，若，且的面积为2，则正方形的面积为（ ）
A. 60B. 50C. 45D. 40
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的证明，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据题意得到，，根据全等三角形的性质得到，得到，求得，根据三角形的面积公式得到，根据勾股定理得到，于是得到正方形的面积为．
【详解】解：如图，设与相交于点M，
根据题意得，，，
，
，
，
，
，
，
，，
，即，
，
，
，
的面积为2，
的面积为8，
的面积为8，
，
，
，
，
，
正方形的面积为，
故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 比较大小：________．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了无理数的估算能力，此题把它们的减数变成和被减数相同的形式，然后只需比较被减数的大小．分母相同时，分子大的大．首先确定，再进行比较即可求解．
【详解】解：，
，
，
．
故答案为：．
12. 如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝3，，DA＝5，∠B＝90°，则∠BCD的度数______．
【答案】135°
【解析】
【分析】由于∠B=90°，AB=BC=3，利用勾股定理可求AC，并可求∠BCA=45°，而CD=，AD=5，易得AC2+AD2=CD2，可证△ACD是直角三角形，于是有∠ACD=90°，从而易求∠BCD．
【详解】解：∵∠B=90°，AB=BC=3，
∴AC===3，∠BAC=∠BCA=45°，
又∵CD=，DA=5，
∴AC2+CD2=18+7=25，AD2=25，
∴AC2+CD2=AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠ACD=90°，
∴∠BCD=∠BCA+∠DCA=45°+90°=135°．
故答案为：135°．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形性质、勾股定理、勾股定理的逆定理．解题的关键是证明△ACD是直角三角形．
13. 将一元二次方程配方后得到，则________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查的是解一元二次方程配方法，掌握配方法的方法与步骤是解题的关键．先展开，再得出关于，的方程组，解出，的值，从而可得答案．
【详解】解：由展开得
一元二次方程，
解得
．
14. 如图，在平面直角坐标系中，点，点是x轴上的一个动点．
（1）用含x的式子表示线段的长是_____；
（2）结合图形，判断式子最小值是____．
【答案】 ①. ②. 5
【解析】
【分析】（1）直接根据坐标系中两点之间的距离公式计算即可；
（2）根据题意得出求PA+PB的最小值，作点B关于x轴的对称点B’，连接AB’与x轴交于点P’，此时PA+PB取得最小值，利用坐标系中两点之间的距离公式求解即可得出结果．
详解】解：（1），
故答案为：；
（2）由题意可得：，即为求PA+PB的最小值，
作点B关于x轴的对称点B’，连接AB’与x轴交于点P’，此时PA+PB取得最小值，如图所示：
PA+PB=AB’=，
即的最小值为5，
故答案为：5．
【点睛】题目主要考查距离最短问题、坐标系中两点之间的距离及轴对称的性质等，理解题意，作出相应图形求解是解题关键．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
【详解】解：
．
16. 解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练运用配方法解一元二次方程是解题的关键．利用配方法进行解方程即可．
【详解】解：，
．
，
，
∴，
∴，
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点叫做格点，点、、均为格点．
（1）的周长为_______；
（2）使用没有刻度的直尺，画出的平分线（保留画图痕迹）．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查作图应用与设计作图，等腰三角形的性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题．
（1）由勾股定理求出、、长，再相加即可求解；
（2）延长至点，使得，连接，找到上的格点，作射线，可得，根据等腰三角形三线合一性质可得平分．
【小问1详解】
解： ，
的周长为，
故答案为：；
【小问2详解】
解：如图，即为所求．
18. 已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值．
【答案】（1）见解析 （2）2
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式、因式分解法解一元二次方程等知识，熟练掌握一元二次方程根的判别式和解法是关键．
（1）根据根的判别式的范围即可证明结论；
（2）解一元二次方程得到，根据和该方程的两个实数根的差为2，得到，即可求出m的值．
【小问1详解】
证明：，
∴该方程总有两个实数根：
【小问2详解】
解：，
，
或，
，
，
，
∵该方程的两个实数根的差为2，
，
解得．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 与危险相伴，与烈火为伍，致敬和平年代的英雄，最美的逆行者——中国消防员．云梯消防车是常见的消防器械，云梯最多能伸长到30米，消防车高3米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为24米．
（1）求处与地面的距离．
（2）完成处的救援后，消防员发现在处的上方6米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，则消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米?
【答案】（1）米；
（2）米．
【解析】
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．
（1）先根据勾股定理求出的长，进而可得出结论；
（2）由勾股定理求出的长，利用即可得出结论．
【小问1详解】
解：在中，
米，米，
米
（米）．
答：处与地面的距离是米；
【小问2详解】
在中，
米，（米），
米
（米）．
答：消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米．
20. 上海市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔9月份到11月份的销量，该品牌头盔9月份销售500个，11月份销售720个，9月份到11月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为40元/个，商家经过调查统计，当售价为50元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨2元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到9000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少钱？
【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为
（2）该品牌头盔每个售价应定为60元
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据等量关系列出方程．
（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个列出方程求解即可；
（2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可．
【小问1详解】
解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意，得：
解得（不合题意，舍去）
答：设该品牌头盔销售量的月增长率为．
【小问2详解】
解：设该品牌头盔每个售价为y元，依题意，得：
，
整理，得
解得
因为尽可能让顾客得到实惠，所以不合题意，舍去．
所以．
答：该品牌头盔每个售价应定为60元．
六、（本大题共2小题，每小题12分，满分24分）
21. 明光数学之星在解决问题：已知，求的值时．他是这样分析与解决的：
，
，
，，
，
．
请你根据数学之星的分析过程，解决如下问题：
（1）________，________．
（2）化简：
（3）若，请按照数学之星的方法求出代数式的值．
【答案】（1），
（2）4 （3）5
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，熟练掌握分母有理化是关键．
（1）根据分母有理化的方法化简即可；
（2）根据分母有理化的方法化简后再计算即可；
（3）将分母有理化，化简为，代入计算即可．
【小问1详解】
解：，
．
故答案为：，；
【小问2详解】
解：
；
【小问3详解】
解：
，即，
，即，
．
22. 某农场要建一个饲养场（矩形ABCD），两面靠墙（AD位置的墙最大可用长度为27米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长45米．
（1）若饲养场（矩形ABCD）的一边CD长为8米，则另一边BC＝ 米；
（2）若饲养场（矩形ABCD）的面积为180平方米，求边CD的长；
（3）饲养场的面积能达到210平方米吗？若能达到，求出边CD的长；若不能达到，请说明理由．
【答案】（1）24 （2）10米
（3）不能，见解析
【解析】
【分析】（1）直接根据图形计算即可；（2）根据矩形的面积等于长乘宽，即可列方程求解；（3）列出方程，根据一元二次方程根的判别式计算．
【小问1详解】
解：BC＝45﹣8﹣2×（8﹣1）+1＝24（米）．
故答案为：24．
【小问2详解】
设CD＝x（0＜x≤15）米，
则BC＝45﹣x﹣2（x﹣1）+1＝（48﹣3x）米，
依题意得：x（48﹣3x）＝180，
整理得：x2﹣16x+60＝0，
解得：x1＝6，x2＝10．
当x＝6时，48﹣3x＝48﹣3×6＝30（米），
30＞27，不合题意，舍去；
当x＝10时，48﹣3x＝48﹣3×10＝18（米），符合题意．
答：边CD的长为10米．
【小问3详解】
不能，理由如下：
设CD＝y（0＜y≤15）米，
则BC＝45﹣y﹣2（y﹣1）+1＝（48﹣3y）米，
依题意得：y（48﹣3y）＝210，
整理得：y2﹣16y+70＝0．
∵＝（﹣16）2﹣4×1×70＝256﹣280＝﹣24＜0，
∴该方程没有实数根，
∴饲养场的面积不能达到210平方米．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
七、（本题满分14分）
23. 如图1，是两个全等的直角三角形（直角边分别为，，斜边为）
（1）用这样的两个三角形构造图2的图形，你能利用这个图形证明出结论吗？如果能，请写出证明过程；
（2）当，时，将其中一个直角三角形放入平面直角坐标系中，使直角顶点与原点重合，两直角边，分别与轴、轴重合（如图3中的位置）．点为线段上一点，将沿着直线翻折，点恰好落在轴上的处，
①求出、两点的坐标；
②若为等腰三角形，点在轴上，直接写出符合条件的所有点的坐标．
【答案】（1）能，见解析
（2）①，；②、、、．
【解析】
【分析】本题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质、坐标与图形，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
（1）根据四边形的面积的两种表示方法即可证明；
（3）①根据翻折的性质和勾股定理即可求解；
②根据等腰三角形的性质分四种情况求解即可．
【小问1详解】
解：能，证明如下：
连接，如图，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：①设，则，又，
根据翻折可知：
，，
．
中，根据勾股定理，得
，
解得．
，．
答：、两点的坐标为，．
②如图：
当点在轴正半轴上时，
当时，
设，则，解得，
，
；
当时，，
；
当点在轴负半轴上时，
当时，
，
；
当时，，
．
答：符合条件的所有点的坐标为：、、、．