2022-2023学年安徽省合肥四十五中八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年安徽省合肥四十五中八年级（下）期中数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年安徽省合肥四十五中八年级（下）期中数学试卷
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列二次根式中，能与 3合并的是(    )
A. 32 B. 8 C. 0.5 D. 12
2. 用配方法解一元二次方程2x2−3x−1=0，配方正确的是(    )
A. (x−32)2=134 B. (x−34)2=12 C. (x−34)2=1716 D. (x−32)2=114
3. 已知一元二次方程x2+kx−3=0有一个根为1，则k的值为     (    )
A. −2 B. 2 C. −4 D. 4
4. 下列每组数据中的三个数值分别是三角形的三边长，则能构成直角三角形的有(    )
①1.5，2.5，2；② 2， 2，2；③12，16，20；④0.5，1.2，1.3．
A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组
5. 如图，在平面直角坐标系中，A(−1,0)，B(0,2)，以点A为圆心，AB为半径画弧，交x轴正半轴于点C，点C的横坐标为(    )

A. 3−1 B. 2 C. 5−1 D. 1− 5
6. 定义运算：m⊕n=n2−mn+1.例如：1⊕2=22−1×2+1=3，则方程1⊕x=0的根的情况为(    )
A. 无实数根 B. 只有一个实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根
7. 已知一元二次方程x2+4x−1=0的两根分别为m，n，则m+n+mn的值是(    )
A. −5 B. −3 C. 3 D. 5
8. 《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈=10尺)，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为(    )
A. x2−6=(10−x)2 B. x2−62=(10−x)2
C. x2+6=(10−x)2 D. x2+62=(10−x)2
9. 如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC=6，BC=4，将四个直角三角形中边长为4的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是(    )

A. 56 B. 24 C. 64 D. 32
10. 如图，在正方形网格内，A、B、C、D四点都在小方格的格点上，则∠BAC+∠DAC=(    )
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 75°
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
11. 若代数式 x+1+1x在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
12. 若关于x的一元二次方程(k−1)x2+2x−2=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是______ ．
13. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC=4，BC=2时，则阴影部分的面积为______ ．


14. 定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a,b}表示a，b中的较大值，如：max{2,4}=4，因此，max{−2,−4}=−2；按照这个规定，若max{x,−x}=x2−3x−22，则x的值是______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）
15. 计算： 48÷ 3− 12× 12+ 24．
四、解答题（本大题共8小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题8.0分)
解方程：2x2−5x+3=0．
17. (本小题8.0分)
如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．

(1)在图1中以格点为顶点画一个面积为5的正方形．
(2)①在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为 10、2 5、 10，
②求此三角形最长边上的高．
18. (本小题8.0分)
观察下列各式：
1+13=2 13, 2+14=3 14, 3+15=4 15,⋯
(1)请你猜想
4+16= ______ ， 5+17= ______ ．
(2)请你将猜想到的规律用含有自然数n(n≥1)的代数式表达出来，并证明其正确性．
19. (本小题10.0分)
现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展.据调查，合肥市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年元月份与三月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．
(1)求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率；
(2)如果平均每人每月最多可投递快递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年四月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？
20. (本小题10.0分)
已知一元二次方程x2−(2k+1)x+k2+k=0．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)若△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5.当△ABC是等腰三角形时，求k的值．
21. (本小题12.0分)
如图所示，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB=AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H(点A，H，B在同一条直线上)，并新修一条路CH，测得BC=3千米，CH=2.4千米，BH=1.8千米．

(1)CH是不是从村庄C到河边的最短路线？请通过计算加以说明；
(2)求原来的路线AC的长．
22. (本小题12.0分)
如图，已知线段AB=10cm，点C在线段AB上，分别以AC，BC，AB为边向下作正方形．
(1)当阴影部分的面积为42cm2时，请求出AC的长；
(2)阴影部分的面积能否为60cm2？如果能，请求出AC的长；如果不能，请说明理由．

23. (本小题14.0分)
如图①，在△ABC中，∠A=90°，O是BC的中点，P、Q分别是AB、AC上一点，连接OP，OQ，PQ，已知OP⊥OQ．
(1)过B作BD//AC交QO延长线于点D．
①求证：O为DQ中点；
②求证：AP2+AQ2=BP2+CQ2．
(2)如图②，若P、Q分别在AB、CA的延长线上，其余条件不变，②中的结论是否成立？若成立，请写出理由：若不成立，请写出正确的结论．


答案和解析

1.【答案】D 
【解析】解：A． 32= 62，不能与 3合并，故本选项不符合题意；
B. 8=2 2，不能与 3合并，故本选项不符合题意；
C. 0.5= 22，不能与 3合并，故本选项不符合题意；
D. 12=2 3，能与 3合并，故本选项符合题意．
故选：D．
先根据二次根式的性质进行化简，再根据同类二次根式的定义判断即可．
本题考查了二次根式的性质与化简，同类二次根式的定义等知识点，能正确根据二次根式的性质进行化简是解此题的关键．

2.【答案】C 
【解析】解：2x2−3x−1=0，
2x2−3x=1，
x2−32x=12，
x2−32x+916=12+916，
(x−34)2=1716，
故选：C．
移项，系数化成1，再配方，即可得出选项．
本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键．

3.【答案】B 
【解析】解：把x=1代入方程得1+k−3=0，
解得k=2．
故选：B．
根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入方程得关于k的一次方程1−3+k=0，然后解一次方程即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．

4.【答案】D 
【解析】
【分析】
此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方能构成直角三角形．
用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
【解答】
解：①1.52+22=2.52，能构成直角三角形；
②( 2)2+( 2)2=22，能构成直角三角形；
③122+162=202，能构成直角三角形；
④0.52+1.22=1.32，能构成直角三角形．
故选：D．  
5.【答案】C 
【解析】解：∵A(−1,0)，B(0,2)，
∴OA=1，OB=2，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB= OA2+OB2= 12+22= 5，
∴AC=AB= 5，
∴OC= 5−1，
∴点C的横坐标为 5−1．
故选：C．
求出OA、OB，根据勾股定理求出AB，即可得出AC，求出OC长即可．
本题考查了勾股定理，实数的大小比较，坐标与图形性质的应用，解此题的关键是求出OC的长．

6.【答案】D 
【解析】解：∵1⊕x=0，
∴x2−x+1=3，
方程化为一般式得到x2−x−2=0，
∵Δ=(−1)2−4×1×(−2)=9>0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：D．
先根据新定义得到x2−x+1=3，再把方程化为一般式，接着计算出根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．

7.【答案】A 
【解析】解：∵一元二次方程x2+4x−1=0的两根分别为m，n，
∴m+n=−4，mn=−1，
∴m+n+mn=−5．
故选：A．
根据一元二次方程根与系数关系即可求解．
此题考查了一元二次方程根与系数关系和代数式的求值，熟练掌握一元二次方程根与系数关系是解题的关键．

8.【答案】D 
【解析】解：如图，设折断处离地面的高度为x尺，则AB=10−x，BC=6，
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即x2+62=(10−x)2．
故选：D．
根据题意画出图形，设折断处离地面的高度为x尺，再利用勾股定理列出方程即可．
本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，领会数形结合的思想的应用．

9.【答案】A 
【解析】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则
x2=82+62=100
所以x=10
所以“数学风车”的周长是：(10+4)×4=56．
故选：A．
由题意∠ACB为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由AC延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个．
本题是勾股定理在实际情况中应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题．

10.【答案】B 
【解析】解：作B关于AC的对称点B′，连接B′A′，B′D，如图所示：

∴∠BAC=∠B′AC，
∵B′A= 12+32= 10，B′D= 12+32= 10，AD= 22+42=2 5，
∴AB′=B′D，B′A2+B′D2=AD2，
∴△AB′D是等腰直角三角形，
∴∠B′AD=45°，
∴∠BAC+∠DAC=∠B′AC+∠DAC=∠B′AD=45°，
故选：B．
作B关于AC的对称点B′，连接B′A′，B′D，则∠BAC=∠B′AC，在网格中运用勾股定理得到线段长，进而证明△AB′D是等腰直角三角形，得到∠B′AD=45°，即∠BAC+∠DAC=45°．
本题考查网格中求角度问题，涉及勾股定理、勾股定理逆定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质是解决问题的关键．

11.【答案】x≥−1且x≠0 
【解析】解：根据题意，得x+1≥0x≠0，
解得x≥−1且x≠0，
故答案为：x≥−1且x≠0．
根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不等于零，列不等式组，解出即可．
本题主要考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，掌握这两个知识点的应用，列出不等式组是解题关键．

12.【答案】k>12且k≠1 
【解析】
【分析】
本题考查了根的判别式以及不等式组，属于基础题．
根据方程有两个不相等的实数根利用根的判别式结合二次项系数不为0，即可得出关于k的不等式组，解不等式组即可得出结论．
【解答】
解：∵关于x的一元二次方程(k−1)x2+2x−2=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=22−4(k−1)×(−2)=8k−4>0k−1≠0,
解得：k>12且k≠1．
故答案为：k>12且k≠1．  
13.【答案】4 
【解析】解：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2，
由勾股定理得：AB= AC2+BC2= 42+22=2 5，
所以阴影部分的面积S=12×π×12+12×π×22+12×4×2−12×π×( 5)2=4．
故答案为：4．
根据勾股定理求出AB，分别求出三个半圆的面积和△ABC的面积，即可得出答案．
本题考查了勾股定理和三角形的面积、圆的面积，能把不规则图形的面积转化成规则图形的面积是解此题的关键．

14.【答案】5+ 332或−1 
【解析】解：分两种情况：
①当max{x,−x}=x=x2−3x−22时，
可知x>−x，解得x>0，从而x2−5x−2=0，
解得x=5+ 332或x=5− 332(舍去)；
②当max{x,−x}=−x=x2−3x−22时，
可知−x>x，解得x<0，从而x2−x−2=0，
解得x=2(舍去)或x=−1；
综上所述：x=5+ 332或x=−1，
根据新定义的运算，分两种情况：①max{x,−x}=x=x2−3x−22；②max{x,−x}=−x=x2−3x−22，解一元二次方程即可得到答案．
本题考查新定义运算解方程，理解新运算，熟练掌握一元二次方程的解法步骤是解决问题的关键．

15.【答案】解：原式= 483− 12×12+2 6
=4− 6+2 6
=4+ 6． 
【解析】本题考查了二次根式的混合运算：先进行二次根式的乘除运算，再把各二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的加减运算．
先根据二次根式的乘除法法则得到原式= 483− 12×12+2 6，然后利用二次根式的性质化简后合并即可．

16.【答案】解：∵2x2−5x+3=0，
因式分解得(2x−3)(x−1)=0，
可得2x−3=0或x−1=0，
解得x1=32，x2=1． 
【解析】将方程左边的多项式利用十字相乘法分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．
本题考查因式分解法解一元二次方程．

17.【答案】解：(1)如图1，正方形ABCD即为所求；

(2)①如图，△ABC即为所求．
②S△ABC=3×4−12×2×4−12×1×3−12×1×3=12−4−32−32=5，
∵AC=2 5，
∴AC边上的高=2×52 5= 5． 
【解析】(1)先求出正方形的边长，再根据勾股定理画出图形即可；
(2)①根据勾股定理画出图形即可；
②求出三角形的面积，再由三角形的面积公式即可得出结论．
本题考查的是作图−应用与设计作图，熟知勾股定理是解答此题的关键．

18.【答案】5 16  6 17 
【解析】解：(1)由 1+13=2 13, 2+14=3 14, 3+15=4 15,⋯得到规律为 n+1n+2=(n+1) 1n+2，
∴ 4+16=5 16， 5+17=6 17，
故答案为：5 16，6 17；
(2)由 1+13=2 13, 2+14=3 14, 3+15=4 15,⋯得到规律为 n+1n+2=(n+1) 1n+2，其中自然数n≥1．
证明如下：∵ n+1n+2= n(n+2)n+2+1n+2
= n2+2n+1n+2
= (n+1)2n+2
∵自然数n≥1，
∴ (n+1)2n+2=(n+1) 1n+2，即 n+1n+2=(n+1) 1n+2，其中自然数n≥1．
(1)根据题中所给等式，得到规律 n+1n+2=(n+1) 1n+2即可得到答案；
(2)根据题中所给等式，得到规律 n+1n+2=(n+1) 1n+2，利用分式运算及二次根式性质化简即可证明等式成立．
本题考查代数式规律问题，涉及二次根式性质，准确根据等式找到规律是解决问题的关键．

19.【答案】解：(1)设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x，
根据题意得：10×(1+x)2=12.1，
解得：x1=10%，x2=−210%(不合题意，舍去)．
答：该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为10%．
(2)12.1×(1+10%)=13.31(万件)，
21×0.6=12.6(万件)．
∵12.6<13.31，
∴该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务．
设增加m名才能完成今年四月份的快递投递任务，
(21+m)×0.6≥13.31，
m≥7160，
∴应该增加2人． 
【解析】(1)设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x，根据今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
(2)根据五月份完成投递的快递总件数结合完成投递的快递总件数即可算出今年6月份的快递投递总件数，再根据投递快递总件数=每人投递件数×人数即可算出该公司现有的26名快递投递业务员最多能够完成的任务量，二者比较后即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：(1)根据三月份与五月份完成投递的快递总件数之间的关系列出关于x的一元二次方程；(2)根据该公司每月的投递总件数的增长率相同算出今年6月份的快递投递任务量．

20.【答案】(1)证明：∵Δ=[−(2k+1)]2−4(k2+k)=1>0，
∴无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)解：∵Δ=1>0，
∴AB≠AC，
∴AB、AC中有一个数为5．
当x=5时，原方程为：25−5(2k+1)+k2+k=0，即k2−9k+20=0，
解得：k1=4，k2=5．
当k=4时，原方程为x2−9x+20=0，
∴x1=4，x2=5．
∵4、5、5能围成等腰三角形，
∴k=4符合题意；
当k=5时，原方程为x2−11x+30=0，
解得：x1=5，x2=6．
∵5、5、6能围成等腰三角形，
∴k=5符合题意．
综上所述：k的值为4或5． 
【解析】(1)根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ=1>0，由此可证出：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)由Δ=1>0可知AB≠AC，代入x=5可求出k的值，将k值代入原方程，解方程可得出AB、AC的长度，由三角形的三边关系可确定两个k值均符合题意，此题得解．
本题考查了根的判别式、一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形三边关系，解题的关键是：(1)牢记“当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根”；(2)代入x=5求出k值．

21.【答案】解：(1)是，
理由是：在△CHB中，CH2+BH2=2.42+1.82=9，BC2=9，
∴CH2+BH2=BC2，
∴CH⊥AB，
所以CH是从村庄C到河边的最短路线；
(2)设AC=x，
在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x−1.8，CH=2.4，
由勾股定理得：AC2=AH2+CH2，
∴x2=(x−1.8)2+2.42，
解这个方程，得x=2.5，
答：原来的路线AC的长为2.5千米． 
【解析】(1)根据勾股定理的逆定理解答即可；
(2)根据勾股定理解答即可．
此题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理的逆定理和定理解答．

22.【答案】解：(1)设AC长为x cm，则BC的长为(10−x)cm，
由题意得，
x2+(10−x)2+42=102，
化简整理得，x2−10x+21=0，
解得，x1=3，x2=7，
当AC=3cm时，BC=10−3=7cm，
当AC=7cm时，BC=10−7=3cm，
答：AC的长为7cm或者3cm．

(2)阴影部分面积不可能是60cm2，
理由：假设AC长为ycm时阴影部分面积为60cm2，
由题意可得，
y2+(10−y)2+60=102，
化简整理得，y2−10y+30=0，
此方程根的判别式Δ=(−10)2−4×30=−20<0，说明该方程无解，
∴阴影部分面积不可能是60cm2． 
【解析】第(1)问设AC长为x，根据两个小正方形面积与阴影部分面积和等于大正方形面积可列出一元二次方程，求解即可．
第(2)问可先假设阴影部分面积可以是60cm2，然后根据沿用第(1)问等量关系列出一元二次方程，再根据该一元二次方程是否有解来判断阴影部分面积能否为60cm2．
本题考查一元二次方程的应用，找出等量关系并列出一元二次方程时解决此类问题的关键．

23.【答案】(1)证明：①∵O是BC的中点，
∴OB=OC，
∵BD//AC，
∴∠D=∠CQO，
在△BOD和△COQ中，
∠D=∠CQO ∠BOD=∠COQ OB=OC ，
∴△BOD≌△COQ(AAS)，
∴OD=OQ，
∴O为DQ中点；
②如图①，过点C作CM//AB，交PO的延长线于点M，连接QM，

∴∠CMO=∠BPO，∠COM=∠BOP，
∵∠A=90°，O是BC的中点，
∴∠MCQ=90°，OB=OC，
在△COM和△BOP中，
∠CMO=∠BPO ∠COM=∠BOP OB=OC ，
∴△COM≌△BOP(AAS)，
∴CM=BP，OM=OP，
∵OP⊥OQ，
∴OQ垂直平分PM，
∴PQ=MQ，
在Rt△QCM中，由勾股定理得，CQ2+CM2=MQ2，
∴CQ2+BP2=PQ2，
在Rt△APQ中，由勾股定理得，AP2+AQ2=PQ2，
∴AP2+AQ2=BP2+CQ2；
(2)解：②中的结论成立，理由如下：
如图②，过点C作CN//AP，交PO的延长线于点N，连接QN，

∴∠NCO=∠PBO，∠NOC=∠POB，
∵CN//AP，∠BAC=90°，O是BC的中点，
∴∠NCQ=90°，OB=OC，
在△CON和△BOP中，
∠NCO=∠PBO OC=OB ∠NOC=∠POB ，
∴△CON≌△BOP(ASA)，
∴CN=BP，ON=OP，
∵OP⊥OQ，
∴OQ垂直平分PM，
∴PQ=NQ，
在Rt△QCN中，由勾股定理得，CQ2+CN2=NQ2，
∴CQ2+BP2=PQ2，
在Rt△APQ中，由勾股定理得，AP2+AQ2=PQ2，
∴AP2+AQ2=BP2+CQ2． 
【解析】(1)①利用AAS证明△BOD≌△COQ，根据全等三角形的性质即可得解；
②过点C作CM//AB，交PO的延长线于点M，连接QM，利用AAS证明△COM≌△BOP，根据全等三角形的性质及勾股定理求解即可；
(2)过点C作CN//AP，交PO的延长线于点N，连接QN，利用AAS证明△CON≌△BOP，根据全等三角形的性质及勾股定理求解即可．
此题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质、勾股定理并作出合理的辅助线是解题的关键．