广东省珠海市2024-2025学年高二下学期期中教学质量检测数学试题（原卷版+解析版）

这是一份广东省珠海市2024-2025学年高二下学期期中教学质量检测数学试题（原卷版+解析版），共12页。试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁， 如图，雪花形状图形的作法是， 数列满足，，其前项积为，则， 下列函数求导错误的是， 以下关于数列的结论正确的是， 已知函数等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上，用2B铅笔将考生号填涂在答题卡相应位置上.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知函数，则（ ）.
A. B. C. D.
2. 已知数列是等比数列，若，，则的值为（ ）
A. 16B. 4C. -2D. -4
3. 已知数列满足，则数列的最小项是第（ ）项
A. 5B. 6C. 7D. 8
4. 已知函数的导函数的图象如图所示，下列说法不正确的是（ ）

A. 函数在上单调递减
B. 函数在上单调递增
C. 函数处取得极小值
D. 函数共有两个极小值点
5. 如图，雪花形状图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边.反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线.设原正三角形（图①）的边长为2，把图①，图②，图③，图④中图形的面积依次记为，，，，面积的改变量，，则（ ）

A. B. C. D.
6. 数列满足，，其前项积为，则（ ）
A. 1B. -6C. 2D. 3
7. 函数，当时，恒成立，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8 已知函数所有极小值点从小到大排列成数列，则（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列函数求导错误的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 以下关于数列的结论正确的是（ ）
A. 若数列的前项的和，则数列为等差数列
B. 若数列的前项的和，则数列为等比数列
C. 若数列满足，则数列为等差数列
D. 若数列满足，则数列为等比数列
11. 已知函数，则下列结论错误的是（ ）
A. 函数存在两个不同的零点
B. 函数只有极大值没有极小值
C. 当时，方程有且只有两个实根
D. 若时，，则t的最小值为2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数，则在处的导数是______．
13. 已知等差数列的前n项和为，且，.则数列的通项公式______.
14. 人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿在《流数法》一书中给出了高次代数方程的一种数值求法——牛顿法，用“作切线”的方法求方程的近似解.如图，方程的根就是函数的零点，取初始值，在处的切线与轴的交点横坐标为，在处的切线与轴的交点横坐标为，一直继续下去，得到、、、、，它们越来越接近.若，取，则用牛顿法得到的的近似值______，______.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知数列的首项，且满足.
（1）求证：是等比数列，并求出的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
16. 设，，，两个函数的图象如图所示.
（1）判断，的图象与，之间的对应关系；
（2）根据，的位置关系，写出一个关于和的不等式，并证明.
17. 已知函数.
（1）讨论函数单调性；
（2）设，若函数有两个零点，求的取值范围
18. 已知函数.
（1）若，且是增函数，求a的最小值；
（2）证明：曲线是中心对称图形；
（3）若当且仅当成立，求b的取值范围.
19. 若，都存在唯一的实数，使得，则称函数存在“源数列”.已知.
（1）证明：存源数列；
（2）（i）若恒成立，求的取值范围；
（ii）记的源数列为，证明：的前项和.
2024-2025学年第二学期期中教学质量监测
高二数学
本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上，用2B铅笔将考生号填涂在答题卡相应位置上.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知函数，则（ ）.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据导数的极限定义，结合求导公式计算即得.
【详解】由可得，
则.
故选：B.
2. 已知数列是等比数列，若，，则的值为（ ）
A. 16B. 4C. -2D. -4
【答案】A
【解析】
【分析】设数列的公比为，利用条件求得，整体代入通项，即可求得.
【详解】设数列的公比为，
由，解得，
则
故选：A.
3. 已知数列满足，则数列的最小项是第（ ）项
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定的递推公式，探讨数列单调性求出最小项.
【详解】数列中，由，得，由，得，
则当时，；当时，，
即，
所以数列的最小项是第6项.
故选：B
4. 已知函数的导函数的图象如图所示，下列说法不正确的是（ ）

A. 函数在上单调递减
B. 函数在上单调递增
C. 函数在处取得极小值
D. 函数共有两个极小值点
【答案】B
【解析】
【分析】根据导函数的图象，判断函数的单调性和极值，对选项逐一判断即得.
【详解】由图知，当或时，，
当或时，，
即函数和上单调递减；
在和上单调递增.
对于A，由上分析可知，函数在上单调递减，故A正确；
对于B，函数在上单调递减，在上单调递增，故B错误；
对于C，因函数在上单调递减，在上单调递增，
故当时取得极小值，故C正确；
对于D，因函数在上单调递减，在上单调递增，
故当时取得极小值，结合C项结果可知，函数共有两个极小值点，故D正确.
故选：B.
5. 如图，雪花形状图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边.反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线.设原正三角形（图①）的边长为2，把图①，图②，图③，图④中图形的面积依次记为，，，，面积的改变量，，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据图①，②，③的雪花图形的作法规律，依次求出，即可求得.
【详解】由图知，，
，
，
故.
故选：C.
6. 数列满足，，其前项的积为，则（ ）
A. 1B. -6C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，依次求出，进而确定数列的周期，再结合周期性求解.
【详解】数列中，由，得，而，
则，因此数列是周期数列，周期为4，且，
所以.
故选：C
7. 函数，当时，恒成立，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】变形恒成立的不等式，分离参数构造函数，利用导数求出最大值即可.
【详解】，，
令函数，求导得，当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，，则，
所以k的取值范围是.
故选：D
8. 已知函数所有极小值点从小到大排列成数列，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用导数求出函数的极小值点，可得出，再利用诱导公式可求得的值.
【详解】因为，则，
由，即，可得，
由，即，可得，
所以，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，函数的极小值点为，
将函数所有极小值点从小到大排列成数列，
则，，易知数列为等差数列，
且数列的公差为，则，
因此，.
故选：D .
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列函数求导错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据导数公式及复合函数求导计算判断即可.
【详解】对于A：，A选项错误；
对于B：，B选项错误；
对于C：，C选项正确；
对于D：，D选项错误.
故选：ABD.
10. 以下关于数列的结论正确的是（ ）
A. 若数列的前项的和，则数列为等差数列
B. 若数列的前项的和，则数列为等比数列
C. 若数列满足，则数列为等差数列
D. 若数列满足，则数列为等比数列
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A，B，根据数列的前项的和与通项的关系求得数列通项，即可判断；对于C，D，利用等差中项与等比中项的概念，结合数列的项的特征即可判断.
【详解】对于A，由可得，
当时，，
因时满足上式，且，故数列等差数列，A正确；
对于B，由可得，
当时，，
因时，，故数列不是等比数列，故B错误；
对于C，由可知，是和的等差中项，故数列为等差数列，故C正确；
对于D，由可知，当都不为0时，是的等比中项，此时数列为等比数列；
但当，且中至少一个为0时，等式成立，但数列不构成等比数列，故D错误.
故选：AC.
11. 已知函数，则下列结论错误的是（ ）
A. 函数存在两个不同的零点
B. 函数只有极大值没有极小值
C. 当时，方程有且只有两个实根
D. 若时，，则t的最小值为2
【答案】BD
【解析】
【分析】由，得到，可判定A正确；求得，得出函数的单调区间，可判定B错误；根据函数的最小值是，可判定C正确；由函数的单调性和极值，可判定时，，可判定D错误.
【详解】对于A中，由，可得，解得，所以A正确；
对于B中，由，
令时，可得，当时，或，
所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是，
所以是函数极小值，是函数的极大值，所以B错误；
对于C中，当时，，根据B可知，函数的最小值是，
可得函数的大致图象，

所以当时，方程有且只有两个实根，所以C正确；
对于D中，由B知函数的单调递减区间是，单调递增区间是，
其中，当时，即在区间时，可得，所以D错误.
故选：BD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数，则在处的导数是______．
【答案】##
【解析】
【分析】求导可得，则，求出即可求解.
【详解】由题意知，，
令，得，解得，
所以在的导数为.
故答案：
13. 已知等差数列的前n项和为，且，.则数列的通项公式______.
【答案】
【解析】
【分析】设等差数列的公差为，利用等差数列的基本量运算，结合条件列出方程组，求出，即得数列通项.
【详解】设等差数列的公差为，
由可得，即①，
由可得，即②，
由① ， ② 联立，解得，，
故.
故答案为：.
14. 人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿在《流数法》一书中给出了高次代数方程的一种数值求法——牛顿法，用“作切线”的方法求方程的近似解.如图，方程的根就是函数的零点，取初始值，在处的切线与轴的交点横坐标为，在处的切线与轴的交点横坐标为，一直继续下去，得到、、、、，它们越来越接近.若，取，则用牛顿法得到的的近似值______，______.

【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】利用导数求出曲线在处的切线方程，可求出的值，再利用导数求出曲线在处的切线方程，可求出的值.
【详解】因为，，则，
且，则，
所以，曲线在处的切线方程为，即，
由题意可得，解得，
，，
所以，曲线在处的切线方程为，即，
由题意可得，解得.
故答案为：；.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知数列的首项，且满足.
（1）求证：是等比数列，并求出的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）证明见解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）由递推关系把拆到等号两边，变成后推出即可；
（2）求出数列的通项，再用错位相减法求出即可.
【小问1详解】
证明：
所以是以为首项，为公比的等比数列.
所以，所以.
【小问2详解】
因为，所有，
，
，
作差可得，
所以.
16. 设，，，两个函数图象如图所示.
（1）判断，的图象与，之间的对应关系；
（2）根据，的位置关系，写出一个关于和的不等式，并证明.
【答案】（1）答案见解析；
（2），证明见解析.
【解析】
【分析】（1）分别求出函数，的导函数，利用导函数的符号及大小分别判断函数增长的快慢来判断图象.
（2）结合图象及（1）的结论，写出不等式并利用导数证明即得.
【小问1详解】
函数，，求导得，，
当时，；当时，；
当时，，函数，在上都是增函数，
在区间上，的图象比的图象要“陡峭”；
在区间上，的图象比的图象要“平缓”，
所以函数，的图象依次是图中的，.
【小问2详解】
由（1）及图象知，，
设，求导得，
当时，，当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，，
所以.
17. 已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）设，若函数有两个零点，求的取值范围
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）求导，分和两种情况讨论，根据导数的符号，即可求出函数的单调区间；
（2）函数有两个零点，即方程有两个不相等的实数根，即方程有两个不相等的实数根，即直线与函数的图象有两个交点，令，求出函数的单调区间，然后画出函数的简图，结合图像即可得出答案.
【小问1详解】
函数的定义域为，，
当时，，所以在上单调递减；
当时，当时，，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增；
综上，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
【小问2详解】
，
函数有两个零点，即方程有两个不相等的实数根，
也即方程有两个不相等的实数根，
即直线与函数的图象有两个交点，
令，则，
当或时，，当时，，
所以函数在和上单调递减，在上单调递增，
所以，，
当时，，且，
所以，函数的图象大致如图，
则的取值范围是.

18. 已知函数.
（1）若，且是增函数，求a的最小值；
（2）证明：曲线是中心对称图形；
（3）若当且仅当成立，求b的取值范围.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）求导，分析可知，求出可求的最小值；
（2）根据题意可证，即可得结果；
（3）分析可知为的一个解，即可得，结合对称性可知原题意等价于在内恒成立，设，构建函数，可得在上恒成立，求导，结合恒成立问题分析求解即可.
【小问1详解】
若时，，
可知的定义域为，且，
若是增函数，即在内恒成立，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
即，则，解得，
所以的最小值为.
【小问2详解】
因为的定义域为，
且，
所以图象为中心对称图形，且对称中心为.
【小问3详解】
因为当且仅当成立，
结合（2）所得对称中心，知为的一个解，
即，可得，关于点对称，
根据对称性可知：原题意等价于在内恒成立，
即为在上恒成立，
设，则，得在上恒成立，
设，可知在上恒成立，
则，
因为，则，可得，
当，，
故恒成立，可知在上为增函数，则，符合题意；
当，当时，，
可知在内单调递减，故，不合题意；
综上所述：b的取值范围为.
【点睛】思路点睛：一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解，而解的端点为函数对一个方程的根或定义域的端点，另外，根据函数不等式的解确定参数范围时，可先由恒成立得到参数的范围，再根据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况.
19. 若，都存在唯一的实数，使得，则称函数存在“源数列”.已知.
（1）证明：存在源数列；
（2）（i）若恒成立，求的取值范围；
（ii）记的源数列为，证明：的前项和.
【答案】（1）证明见解析；
（2）（i）；（ii）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）由由函数单调性和值域结合“源数列”定义即可证明；
（2）（i）分离参数，利用导数研究函数的单调性求解最值即可求解；
（ii）由（i）得，故，结合得到，即可推出，继而可用放缩法得到，从而利用裂项法求和，证明不等式.
【小问1详解】
证明：由，
得，
则在区间上单调递减.
又，当且，，
所以的值域为，
所以，令可知其在区间上存在唯一解，不妨设解为，
即，都存在唯一的实数，使得，
即存在源数列.
【小问2详解】
（i）恒成立，即恒成立.
令，即恒成立.
令，则，
令，，则，当且仅当时取等号，
所以在区间上单调递减，
所以，即，所以在区间上单调递增，
可得，故.
（ii）证明：由（i）得，故，
则（且），
当时，；
当时，.
综上，的前项和.
【点睛】关键点睛：证明的前项和的关键是利用（i）得到，进而推出，再利用放缩法得到.