2023-2024学年广东省广州市海珠区高二下学期期末教学质量检测数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年广东省广州市海珠区高二下学期期末教学质量检测数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在等差数列an中，Sn为其前n项和，若S3=1，S6=4，则S9=( )
A. 7B. 8C. 9D. 12
2.已知随机变量ξ服从正态分布N3,σ2，且P(ξ0，证明PMN>PM；
②记事件E=“B课外知识讲座有同学选择”，事件F=“至少有两个课外知识讲座有同学选择”，判断事件E，F是否独立，若独立，说明理由；若不独立，求ρE,F．
19.(本小题12分)
已知函数fx=e2x+21−aex−2ax．
(1)讨论fx的单调性；
(2)当a>0时，求证：fx>lna−2a−12+32．
参考答案
1.C
2.D
3.B
4.C
5.D
6.B
7.C
8.D
9.BC
10.ABD
11.BCD
12.64
13.165
14.{0}∪(4e2,+∞)
15.解：(1)设切线l的斜率为kl，∵直线x+y=0的斜率为−1， ∴kl⋅(−1)=−1∴kl=1，
又∵f′(x)=2x−λx2，
∴kl=f′(1)=2−λ=1，∴λ=1，即f(x)=x2+1x ，
∴点(1,f(1))为(1,2) ∴切线l的方程为：y−2=kl(x−1)，
即：y−2=x−1化简得：x−y+1=0；
(2)因为x>0.由f(x)=x2+λx≥1可化为λ≥x−x3，
设g(x)=x−x3，则g′(x)=1−3x2，
令g′(x)=1−3x2>0，得03.841=x005，
根据小概率值α=0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为喜欢足球与性别之间有关联．
(2)在分层抽样中，喜欢足球的男生有6人，女生有2人，则X的可能取值为1，2，3，
且P(X=1)=C61C22C83=328，P(X=2)=C62C24C83=1528，P(X=3)=C63C20C83=514，
则X的分布列为
则E(X)=1×328+2×1528+3×514=6328=94．
17.(1)证明：
思路一：由题可知，an+1−2=3an−4an−1−2=an−2an−1，
所以1an+1−2=1an−2+1，则1an+1−2−1an−2=1，
又因为1a1−2=152−2=2，
所以1an−2}是以2为首项，1为公差的等差数列，
则1an−2=2+(n−1)⋅1=n+1，
所以an=1n+1+2=2n+3n+1；
思路二：由题可知，1an+1−2=13an−4an−1−2=an−1an−2，
所以1an+1−2−1an−2=an−1an−2−1an−2=1，
又因为1a1−2=152−2=2，
所以{1an−2}是以2为首项，1为公差的等差数列，
则1an−2=2+(n−1)⋅1=n+1，
所以an=1n+1+2=2n+3n+1．
(2)解： ①bn=9n(an−2)×10n=1(an−2)×(910)n=(n+1)×(910)n，
设第n项(n⩾2)最大，则bn⩾bn+1bn⩾bn−1,
(n+1)×(910)n≥n×(910)n−1(n+1)×(910)n≥(n+2)×(910)n+1，
n+1n≥109109≥n+2n+1，∴8≤n≤9，
所以数列{bn}第8、9项取得最大．
②Sn=2×910+3×(910)2+⋯+(n+1)×(910)n⋯⋯(1)式，
(1)式两边同时乘以910得：
910Sn=2×(910)2+3×(910)3+⋯+(n+1)×(910)n+1⋯⋯(2)式，
(1)式−(2)式得：
110Sn=2×910+(910)2+(910)3+⋯+(910)n−(n+1)×(910)n+1，
110Sn=910+[910+(910)2+(910)3+⋯+(910)n]−(n+1)×(910)n+1
110Sn=910+9[1−(910)n]−(n+1)×(910)n+1
Sn=9+90[1−(910)n]−10(n+1)×(910)n+1=99−9n+110n−1−(n+1)9n+110n．
18.解：(1)由题意可知，X的可能的取值为0，1，2，3
P(X=0) =2333=827，P(X=1) =C31×2233=1227
P(X=2) =C32×233=627，
P(X=3)=133=127则X的分布列为
则E(X)=0×827+1×1227+2×627+3×127=1
(2) ①证明：因为ρ(M,N)=P(MN)−P(M)P(N) P(M)P(M)P(N)P(N)，且ρ(M,N)>0所以P(MN)−P(M)P(N)> 0，
即P(MN)P(N)>P(M)，
而P(M|N)=P(MN)P(N)，
所以P(M|N)> P(M)成立．
②事件E:B课外知识讲座有同学选择，则事件E:B课外知识讲座没有同学选择由(1)可知P(E)=C30(13)0(23)3=827，
所以P(E)=1−P(E)=1927，
事件F:至少有两个课外知识讲座有同学选择，则事件F:有一个课外知识讲座有同学选择，P(F)=C3133=19，
所以P(F)=1−P(F)=89
事件EF:至少有两个课外知识讲座有同学选择且B课外知识讲座有同学选择，分为两种情况：一种是三个课外知识讲座都有同学选择;另一种是两个课外知识讲座都有同学选择且B课外知识讲座有同学选择．
故P(EF)=A3333+C21(C31+C32)33=23因为P(EF)≠P(E)P(F)，所以事件E，F不相互独立．ρ(E,F)=P(EF)−P(E)P(F) P(E)P(E)P(F)P(F)=23−1927×89 1927×827×89×19，
化简得ρ(E,F)=5 1976．
19.解：(1)f′(x)=2e2x+2(1−a)ex−2a=2(ex−a)(ex+1)
(Ⅰ)当a≤0时，f′(x)>0，f(x)在R上单调递增．
(Ⅱ)当a>0时，令f′(x)=0，得x=lna
当x>lna时，f′(x)>0;当x0时f(x)在(lna,+∞)上单调递增;在(−∞,lna)上单调递减．
(2)由(1)知，当a>0时，函数f(x)在x=lna处取得最小值，f(lna)=e2lna+2(1−a)elna−2alna=−a2+2a−2alna
要证f(x)>lna−(2a−1)2+32，即证3a2−2a−2alna−lna−12>0现证lna≤a−1
∵设g(a)=a−1−lna
∴g′(a)=1−1a
当令g′(a)=0得a=1当g′(a)>0得a>1，当g′(a)0
即a2−a+12>0，
∵a2−a+12=(a−12)2+14>0显然成立
所以f(x)>lna−(2a−1)2+32对a>0恒成立
x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
4.5
X
0
1
2
3
P
q
0.2
0.1
0.2
性别
足球
合计
喜欢
不喜欢
男生
30
20
50
女生
10
20
30
合计
40
40
80
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
X
0
1
2
3
P
827
1227
627
127