广东省广州市南沙区2024-2025学年下学期八年级第一次月考考试数学模拟卷（原卷版+解析版）

这是一份广东省广州市南沙区2024-2025学年下学期八年级第一次月考考试数学模拟卷（原卷版+解析版），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 若代数式有意义，则x应满足的条件为（ ）
A B. C. D.
2. 若成立，则的值可以是( )
A. -2B. 0C. 2D. 3
3. 已知，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，已知四边形，，，，，则的长为（ ）
A. B. C. 4D.
5. 小雯在学习了勾股定理的证明后，尝试制作了四个全等三角形纸板，并拼出一个新图形如图所示，若，，则正方形的周长为（ ）
A. 14B. 17C. 20D. 24
6. 下列各组数中，是勾股数的为（ ）
A 1，1，B. 1.5，2，2.5C. 4，5，6D. 5，12，13
7. 如图，点在正方形的内部，且是等边三角形，连接，，则（ ）
A. B. C. D.
8. 小明学了在数轴上表示无理数的方法后，进行了练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点，然后过点作，使；再以O为圆心，的长为半径作弧，交数轴正半轴于点，那么点表示的数是（ ）
A. 2.2B. C. D.
9. 如图，在四边形中，已知，，，则的最小值是（ ）

A. 3B. 6C. D.
10. 高空抛物极其危险，是我们必须杜绝行为．据研究，高空抛物下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响）．记从高空抛物到落地所需时间为，从高空抛物到落地所需时间为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分）
11. 下列各组数为勾股数的是______（填序号）．
①，2，3；②3，4，7；③7，12，13；④8，15，17；⑤9，40，41．
12. 已知，则的值为_____．
13. 计算：______．
14. 若式子在实数范围内有意义，则的值可以是_________．
15. 有两棵树，一棵高11米，另一棵高4米，两树相距24米，一只鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，则小鸟至少飞行_____米；
16. 如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为，，，，若，，，则的值是________；
三、解答题（解答应写出必要的文字说明或演算步骤，共8题，总分72分。）
17. 计算：
18. 先化简，再求值：（a﹣）（a+）﹣a（a﹣），其中a＝．
19. （1）计算：
（2）解方程组：
20. 如图，在中，．在边上有一点P，连接，且，若，求的长．
21. 周末，小明和小亮去汉风公园放风筝，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：
测得水平距离的长为米；
根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米；
牵线放风筝的小明的身高为米．
（1）求风筝的垂直高度；
（2）如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？
22. 如图，在中，，，，D为上一点，若是的角平分线，求线段的长．

23. 阅读与思考
配方思想，是初中数学重要的思想方法之一，用配方思想方法，可以简化数学运算，常用的配方公式有：，．用配方思想方法，解答下面问题：
（1）已知：，求的值；
（2）已知：，，求值；
（3）已知：，，（，），求值．
24. 阅读：如图1，在△ABC中，3∠A+∠B＝180°，BC＝8，AC＝10，求AB的长．
小明的思路：如图2，作BE⊥AC于点E，在AC的延长线上取点D，使得DE＝AE，连接BD，易得∠A＝∠D，△ABD为等腰三角形，由3∠A+∠B＝180°和∠A+∠ABC+∠BCA＝180°，易得∠BCA＝2∠A，△BCD为等腰三角形，依据已知条件可得AE和AB的长．
解决下列问题：
（1）图2中，AE＝ ，AB＝ ；
（2）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a、b、c．如图3，当3∠A+2∠B＝180°时，用含a，c式子表示b．
2025年初二下册月考模拟检测
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本题共10个小题，每小题3分，共30分）
1. 若代数式有意义，则x应满足的条件为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解，
本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是：熟练掌握二次根式有意义的条件．
【详解】解：由题意得：，
∴，
故选：B．
2. 若成立，则值可以是( )
A. -2B. 0C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式的有意义的条件解答即可．
【详解】若，
则，
解得：，
故选：B．
【点睛】本题考查的是二次根式的化简，主要是判断根号有意义的条件．
3. 已知，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次根式加法运算，分母有理化，熟练掌握运算法则是解题的关键．
将化为，然后把，代入求值即可．
【详解】解：
，
∵，，
∴原式，
故选：．
4. 如图，已知四边形，，，，，则的长为（ ）
A. B. C. 4D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，利用辅助线构建直角三角形是解题的关键．延长和交于点，根据题意可推出，然后利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理可求得，，即可得到答案．
【详解】解：延长和交于点，如图，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
在中，，，，
，
．
故选：D．
5. 小雯在学习了勾股定理的证明后，尝试制作了四个全等三角形纸板，并拼出一个新图形如图所示，若，，则正方形的周长为（ ）
A. 14B. 17C. 20D. 24
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，二元一次方程组的应用．构造二元一次方程组求得两直角边的长，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：设每个三角形的长直角边为a，短直角边为b，
由题意可得，，
解得，
∴，
∴正方形的周长为，
故选：C．
6. 下列各组数中，是勾股数的为（ ）
A. 1，1，B. 1.5，2，2.5C. 4，5，6D. 5，12，13
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股数问题，若三个正整数满足两较小数的平方和等于最大数的平方，那么这三个数是勾股数，据此求解即可
【详解】解：A、不是正整数，不是勾股数，不符合题意；
B、1.5，2.5不是正整数，不是勾股数，不符合题意；
C、，不是勾股数，不符合题意；
D、因为，所以5，12，13是勾股数，符合题意．
故选：D．
7. 如图，点在正方形的内部，且是等边三角形，连接，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据正方形与等边三角形的性质得出，，进而求得，即可求解．
【详解】解：∵点在正方形内部，且是等边三角形，是正方形的对角线，
∴，，
∴，
∴
故选C．
8. 小明学了在数轴上表示无理数的方法后，进行了练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点，然后过点作，使；再以O为圆心，的长为半径作弧，交数轴正半轴于点，那么点表示的数是（ ）
A. 2.2B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查勾股定理与无理数，实数与数轴，利用勾股定理求出的长，即可得到的长，进而得到点表示的数即可．
【详解】解：由题意，得：，，
∴，
∴点表示的数是；
故选：B．
9. 如图，在四边形中，已知，，，则的最小值是（ ）

A. 3B. 6C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】如图，过作，使，连接，，则，四边形是平行四边形，，，由勾股定理得，，根据，求解作答即可．
【详解】解：如图，过作，使，连接，，

∴，四边形是平行四边形，
∴，，
由勾股定理得，，
∵，
∴的最小值为，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系，两点之间线段最短等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
10. 高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响）．记从高空抛物到落地所需时间为，从高空抛物到落地所需时间为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的应用，根据题意求出、，再计算与的比值即可得解，正确进行计算是解此题的关键．
【详解】解：由题意得：，，
∴，
故选：A．
二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分）
11. 下列各组数为勾股数的是______（填序号）．
①，2，3；②3，4，7；③7，12，13；④8，15，17；⑤9，40，41．
【答案】④⑤##⑤④
【解析】
【分析】本题考查勾股数，关键是掌握勾股数的定义．勾股数：满足 的三个正整数，称为勾股数，由此即可判断．
【详解】解：①不是整数，故不是勾股数，不符合题意；
②，故不是勾股数；
③，故不是勾股数；
④，故是勾股数；
⑤，故是勾股数，
故答案为：④⑤．
12. 已知，则的值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了代数式求值，二次根式的运算，把式子转化成，再把的值代入计算即可求解，正确对代数式进行变形是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴
，
故答案为：．
13. 计算：______．
【答案】##
【解析】
【分析】根据平方差根式将原式进行变形，然后再计算．
【详解】
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，能正确变形，根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
14. 若式子在实数范围内有意义，则的值可以是_________．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了分式及二次根式有意义的条件，掌握分式及二次根式有意义的条件是解题的关键．根据分式及二次根式有意义的条件即可得出答案．
【详解】解：∵式子在实数范围内有意义，
，
，
∴的值可以是1．
故答案为：1．
15. 有两棵树，一棵高11米，另一棵高4米，两树相距24米，一只鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，则小鸟至少飞行_____米；
【答案】25
【解析】
【分析】本题考查正确运用勾股定理．根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出即可．
【详解】解：如图，设大树高为米，小树高为米，
连接，平移到，则米，，两树相距米，
∴（米），
在中，（米），
故小鸟至少飞行米．
故答案为：25．
16. 如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为，，，，若，，，则的值是________；
【答案】18
【解析】
【分析】本题考查勾股定理，解决本题的关键是将面积转化为勾股定理求边长的平方即可．连接，构造和，然后在中利用勾股定理求出，在中求出，进而求得的值．
【详解】解：如图，连接，
在中，，
．
在中，，
，
解得：．
故答案为：18．
三、解答题（解答应写出必要的文字说明或演算步骤，共8题，总分72分。）
17. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】先运用平方差公式，完全平方公式进行运算，然后进行加减运算即可．
【详解】解：原式
【点睛】本题考查了运用平方差公式，完全平方公式进行运算，二次根式的乘法．解题的关键在于熟练掌握乘法公式．
18. 先化简，再求值：（a﹣）（a+）﹣a（a﹣），其中a＝．
【答案】，．
【解析】
【分析】先利用乘法公式展开，再合并得到原式=a-3，然后把a的值代入二次根式的混合运算即可．
【详解】解：（a﹣）（a+）﹣a（a﹣）
，
当时，原式．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．
19. （1）计算：
（2）解方程组：
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查二次根式的减法运算，解二元一次方程组：
（1）先化简，再合并同类二次根式即可；
（2）加减消元法解方程组即可．
【详解】解：（1）原式
（2）
②，得③
得，，解得：
把代入②，得：
所以方程组的解是．
20. 如图，在中，．在边上有一点P，连接，且，若，求的长．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查勾股定理．根据题意设，则，继而根据勾股定理列式计算即可．
【详解】解：∵，
∴设，则，
∵根据勾股定理可得：，
∴，解得：，
∴的长为．
21. 周末，小明和小亮去汉风公园放风筝，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：
测得水平距离的长为米；
根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米；
牵线放风筝的小明的身高为米．
（1）求风筝的垂直高度；
（2）如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？
【答案】（1）米；
（2）米．
【解析】
【分析】（）勾股定理求出的长，再加上小明的身高即可；
（）勾股定理求出的长，此时缩短长度为，即可得出结果；
本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出直角三角形是解题的关键．
【小问1详解】
解：由题意可知：米，，米，
在中，由勾股定理得，，
∴米，
∴（米），
答：风筝的垂直高度为米；
小问2详解】
解：∵风筝沿方向下降米，保持不变，如图，
∴此时的（米），
即此时在中，米，有（米），
相比下降之前，缩短长度为（米），
答：他应该往回收线米．
22. 如图，在中，，，，D为上一点，若是的角平分线，求线段的长．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的性质，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方，以及角平分线上的点到两边距离相等．过点D作于点E，易得，根据角平分线的性质得出，通过证明，得出，则，设，则，在中，，据此列出方程求解即可．
【详解】解：过点D作于点E，
∵，，，
∴，
∵是的角平分线，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
设，则，
中，，
即，
解得：，
∴．

23. 阅读与思考
配方思想，是初中数学重要的思想方法之一，用配方思想方法，可以简化数学运算，常用的配方公式有：，．用配方思想方法，解答下面问题：
（1）已知：，求的值；
（2）已知：，，求的值；
（3）已知：，，（，），求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查完全平方公式的变形以及二次根式的混合运算，熟练掌握公式解答本题的关键．
（1）运用完全平方公式的变形求解即可；
（2）分别求出的值，再将所要求的式子变形，最后整体代入计算即可；
（3）将变形为，最后整体代入计算即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴；
【小问2详解】
解：
【小问3详解】
解：∵，，
∴．
24. 阅读：如图1，在△ABC中，3∠A+∠B＝180°，BC＝8，AC＝10，求AB的长．
小明的思路：如图2，作BE⊥AC于点E，在AC的延长线上取点D，使得DE＝AE，连接BD，易得∠A＝∠D，△ABD为等腰三角形，由3∠A+∠B＝180°和∠A+∠ABC+∠BCA＝180°，易得∠BCA＝2∠A，△BCD为等腰三角形，依据已知条件可得AE和AB的长．
解决下列问题：
（1）图2中，AE＝ ，AB＝ ；
（2）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a、b、c．如图3，当3∠A+2∠B＝180°时，用含a，c式子表示b．
【答案】（1）9；12；（2）
【解析】
【分析】（1）作于点，在的延长线上取点，使得，连接，根据垂直平分线的性质得到，，根据题意、三角形内角和定理得到，根据勾股定理计算即可；
（2）仿照（1）的作法解答．
【详解】解：（1）如图2，作于点，在的延长线上取点，使得，连接，
则是的垂直平分线，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
在直角和直角中，
由勾股定理得到：，即，
解得，，
故答案是：9；12；
（2）作于点，在的延长线上取点，使得，连接，
则是边的垂直平分线，
，．
，，
，
，
，
，
，，即，
，
由题意得，，
，
在中，，
在中，，
，即，
整理得，．
【点睛】本题考查的是勾股定理、线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．