北京市海淀区首都师范大学附属中学2024~2025学年八年级下学期期中数学试卷 （原卷版+解析版）

这是一份北京市海淀区首都师范大学附属中学2024~2025学年八年级下学期期中数学试卷 （原卷版+解析版），共46页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷（共24分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）
1. 下列各曲线表示的与的关系中，是的函数的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 以下列数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ）
A. ，2，B. 1，，2C. 3，6，7D. 6，8，12
3. 如图，在中，D、E分别是边、的中点，，则的长为（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 10
4. 下列计算中，结果错误的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 如图，数轴上点，表示的实数分别是，，于点，且的长度为个单位长度，连接．若以点为圆心，长为半径画弧交数轴于点，则点所表示的实数为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，在中，，的平分线交于，交的延长线于点，则（ ）
A. B. C. 2D.
7. 如图，在等边△ABC中，AB=6，∠AFB=90°，则CF的最小值为（ ）
A. 3B. C. 6-3D. 3-3
8. 如图，四边形是正方形，点是射线上的动点（不与点重合），点是射线上的动点（不与点重合），，连接，，设，，．给出下面三个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
第Ⅱ卷（共76分）
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
9. 函数 中，自变量x的取值范围是__________．
10. 将直线向上平移3个单位长度后得到的直线解析式为___________．
11. 已知是的一次函数，函数与自变量的部分对应值如下表所示，
比较大小：______．
12. 荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动．小亮想利用所学的勾股定理的知识测算公园里一架秋千的绳索AB的长度．如图．他发现秋千静止时，秋千踏板离地面的垂直高度，将踏板往前推送，使秋千绳索到达D的位置，测得推送的水平距离为6m，即．此时秋千踏板离地面的垂直高度．那么，绳索的长度为_________m．
13. 一次函数的图象与的图象在同一直角坐标系中如图所示，则关于x，y方程组的解为______________．
14. 如图，在正方形ABCD中，点F为边CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF＝25°，则∠AED的大小为 _____度．
15. 如图，在平面直角坐标系中，点．以为边作菱形，若点在轴上，则点的坐标为_____．
16. 图1是一个轨道示意图，四边形是矩形，对角线，交于点，，此矩形的四条边及对角线上均装有轨道，同时在点处安装了一台观测仪．小升操作机器人以1m/min的速度沿轨道匀速运动，机器人从点出发，分别经过O，B，C三点各一次并最终到达点．记机器人运动的时间为，机器人到观测仪的距离为，机器人在轨道中转弯所用的时间忽略不计．观测仪中所记录的与的函数关系的部分图象如图2所示．
根据上述信息回答：
（1）机器人的运动路线是：_____→_____→_____→（填“”“”或“”）；
（2）时，_____．
三、解答题（本题共10小题，共60分，第17题10分，18-23每题5分，第24题6分，第25、26题每题7分）
17. 计算：
（1）；
（2）．
18. 已知：如图，在□ABCD中，点E、F是对角线AC上的两点，且AE＝CF．求证：BF∥DE．
19. 已知，求代数式的值．
20. 已知一次函数，它的图象与轴交于点，与轴交于点．
（1）画出函数的图象；
（2）点的坐标为_____，当_____时，；
（3）求的面积．
21. 下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：直线及直线外一点．
求作：，使得．
作法：如图，
①在直线上取一点，作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点；
②在直线上取一点（不与点重合），作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点；
③作直线．
所以直线就是所求作的直线．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面证明．
证明：∵_______，_______，
∴（____________）（填推理的依据）．
22. 在平面直角坐标系中，已知函数与的图象交于点．
（1）求k和b的值；
（2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于的值，且小于的值，直接写出m的取值范围．
23. 如图，在平行四边形中，平分，交于点E，平分，交于点F，与交于点P，连接，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，，求线段的长．
24. 不同香料香气的强烈程度（简称香气强度）随时间呈现不同的变化规律，调香师利用这些规律调制出各具特色的香水．某小组计划利用函数研究甲、乙、丙三种香料的香气强度变化情况，将等质量的三种香料分别放置在相同条件的外部环境中，设实验过程中，香料放置时间为时，甲、乙、丙香料的香气强度分别为．记录部分实验数据如下：
（1）在平面直角坐标系中，函数，的图象如图所示，已描出上表中所对应的点，请画出函数的图象；
（2）根据函数图象，当放置时，甲香料的香气强度约为_____，丙香料的香气强度约为_____；（结果均保留一位小数）
（3）查阅文献可知，用多种香料调制成的香水，多数人可以识别出当前时刻香气强度最大的香料，而对其他香料的香气感受不明显，称可以识别出的香料在当前时刻起主要作用．用等质量的甲、乙、丙三种香料共同调制为一款香水放置，忽略香料互相之间的影响，结合函数图象，解决问题：
①当放置时，该时刻起主要作用的香料为_____；（填“甲”“乙”或“丙”）
②若总共放置时间为，则起主要作用时间最长的香料为_____（填“甲”“乙”或“丙”），该香料起主要作用的时长为_____．
25. 如图，在菱形中，，是边上一点（不与点，重合）．将线段绕点旋转得到线段，使点与点在直线的两侧，连接AC，BF，连接交于点．
（1）依据题意，补全图形；
（2）求的大小；
（3）用等式表示和的数量关系并证明．
26. 在平面直角坐标系中，对于任意一点，我们给出如下定义：，如果两点P，Q满足，则称P，Q两点分等距点（为正整数）．如图所示，P，Q两点即为1分等距点．
（1）已知点的坐标为．
在点，，中，为点1分等距点的是_____；
若点为，则，两点为_____分等距点；
（2）直线与轴交于点，与轴交于点（为正整数）．
当时，点为线段上一点，若在直线上存在点，使得，两点为3分等距点，求的取值范围；
已知正方形的边长为2，是对角线的交点，且正方形的任何一条边均与某条坐标轴垂直．当为直线上一动点时，若该正方形的边上存在点，使得E，G两点为分等距点，直接写出的取值范围（用含有的式子表示）．
首都师大附中2024-2025学年第二学期期中练习
初二数学
第Ⅰ卷（共24分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）
1. 下列各曲线表示的与的关系中，是的函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的定义“对于每一个确定的x值，存在确定的唯一的y值与之对应”进行判断即可．
【详解】解：由函数定义可知：作垂直x轴的直线，在左右平移的过程中看是否与函数图象只会有一个交点，若只有一个交点，则是函数，否则不是；
其中选项A、B、C均可能会有2个交点，故错误，不符合题意，而选项D中只会有一个交点，符合题意，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了函数的定义和图象，理解对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应是解答本题的关键．
2. 以下列数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ）
A. ，2，B. 1，，2C. 3，6，7D. 6，8，12
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理．
如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，由此即可判断．
【详解】解：A、，不能构成直角三角形，故A不符合题意；
B、，能构成直角三角形，故B符合题意；
C、，不能构成直角三角形，故C不符合题意；
D、，不能构成直角三角形，故D不符合题意．
故选：B
3. 如图，在中，D、E分别是边、的中点，，则的长为（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是三角形中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理计算即可解题．
【详解】解： D、E分别是边、的中点，
,
，
．
故选：A．
4. 下列计算中，结果错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次根式的加减法对选项A和B进行判断，根据二次根式的除法法则对选项C进行判断，根据二次根式的性质对选项D进行判断，最后得出答案即可．
【详解】解∶ A．与不能合并，所以A选项的计算错误；
B．，所以B选项的计算正确；
C．=，所以C选项的计算正确；
D．，所以D选项的计算正确；
故选∶A．
【点睛】本题考查了二次根式的计算∶先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的运算，最后合并同类二次根式．熟练掌握二次根式的运算是解题的关键．
5. 如图，数轴上的点，表示的实数分别是，，于点，且的长度为个单位长度，连接．若以点为圆心，长为半径画弧交数轴于点，则点所表示的实数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查实数与数轴及勾股定理．根据实数与数轴的关系解答即可
【详解】解：在直角三角形中，．
∴点表示的数为．
故选：B．
6. 如图，在中，，的平分线交于，交的延长线于点，则（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AD∥BC，结合角平分线的性质推出∠AEB=∠ABE=∠F=∠DEF，得到AE=AB=3，即可求出DE=DF=AD-AE=5-3=2．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠ABF=∠F，∠AEB=∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠AEB=∠ABE=∠F=∠DEF，
∴AE=AB=3，
∴DF=DE=AD-AE=5-3=2，
故选：C．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，角平分线的计算，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
7. 如图，在等边△ABC中，AB=6，∠AFB=90°，则CF的最小值为（ ）
A. 3B. C. 6-3D. 3-3
【答案】D
【解析】
【分析】点F在以AB为直径的圆上，当圆心，点F，C在一条直线上时，CF取最小值，且最小值为CE－EF．
【详解】如图，取AB的中点E，连接CE，FE．
因为∠AFB＝90°，所以EF＝ AB＝3，
因为△ABC是等边三角形，所以CE＝3
当点E，F，C三点在一条直线上时，
CF有最小值，且最小值为CE－EF＝3 －3
故选D．
【点睛】求一个动点到定点的最小值，一般先要确定动点在一个确定的圆或圆弧上运动，当动点与圆心及定点在一条直线上时，取最小值．
8. 如图，四边形是正方形，点是射线上的动点（不与点重合），点是射线上的动点（不与点重合），，连接，，设，，．给出下面三个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查正方形的性质，三角形三边关系，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握它们的性质是解题的关键；
利用证明，结合三角形的三边关系判断①；根据完全平方公式结合勾股定理判定②和③．
【详解】解：如图：
∵正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，故④正确；
∴，
∵，
∴；故①正确；
∵，即：，
∴，
∴；故②正确；
∵，，
∴．
∵，
∴．
∵、、均为正数，
∴，结论③正确．
综上，①②③都正确，
故选：D．
第Ⅱ卷（共76分）
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
9. 函数 中，自变量x的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，可得，解不等式即可，熟知根号下需要大于等于0，是解题的关键．
【详解】解：根据二次根式的意义，有，
解得，
故自变量x的取值范围是，
故答案为：．
10. 将直线向上平移3个单位长度后得到的直线解析式为___________．
【答案】##
【解析】
【分析】直接根据平移的规律求解即可．
【详解】解：将直线向上平移3个单位长度，所得到的直线的解析式为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数图象的平移，一次函数图象的平移规律是：①左右平移时，自变量x左加右减；②上下平移时，b的值上加下减．
11. 已知是的一次函数，函数与自变量的部分对应值如下表所示，
比较大小：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及一次函数的性质，根据表格中前两列的和的取值，得出随的变化关系，据此可解决问题．
【详解】解：由题知，
当时，；当时，；
因为，，
所以随的增大而减小．
又因为，
所以．
故答案为：．
12. 荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动．小亮想利用所学的勾股定理的知识测算公园里一架秋千的绳索AB的长度．如图．他发现秋千静止时，秋千踏板离地面的垂直高度，将踏板往前推送，使秋千绳索到达D的位置，测得推送的水平距离为6m，即．此时秋千踏板离地面的垂直高度．那么，绳索的长度为_________m．
【答案】10
【解析】
【分析】先根据题意得出，，在设，得到，最后根据勾股定理求解即可．
【详解】解：由题意可知：，，，，
设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，读懂题意并熟练运用勾股定理是解题的关键．
13. 一次函数的图象与的图象在同一直角坐标系中如图所示，则关于x，y方程组的解为______________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组与一次函数的关系，正确理解题意是解题的关键． 根据一次函数的交点坐标即为两个函数联立组成的方程组的解解答即可．
【详解】解：一次函数的图象与的图象交点的坐标为，
关于的方程组的解为
故答案为∶
14. 如图，在正方形ABCD中，点F为边CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF＝25°，则∠AED的大小为 _____度．
【答案】70
【解析】
【分析】根据正方形的对称性可知，△ABE与△ADE关于直线AC对称，得到∠AED＝∠AEB，利用三角形的外角等于不相邻的两个内角之和可解．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，且AC为正方ABCD的对角线，
∴△ABE与△ADE关于直线AC对称，∠ACB＝45°，
∴∠AED＝∠AEB，
∵∠AEB为△EBC的外角，
∴∠AEB＝∠CBE+∠ACB＝25°+45°＝70°，
∴∠AED＝70°，
故答案为70．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，解题关键是是利用了正方形关于对角线所在的直线对称求解．
15. 如图，在平面直角坐标系中，点．以为边作菱形，若点在轴上，则点的坐标为_____．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查坐标与图形，菱形的性质，勾股定理，分两种情况：①点在原点的右侧；②点在原点的左侧，并结合平移的性质即可得解．解题的关键是掌握菱形的性质及勾股定理．
【详解】解：∵点
∴，
∵以为边作菱形，且点在轴上，
∴，
①点在原点的右侧，如图，
∵，
∴点的坐标为；
②点在原点的左侧，如图，
∵，
∴点的坐标为；
综上所述，点的坐标为或．
故答案：或．
16. 图1是一个轨道的示意图，四边形是矩形，对角线，交于点，，此矩形的四条边及对角线上均装有轨道，同时在点处安装了一台观测仪．小升操作机器人以1m/min的速度沿轨道匀速运动，机器人从点出发，分别经过O，B，C三点各一次并最终到达点．记机器人运动的时间为，机器人到观测仪的距离为，机器人在轨道中转弯所用的时间忽略不计．观测仪中所记录的与的函数关系的部分图象如图2所示．
根据上述信息回答：
（1）机器人的运动路线是：_____→_____→_____→（填“”“”或“”）；
（2）时，_____．
【答案】 ①. ②. ③. ④.
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，从函数图象获取信息，利用属性结合的思想解决问题是关键．
（1）根据矩形和勾股定理得到，进而根据图象判断出第二段路程只能为段，即可得到运动路线；
（2）利用勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）边形是矩形，，
，，，
由图象可知，第一段路程用时，第二段用时大于，第三段路程用时，
而，，
则第二段路程只能为段，
机器人从点出发，经过到达点，再经过到达点，又经过到达点，最终到达点，
即机器人的运动路线是：，
故答案为：B；C；O；
（2）当时，机器人的运动距离为，此时机器人在上，且与点的距离为，
，
故答案为：．
三、解答题（本题共10小题，共60分，第17题10分，18-23每题5分，第24题6分，第25、26题每题7分）
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
（1）直接化简二次根式，再合并得出答案；
（2）先利用平方差公式进行乘法运算，同时进行除法运算后化简，进而得出答案；
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
18. 已知：如图，在□ABCD中，点E、F是对角线AC上的两点，且AE＝CF．求证：BF∥DE．
【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质证得AB∥DC，AB=DC，推出∠DCA=∠BAC，根据SAS证明△ABF≌△CDE，推出∠AFB=∠CED，即可得到结论．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB=DC，
∴∠DCA=∠BAC，
∵AE＝CF．
∴AE+EF＝CF+EF，即AF=CE，
在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（SAS），
∴∠AFB=∠CED，
∴BF∥DE．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键．
19. 已知，求代数式的值．
【答案】1
【解析】
【分析】把代入变形后的结果，即可得到答案．
【详解】解：当时，
＝
＝
＝
＝5－4
＝1．
【点睛】此题考查了二次根式的运算、完全平方公式、代数式的求值等问题，利用公式进行变形简化计算是解题的关键．
20. 已知一次函数，它的图象与轴交于点，与轴交于点．
（1）画出函数的图象；
（2）点的坐标为_____，当_____时，；
（3）求的面积．
【答案】（1）见解析；
（2），；
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象是解题的关键．
（1）根据题意可知点A、B的坐标，然后再图象上描出点A、B，进而问题可求解；
（2）结合图象即可求解；
（3）根据（1）可直接进行求解的面积．
【小问1详解】
解：列表表示当，时函数的对应值：
过点与点画一条直线，如图即是函数的图象；
；
【小问2详解】
解：由图象可知，图象与轴的交点的坐标为，当时，；
故答案为：，；
【小问3详解】
解：由（1）可知，，
，，
．
21. 下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：直线及直线外一点．
求作：，使得．
作法：如图，
①在直线上取一点，作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点；
②在直线上取一点（不与点重合），作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点；
③作直线．
所以直线就是所求作的直线．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵_______，_______，
∴（____________）（填推理的依据）．
【答案】(1)作图见解析（2），，三角形中位线平行于三角形第三边．
【解析】
【详解】分析：根据作图过程，补全图形即可.
详解：（1）尺规作图如下图所示：
（2），，三角形中位线平行于三角形的第三边．
点睛：考查尺规作图，三角形中位线定理，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键.
22. 在平面直角坐标系中，已知函数与的图象交于点．
（1）求k和b的值；
（2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于的值，且小于的值，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）k的值为1，b的值为
（2）且
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与不等式，利用数形结合的思想是解决本题的关键．
（1）将代入先求出k，再将和k的值代入即可求出b；
（2）根据数形结合的思想解决，将问题转化为当时，对于的每一个值，直线的图象在直线的上方且在直线的下方，画出临界状态图象分析即可．
【小问1详解】
解：由题意，将代入得：，
解得：，
将，，代入函数中，
得：，
解得：，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴两个一次函数解析式分别为，
当时，对于的每一个值，函数的值大于的值，且小于的值，
即当时，对于的每一个值，直线的图象在直线的上方且在直线的下方，则画出图象为：
将代入，则，
∴直线的图象过定点，
将代入，则，
由图象得：当直线的图象过点时，
则，解得：；
将代入，则，
由图象得：当直线的图象过定点时，
则，解得：；
综上，m的取值范围为:且．
23. 如图，在平行四边形中，平分，交于点E，平分，交于点F，与交于点P，连接，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，，求线段的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形和角平分线的性质可得，，，从而证明四边形是菱形；
（2）作于H，证明是等边三角形，得出，，利用菱形的性质求出，进而求出，利用含的直角三角形的性质求出，然后利用勾股定理求出，即可．
【小问1详解】
证明：如图，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
同理，
∴，
又
∴四边形是平行四边形
又∵，
∴四边形是菱形；
【小问2详解】
解：过P点作于M点，
∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∵四边形是菱形，
∴平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
24. 不同香料香气的强烈程度（简称香气强度）随时间呈现不同的变化规律，调香师利用这些规律调制出各具特色的香水．某小组计划利用函数研究甲、乙、丙三种香料的香气强度变化情况，将等质量的三种香料分别放置在相同条件的外部环境中，设实验过程中，香料放置时间为时，甲、乙、丙香料的香气强度分别为．记录部分实验数据如下：
（1）在平面直角坐标系中，函数，的图象如图所示，已描出上表中所对应的点，请画出函数的图象；
（2）根据函数图象，当放置时，甲香料的香气强度约为_____，丙香料的香气强度约为_____；（结果均保留一位小数）
（3）查阅文献可知，用多种香料调制成的香水，多数人可以识别出当前时刻香气强度最大的香料，而对其他香料的香气感受不明显，称可以识别出的香料在当前时刻起主要作用．用等质量的甲、乙、丙三种香料共同调制为一款香水放置，忽略香料互相之间的影响，结合函数图象，解决问题：
①当放置时，该时刻起主要作用的香料为_____；（填“甲”“乙”或“丙”）
②若总共放置时间为，则起主要作用时间最长的香料为_____（填“甲”“乙”或“丙”），该香料起主要作用的时长为_____．
【答案】（1）见详解 （2），；
（3）①丙；②乙，60
【解析】
【分析】该题考查了函数图象，解题的关键是数形结合．
（1）根据题意画出函数的图象即可；
（2）根据根据（1）中函数图象即可解答；
（3）①根据（1）中函数图象可得，当放置时，此时，，即可解答；
②根据（1）中函数图象，得出香料甲、乙、丙起主要作用的时长，即可解答．
【小问1详解】
解：函数的图象如图．
【小问2详解】
解：根据（1）中函数图象可得，
当放置时，即时，甲香料的香气强度约为，
丙香料的香气强度约为；
故答案为：，；
【小问3详解】
解：①根据（1）中函数图象可得，当放置时，此时，，
故该时刻起主要作用的香料为丙，
故答案为：丙；
②根据（1）中函数图象可得，若总共放置时间，
香料甲起主要作用时间大约为，
香料乙起主要作用时间大约为，
香料丙起主要作用时间大约为，
则起主要作用时间最长的香料为乙，
该香料起主要作用的时长为，
故答案为：乙，60．
25. 如图，在菱形中，，是边上一点（不与点，重合）．将线段绕点旋转得到线段，使点与点在直线的两侧，连接AC，BF，连接交于点．
（1）依据题意，补全图形；
（2）求的大小；
（3）用等式表示和的数量关系并证明．
【答案】（1）见解析；
（2）；
（3）．见解析；
【解析】
【分析】（1）根据题意连线即可；
（2）利用菱形性质得出是等边三角形，结合线段旋转得到的与，推出，通过证明 ，利用全等三角形对应角相等得出的度数．
（3）通过作辅助线，先证明四边形是平行四边形得到，再结合菱形性质推出 ，然后根据平行线性质得到角相等，最后利用证明，从而得出结论．
【小问1详解】
解：依据题意，补全图形，如图：
【小问2详解】
证明：线段绕点顺时针旋转得到线段，
，，
在菱形中，，
，，
，是等边三角形，
，．
，
，
在和中，
，
；
【小问3详解】
．
如图，过作交的延长线于，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，，
，
，，
，
．
【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、图形的旋转、全等三角形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质，解题的关键是熟练运用这些知识，通过构造全等三角形等方法进行推理证明．
26. 在平面直角坐标系中，对于任意一点，我们给出如下定义：，如果两点P，Q满足，则称P，Q两点分等距点（为正整数）．如图所示，P，Q两点即为1分等距点．
（1）已知点的坐标为．
在点，，中，为点1分等距点的是_____；
若点为，则，两点为_____分等距点；
（2）直线与轴交于点，与轴交于点（为正整数）．
当时，点为线段上一点，若在直线上存在点，使得，两点为3分等距点，求的取值范围；
已知正方形的边长为2，是对角线的交点，且正方形的任何一条边均与某条坐标轴垂直．当为直线上一动点时，若该正方形的边上存在点，使得E，G两点为分等距点，直接写出的取值范围（用含有的式子表示）．
【答案】（1）N，T；2；
（2）；或．
【解析】
【分析】本题考查一次函数综合题、正方形的性质、分等距点的定义的有关知识，解题的关键是理解题意，把问题转化为熟悉的内容上来，解决数学问题．
（1）分等距点的定义一一验证即可；
由，即可得到值求解即可；
（2）根据题意可知，直线与轴交于点的坐标为，与轴交于点的坐标为，当时，点的坐标为，设点的坐标为，可得，设，，由，两点为分等距点得：，当时，，即可得解；
正方形边长为，对角线交点为，则正方形顶点坐标可表示为， 设，，由可得，当，，，那么，正方形边与坐标轴垂直，根据距离关系可得解．
【小问1详解】
解：根据题意可知，在定义中，，
点的坐标为，
，
，
，
，
为点1分等距点的是N，T；
点的坐标为，点为，
，
，
，
，
解得，，
，两点为分等距点；
故答案为：N，T；2；
【小问2详解】
解：根据题意可知，直线与轴交于点的坐标为，与轴交于点的坐标为，
当时，点的坐标为，
设点的坐标为，
在线段上，
，
，
设，，
，两点为分等距点，
，
，
所以t的取值范围是；
正方形边长为，对角线交点为，且正方形的任何一条边均与某条坐标轴垂直，
则正方形顶点坐标可表示为，
设，则，
，
设，，
，
，
，
当点在正方形的上下两边时，，，
有解，即有解，
也即与有公共部分，
∴或，
∴或，
当点在正方形的左右两边时，
由于正方形是封闭曲线且正方形的任何一条边均与某条坐标轴垂直，只要点在正方形的上下两边有解则在左右两边一定有解，
同理，由于正方形是封闭曲线且正方形的任何一条边均与某条坐标轴垂直，只要点在正方形的左右两边有解则在上下两边一定有解，
即两种情况所得s的取值范围相同，
综上：的取值范围是：或．
0
20
40
60
80
100
120
…
5






…
3






…
1






…
x
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0
0
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5






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