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2023-2024学年北京市海淀区首都师大二附中八年级（下）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年北京市海淀区首都师大二附中八年级（下）期中数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列二次根式是最简二次根式的是( )
A. 12B. 8C. 3D. 12
2.下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是( )
A. 1， 2， 3B. 3，4，5C. 5，12，13D. 2，2，3
3.下列计算正确的是( )
A. 2 3− 3= 3B. 2+ 3= 5
C. 3 5× 5=4 5D. (−3)2=−3
4.如图，在平行四边形ABCD中，∠B=2∠A，则∠D的度数为( )
A. 140°
B. 120°
C. 110°
D. 100°
5.如图，在数轴上点A表示的实数是( )
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10
6.点O是四边形ABCD对角线的交点，给出下列四个条件：①AB//CD，AD=BC；②AB=CD，AD=BC；③OA=OC，OB=OD；④AB=BC，AD=CD，能判定四边形ABCD是平行四边形的有( )
A. ①②B. ③④C. ②③D. ①④
7.如图，A、B两地被池塘隔开，小康通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一他点C，然后测出AC，BC的中点M、N，并测量出MN的长为18m，由此他就知道了A、B间的距离．下列有关他这次探究活动的结论中，错误的是( )
A. AB=36mB. MN//ABC. MN=12CBD. CM=12AC
8.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D为斜边BC上的中点，点E，F分别在直角边AB，AC上运动(不与端点重合)，且保持BE=AF，连接DE，DF，EF.设BE=a，CF=b，EF=c.在点E，F的运动过程中，给出下面三个结论：
①a+b>c；
②a2+b2=c2；
③c≥ 2(a+b)2，且等号可以取到．
上述结论中，所有正确结论的序号是( )
A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.若式子 x−1有意义，则x的取值范围是______．
10.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOD=120°，BD=6，则AB的长为______．
11.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠A=20°，则∠BCD=______°.
12.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，点Q在直线BC上，且AQ=2，则线段BQ的长为______．
13.图1中的直角三角形有一条直角边长为3，将四个图1中的直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为S1，S2，则S1−S2的值为______．
14.如图，在平面直角坐标系中，长方形MNPQ的顶点M，N分别在x轴、y轴正半轴上滑动．顶点P、Q在第一象限，若MN=4，PN=2.在滑动过程中，点P与坐标原点O的距离的最大值为______．
三、解答题：本题共11小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
(1) 12−6 12+ 3× 6；
(2)(2+ 3)(2− 3)− 18÷ 2．
16.(本小题4分)
已知x= 5+2，求代数式x2−4x−6的值．
17.(本小题5分)
如图，四边形ABCD中，M，N是BD上两点，AM//CN，AN//CM.若BM=DN，求证：四边形ABCD是平行四边形．
18.(本小题5分)
如图所示，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=4，BC=CD=2，AD=2 6.(1)求AC的长；
(2)四边形ABCD的面积．
19.(本小题4分)
下面是小东设计的“作矩形”的尺规作图过程．已知：Rt△ABC，∠ABC=90°，
求作：矩形ABCD，
作法：如图，
①作线段AC的垂直平分线交AC于点O；
②连接BO并延长，在延长线上截取OD=OB；
③连接AD，CD．
所以四边形ABCD即为所求作的矩形．
根据小东设计的尺规作图过程．
(1)使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)
(2)完成下面的证明：
证明：∵OA=OC，OD=OB，
∴四边形ABCD是平行四边形(______).(填推理的依据)
∵∠ABC=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形(______).(填推理的依据)
20.(本小题4分)
如图所示，把一张长方形纸片沿对角线BD折叠，若AB=4，BC=8，求AF的长．
21.(本小题4分)
同学们，在二次根式一章中有一个有趣的现象： 223= 83= 22×23=2 23，根号里的因数2经过适当的演变，竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”.具有这一性质的数还有许多，如 338=3 38、 4415=4 415等等．
(1)猜想： 6635= ______；
(2)请再写出1个具有“穿墙”性质的数______；
(3)请用只含有一个正整数n(n≥2)的等式表示上述规律：______．
22.(本小题6分)
如图，在等腰△ABC中，AB=BC，BO平分∠ABC，过点A作AD//BC交BO的延长线于D，连接CD，过点D作DE⊥BD交BC的延长线于E．
(1)判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
(2)若AB=4，∠ABE=120°，求DE的长．
23.(本小题5分)
如图，在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为 2， 13， 17，求这个三角形的面积.小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为1)，再在网格中画出格点△ABC(即△ABC的三个顶点都在小正方形的顶点处)，如图①所示.这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．
(1)请你将△ABC的面积直接填写在横线上：______；
(2)思维拓展：我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法.若△ABC三边的长分别为2 2a， 10a， 26a(a>0)，请利用图②的正方形网格(每个小正方形的边长为a)画出相应的△ABC，并直接写出它的面积；
(3)探索创新：若△ABC三边的长分别为 m2+16n2， 9m2+4n2，2 m2+n2(m>0,n>0，且m≠n)请用以上方法求△ABC的面积．
24.(本小题7分)
如图，在正方形ABCD中，E、F分别为AD，BC上的点，作DM⊥EF于M．
(1)求证：∠CDM=∠BFE；
(2)在MF上截取MN=DM，连接BN，G为BN中点，连接CG，CM．
①依题意补全图形，
②用等式表示线段CG和CM的数量关系，并证明．
25.(本小题6分)
在平面直角坐标系xOy中，已知点T(t,0)，直线l经过点T且与x轴垂直.对于图形M和图形N，给出如下定义：将图形M关于y轴对称的图形记为M1，图形M1关于直线l对称的图形记为M2，若图形M2与图形N有公共点，则称图形M是图形N的“双称图形”．
例如，如图1，当t=−2时，对于点P(1.5,−2.5)和第三象限角平分线OQ，点P关于y轴的对称点是P1(−1.5,−2.5)，点P1关于直线l的对称点P2(−2.5,−2.5)在射线OQ上，则点P是射线OQ的“双称图形”．
已知点A(2t,1)，B(2t+3,1)，图形N是以线段AB为一边在直线AB上方所作的正方形ABCD．
(1)当t=1时，直线l和正方形ABCD如图2所示．
①在H(0,3)，R(−4,2)，K(3,4)这三个点中，点______是图形N的“双称图形”；
②点E(m,2)，F(m+2,2)，G(m+1,3)，△EFG是图形N的“双称图形”，求m的取值范围；
(2)若图形N是它自身的“双称图形”，直接写出t的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、 12= 22，故A不符合题意；
B、 8=2 2，故B不符合题意；
C、 3是最简二次根式，故C符合题意；
D、 12=2 3，故D不符合题意；
故选：C．
根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答．
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：A、12+( 2)2=3=( 3)2，故是直角三角形，故错误；
B、42+32=25=52，故是直角三角形，故错误；
C、52+122=169=132，故是直角三角形，故错误；
D、22+22=8≠32，故不是直角三角形，故正确．
故选：D．
欲求证是否为直角三角形，利用勾股定理的逆定理即可．这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
3.【答案】A
【解析】【分析】
此题考查了实数的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解本题的关键．
原式各项化简得到结果，即可做出判断．
【解答】
解：A.原式= 3，正确；
B. 3+ 2为最简结果，故错误；
C.原式=15，故错误；
D.原式=3，故错误，
故选：A．
4.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D=∠B，∠A+∠B=180°，
∵∠B=2∠A，
∴∠B=120°，
∴∠D=120°，
故选：B．
根据平行四边形对角相等，邻角互补即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解答此题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：由题意得： 32+12= 10．
故答案为：D．
利用勾股定理求出直角三角形的斜边长，再确定点A表示的实数．
本题考查了实数与数轴，解题的关键是掌握数轴知识和勾股定理．
6.【答案】C
【解析】解：①AB//CD，AD=BC，不能判定四边形ABCD为平行四边形；不符合题意；
②AB=CD，AD=BC，两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形；符合题意；
③OA=OC，OB=OD，对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形；符合题意；
④AB=BC，AD=CD；不能判定四边形ABCD为平行四边形；不符合题意；
故选：C．
根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．
此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形．(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形．(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形．(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查的是三角形的中位线定理在实际生活中的运用，锻炼了学生利用几何知识解答实际问题的能力．
根据三角形的中位线定理即可判断．
【解答】
解：∵CM=MA，CN=NB，
∴MN//AB，MN=12AB，
∵MN=18m，
∴AB=36m，
故A、B、D正确，
故选：C．
8.【答案】D
【解析】解：①∵AB=AC，BE=AF=a，
∴AE=CF=b，
∵点E，F分别在直角边AB，AC上运动(不与端点重合)，
∴AF+AE>EF，
即a+b>c，
故结论①正确；
②∵∠A=90°，
∴在Rt△AFE中，AF=a，AE=b，EF=c，
由勾股定理得：AF2+AE2=EF2，
即a2+b2=c2，
故结论②正确；
③连接AD，设AD=h，如下图所示：
在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D为斜边BC上的中点，
∴AD⊥BC，AD=CD=BD=h，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2+CD2=AC2，
∴2h2=(a+b)2，
∴h2=12(a+b)2，
即h= 2(a+b)2，
∵c2=a2+b2，
∴c2−h2=(a2+b2)−12(a+b)2=12(a−b)2≥0，
当且仅当a=b时，即点E，F分别为AB，AC的中点时，12(a−b)2=0，
此时c=h，即c= 2(a+b)2，
当a≠b时，即点E，F不是AB，AC的中点时，12(a−b)2≥0，
此时c>h，即c> 2(a+b)2，
∴c≥ 2(a+b)2，且等号可以取到，
故结论③正确．
综上所述：正确的结论是①②③．
故选：D．
①由AB=AC，BE=AF=a得AE=CF=b，根据点E，F分别在直角边AB，AC上运动(不与端点重合)，则AF+AE>EF，由此可对结论①进行判断；
②根据∠A=90°，AF=a，AE=b，EF=c，由勾股定理得：AF2+AE2=EF2，由此可对结论②进行判断；
③连接AD，设AD=h，根据等腰直角三角形的性质得AD⊥BC，AD=CD=BD=h，由勾股定理得h2=12(a+b)2，即h= 2(a+b)2，再由c2=a2+b2得c2−h2=12(a−b)2≥0，当且仅当a=b时，12(a−b)2=0，此时c=h，则有c= 2(a+b)2，当a≠b时，12(a−b)2≥0，此时c>h，则有c> 2(a+b)2，由此可对结论③进行判断，综上所述即可得出答案．
此题主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形的性质和勾股定理是解决问题的关键．
9.【答案】x≥1
【解析】解：根据题意，得x−1≥0，
解得，x≥1．
故答案为：x≥1．
根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式x−1≥0，通过解该不等式即可求得x的取值范围．
此题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子 a(a≥0)叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
10.【答案】3
【解析】解：∵ABCD是矩形，
∴OA=OB．
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=60°．
∴△AOB为等边三角形．
∵BD=6，
∴AB=BO=3．
故答案为：3．
根据矩形的对角线的性质可得△AOB为等边三角形，由等边三角形的性质即可求出AB的值．
本题考查矩形的性质以及等边三角形的运用，关键是矩形性质的熟练运用．
11.【答案】70
【解析】解：在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠A=20°，则∠B=70°，
∵∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，
∴BD=CD=AD，
∴∠BCD=∠B=70°，
故答案为70．
根据直角三角形两锐角互余求得∠B=70°，然后根据直角三角形斜边上中线定理得出CD=BD，求出∠BCD=∠B即可．
本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形性质等知识点的理解和运用，能求出BD=CD=AD和∠B的度数是解此题的关键．
12.【答案】 3+1或 3−1
【解析】解：分两种情况：
(1)点Q在线段BC的延长线上，如图：
∵∠ACB=90°，
∴∠ACQ=180°−90°=90°，
∵AC=1，AQ=2，
∴QC= 22−12= 3，
∵BC=1，
∴BQ=QC+BC= 3+1；
(2)点Q在线段CB的延长线上，如图：
∵∠ACB=90°，AC=1，AQ=2，
∴QC= 22−12= 3，
∵BC=1，
∴BQ=QC−BC= 3−1．
综上，线段BQ的长为 3+1或 3−1．
故答案为： 3+1或 3−1．
分两种情况：(1)点Q在线段BC的延长线上；(2)点Q在线段CB的延长线上，分别用勾股定理求得QC的长，情况(1)中BQ=QC+BC，情况(2)中BQ=QC−BC．
本题考查了勾股定理在等腰直角三角形及一般的直角三角形的边长计算中的应用，数形结合并分类讨论是解题的关键．
13.【答案】9
【解析】解：设图1中的直角三角形另一条直角边长为b，
∴S1=32+b2=9+b2，S2=b2，
∴S1−S2=9，
故答案为9．
分别表示出S1，S2，即可求解．
本题考查了正方形的性质，利用参数表示正方形的面积是本题的关键．
14.【答案】2+2 2
【解析】解：如图，取MN的中点E，连接OE，PE，OP，
∵∠MON=90°，点E是MN的中点，
∴Rt△MON中，OE=12MN=NE=EM=2，
又∵∠MNP=90°，PN=2，NE=2，
∴Rt△PNE中，PE= PN2+NE2= 4+4=2 2，
又∵OP≤PE+OE=2+2 2，
∴OP的最大值为2+2 2，
即点P到原点O距离的最大值是2+2 2，
故答案为：2+2 2．
取MN的中点E，连接OE，PE，OP，根据勾股定理和矩形的性质解答即可．
本题考查矩形的性质，关键是根据矩形的性质和勾股定理解答．
15.【答案】解：(1)原式=2 3−3 2+3 2
=2 3；
(2)原式=4−3−3
=−2．
【解析】(1)先化简各二次根式和计算二次根式的乘法，再合并即可；
(2)利用平方差公式和二次根式的除法法则计算即可．
本题考查了二次根式的混合运算，掌握平方差公式和二次根式的性质和运算法则是解决本题的关键．
16.【答案】解：x= 5+2，
∴x2−4x−6
=(x−2)2−10
=( 5+2−2)2−10，
=5−10，
=−5．
【解析】首先对式子x2−4x−6进行配方，然后代入x的值可得到答案．
本题考查了因式分解的应用；解题中代入x值后利用了平方差公式是正确解答本题的关键，方法比较巧妙，要进行学习掌握．
17.【答案】证明：如图，连接AC交BD于点O，
∵AM//CN，AN//CM，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∴OM=ON，OA=OC，
∵BM=DN，
∴OM+BM=ON+DN，
即OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【解析】连接AC交BD于点O，先证四边形AMCN是平行四边形，得OM=ON，OA=OC，再证OB=OD，然后由平行四边形的判定即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
18.【答案】解：(1)∵∠B=90°，AB=4，BC=2，
在Rt△ABC中，AC= AB2+BC2= 42+22=2 5；
(2)∵AC2+CD2=(2 5)2+22=24，AD2=(2 6)2=24，
∴AC2+CD2=AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD
=12BC⋅AB+12CD⋅AC
=12×2×4+12×2×2 5
=4+2 5．
【解析】(1)根据勾股定理直接求出AC的长即可；
(2)先证明△ACD是直角三角形，再根据S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD求出结果即可．
本题主要考查了勾股定理和逆定理，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握勾股定理及其逆定理．
19.【答案】对角线互相平分的四边形是平行四边形 有一个角是直角的平行四边形是矩形
【解析】解：(1)如图即为补全的图形；
(2)证明：∵OA=OC，OD=OB，
∴四边形ABCD是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)，
∵∠ABC=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形)．
故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形．
(1)根据作图过程即可补全图形；
(2)根据平行四边形的判定方法和矩形的判定方法即可完成证明．
本题考查了作图−复杂作图，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
20.【答案】解：∵一张长方形纸片沿对角线BD折叠，
∴AD//BC，∠CBD=∠C′BD，AD=BC=8，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠C′BD=∠ADB，
∴BF=DF，
设AF=x，则BF=DF=8−x，
在Rt△ABF中，由勾股定理得，
42+x2=(8−x)2，
解得x=3，
∴AF=3．
【解析】根据翻折的性质得AD//BC，∠CBD=∠C′BD，AD=BC=8，再说明DF=BF，利用勾股定理解决问题．
本题主要考查了翻折的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握翻折的性质是解题的关键．
21.【答案】6 635 5524=5 524(答案不唯一，符合规律即可) nnn2−1=n nn2−1
【解析】解：(1)6 635，验证如下：
6635= 21635= 62×635=6 635．
故答案为：6 635；
(2)根据已知等式的规律可写出： 5524=5 524，…，
故答案为： 5524=5 524(答案不唯一，符合规律即可)；
(3)解：第一个等式为 223=2 23，即 2222−1=2 222−1；
第二个等式为 338=3 38，即 3332−1=3 332−1；
第三个等式为 4415=4 415，即 4442−1=4 442−1．
∴用含正整数n(n≥2)的式子表示为： nnn2−1=n nn2−1，
故答案为： nnn2−1=n nn2−1．
(1)根据已知等式的规律写出结论，再根据二次根式的乘法法则验证即可；
(2)根据已知等式的规律写出一个符合题意的数即可；
(3)根据已知等式找出规律，总结归纳得到公式即可．
本题主要考查的是探索规律题，找到规律并归纳公式、掌握二次根式的乘法法则是解决此题的关键．
22.【答案】解：(1)四边形ABCD是菱形，
理由：∵AB=BC，BO平分∠ABC，
∴AO=CO，
∵AD//BE，
∴∠DAO=∠ACB，∠ADO=∠CBO，
∴△ADO≌△CBO(AAS)，
∴DO=BO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形；
(2)∵BO平分∠ABC，∠ABE=120°，
∴∠DBC=12∠ABE=60°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD=AB=4，
∴△BCD是等边三角形，
∴BD=BC=4，
∵BD⊥DE，
∴∠BDE=90°，
∴∠E=90°−∠DBC=30°，
∴BE=2BD=8，
∴DE= BE2−BD2= 82−42=4 3，
∴DE的长为4 3．
【解析】(1)先利用等腰三角形的三线合一性质可得AO=CO，再利用平行线的性质可得∠DAO=∠ACB，∠ADO=∠CBO，从而利用AAS证明△ADO≌△CBO，进而可得DO=BO，再利用对角线互相平分线的四边形是平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形，然后利用菱形的定义可得四边形ABCD是菱形，即可解答；
(2)先利用角平分线的定义可得∠DBC=60°，再利用菱形的性质可得BC=CD=AB=4，从而可得△BCD是等边三角形，进而可得BD=BC=4，然后利用垂直定义可得∠BDE=90°，从而可得∠E=30°，进而可得BE=2BD=8，再利用勾股定理进行计算，即可解答．
本题考查了菱形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
23.【答案】4.5
【解析】解：(1)△ABC的面积=3×4−12×1×2−12×1×4−12×3×3=4.5．
故答案为：4.5；
(2)如图2中，△ABC即为所求，△ABC的面积=2a×5a−12×a×3a−12×2a×2a−12×a×5a=4a2；
(3)如图小长方形的长为n，宽为m.△ABC如图所示，△ABC的面积=4n×3m−12×m×4n−12×3m×2n−12×2m×2n=5mn．
(1)把三角形面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可；
(2)利用构图法求△ABC的面积；
(3)如图小长方形的长为n，构造三角形ABC，利用分割法求解．
本题考查作图−应用与设计作图，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用构图法求三角形面积．
24.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD//BC，∠ADC=90°，
∴∠BFE=∠DEM，∠CDM+∠EDM=90°，
又∵DM⊥EF，
∴∠DEM+∠EDM=90°，
∴∠CDM=∠DEM，
∴∠CDM=∠BFE；
(2)解：①根据题意补全图形如图所示：
②CM= 2CG，
证明：连接MG并延长使得MG=GH，
∵点G为BN的中点，
∴BG=NG，
又∵∠BGH=∠NGM，
∴△BGH≌△NGM(SAS)，
∴HG=MG，BH=NM，∠BHG=∠NMG，则BH//NM，
∴∠CBH=∠BFE，
由(1)可知，∠CDM=∠BFE，
∴∠CBH=∠CDM，
∵MN=DM，
∴BH=DM，
由正方形的性质可知，CB=CD，
∴△CBH≌△CDM(SAS)，
∴CH=CM，∠BCH=∠DCM，∠BCD=90°，
则∠BCH+∠BCM=∠DCM+∠BCM=∠BCD=90°，
∴△MCH是等腰直角三角形，
∵HG=MG，
∴CG⊥MH，则△CGM也是等腰直角三角形，则CG=MG，
∴CM= CG2+MG2= 2CG．
【解析】(1)根据正方形的性质及直角三角形两锐角互余即可证明结论；
(2)①根据题意补全图形即可；
②连接MG并延长使得MG=GH，利用SAS可证△BGH≌△NGM，再结合全等三角形的性质和正方形的性质证明△CBH≌△CDM(SAS)，进而可证明△MCH，△CGM是等腰直角三角形，即可得CM= 2CG．
本题考查正方形的性质和全等三角形的判定，等腰直角三角形性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，合理作出辅助线．
25.【答案】H、K
【解析】解：(1)当t=1时，A(2,1)，B(5,1)，
∴AB=3，
∵四边形ABCD为正方形，
∴C(2,4)，D(5,4)，
①设点(x,y)是图形N的“双称图形”，
第一次对称后的坐标为(−x,y)，
第二次对称轴的坐标为(2+x,y)，
∴2≤2+x≤5，1≤y≤4，
∴0≤x≤3，1≤y≤4，
∴H和K是图形N的“双称图形”，
故答案为：H、K；
②由①可知，E2(2+m,2)，F2(m+4,2)，G2(m+3,3)，
当△E2F2G2与正方形ABCD有交点时，
m+4≥12+m≤5，
∴−3≤m≤3；
(2)设点(x,y)是图形N的“双称图形”，
第一次对称后的坐标为(−x,y)，
第二次对称轴的坐标为(2t+x,y)，
∴A2(4t,1)，B2(4t+3,1)，C2(4t,4)，D2(4t+3,1)，
∵正方形ABCD和正方形A2B2C2D2有交点，
∴4t≤2t+34t+3≥2t，
∴−32≤t≤32．
(1)由于两条对称轴都垂直于x轴，所以经过两次对称变化后，点的纵坐标不变；根据正方形的性质，写出A，B，C，D的坐标；
①设点(x,y)是图形N的“双称图形”，根据两次对称变化的坐标变化，求出x，y的取值范围，然后判断H，R，K是否是图形N的“双称图形”；
②根据①得出的x，y的变化规律，求出E，F，G的两次对称后的坐标，然后判断当两次对称后的三角形与正方形有交点时m的取值即可；
(2)根据(1)中两次对称后坐标的变化规律，得出A，B，C，D两次对称后的坐标，然后根据两个正方形有交点求出t的取值范围即可．
本题主要考查了四边形的综合题，根据对称的性质得出坐标变化规律是本题解题的关键．
1.下列二次根式是最简二次根式的是( )
A. 12B. 8C. 3D. 12
2.下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是( )
A. 1， 2， 3B. 3，4，5C. 5，12，13D. 2，2，3
3.下列计算正确的是( )
A. 2 3− 3= 3B. 2+ 3= 5
C. 3 5× 5=4 5D. (−3)2=−3
4.如图，在平行四边形ABCD中，∠B=2∠A，则∠D的度数为( )
A. 140°
B. 120°
C. 110°
D. 100°
5.如图，在数轴上点A表示的实数是( )
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10
6.点O是四边形ABCD对角线的交点，给出下列四个条件：①AB//CD，AD=BC；②AB=CD，AD=BC；③OA=OC，OB=OD；④AB=BC，AD=CD，能判定四边形ABCD是平行四边形的有( )
A. ①②B. ③④C. ②③D. ①④
7.如图，A、B两地被池塘隔开，小康通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一他点C，然后测出AC，BC的中点M、N，并测量出MN的长为18m，由此他就知道了A、B间的距离．下列有关他这次探究活动的结论中，错误的是( )
A. AB=36mB. MN//ABC. MN=12CBD. CM=12AC
8.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D为斜边BC上的中点，点E，F分别在直角边AB，AC上运动(不与端点重合)，且保持BE=AF，连接DE，DF，EF.设BE=a，CF=b，EF=c.在点E，F的运动过程中，给出下面三个结论：
①a+b>c；
②a2+b2=c2；
③c≥ 2(a+b)2，且等号可以取到．
上述结论中，所有正确结论的序号是( )
A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.若式子 x−1有意义，则x的取值范围是______．
10.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOD=120°，BD=6，则AB的长为______．
11.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠A=20°，则∠BCD=______°.
12.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，点Q在直线BC上，且AQ=2，则线段BQ的长为______．
13.图1中的直角三角形有一条直角边长为3，将四个图1中的直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为S1，S2，则S1−S2的值为______．
14.如图，在平面直角坐标系中，长方形MNPQ的顶点M，N分别在x轴、y轴正半轴上滑动．顶点P、Q在第一象限，若MN=4，PN=2.在滑动过程中，点P与坐标原点O的距离的最大值为______．
三、解答题：本题共11小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
(1) 12−6 12+ 3× 6；
(2)(2+ 3)(2− 3)− 18÷ 2．
16.(本小题4分)
已知x= 5+2，求代数式x2−4x−6的值．
17.(本小题5分)
如图，四边形ABCD中，M，N是BD上两点，AM//CN，AN//CM.若BM=DN，求证：四边形ABCD是平行四边形．
18.(本小题5分)
如图所示，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=4，BC=CD=2，AD=2 6.(1)求AC的长；
(2)四边形ABCD的面积．
19.(本小题4分)
下面是小东设计的“作矩形”的尺规作图过程．已知：Rt△ABC，∠ABC=90°，
求作：矩形ABCD，
作法：如图，
①作线段AC的垂直平分线交AC于点O；
②连接BO并延长，在延长线上截取OD=OB；
③连接AD，CD．
所以四边形ABCD即为所求作的矩形．
根据小东设计的尺规作图过程．
(1)使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)
(2)完成下面的证明：
证明：∵OA=OC，OD=OB，
∴四边形ABCD是平行四边形(______).(填推理的依据)
∵∠ABC=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形(______).(填推理的依据)
20.(本小题4分)
如图所示，把一张长方形纸片沿对角线BD折叠，若AB=4，BC=8，求AF的长．
21.(本小题4分)
同学们，在二次根式一章中有一个有趣的现象： 223= 83= 22×23=2 23，根号里的因数2经过适当的演变，竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”.具有这一性质的数还有许多，如 338=3 38、 4415=4 415等等．
(1)猜想： 6635= ______；
(2)请再写出1个具有“穿墙”性质的数______；
(3)请用只含有一个正整数n(n≥2)的等式表示上述规律：______．
22.(本小题6分)
如图，在等腰△ABC中，AB=BC，BO平分∠ABC，过点A作AD//BC交BO的延长线于D，连接CD，过点D作DE⊥BD交BC的延长线于E．
(1)判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
(2)若AB=4，∠ABE=120°，求DE的长．
23.(本小题5分)
如图，在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为 2， 13， 17，求这个三角形的面积.小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为1)，再在网格中画出格点△ABC(即△ABC的三个顶点都在小正方形的顶点处)，如图①所示.这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．
(1)请你将△ABC的面积直接填写在横线上：______；
(2)思维拓展：我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法.若△ABC三边的长分别为2 2a， 10a， 26a(a>0)，请利用图②的正方形网格(每个小正方形的边长为a)画出相应的△ABC，并直接写出它的面积；
(3)探索创新：若△ABC三边的长分别为 m2+16n2， 9m2+4n2，2 m2+n2(m>0,n>0，且m≠n)请用以上方法求△ABC的面积．
24.(本小题7分)
如图，在正方形ABCD中，E、F分别为AD，BC上的点，作DM⊥EF于M．
(1)求证：∠CDM=∠BFE；
(2)在MF上截取MN=DM，连接BN，G为BN中点，连接CG，CM．
①依题意补全图形，
②用等式表示线段CG和CM的数量关系，并证明．
25.(本小题6分)
在平面直角坐标系xOy中，已知点T(t,0)，直线l经过点T且与x轴垂直.对于图形M和图形N，给出如下定义：将图形M关于y轴对称的图形记为M1，图形M1关于直线l对称的图形记为M2，若图形M2与图形N有公共点，则称图形M是图形N的“双称图形”．
例如，如图1，当t=−2时，对于点P(1.5,−2.5)和第三象限角平分线OQ，点P关于y轴的对称点是P1(−1.5,−2.5)，点P1关于直线l的对称点P2(−2.5,−2.5)在射线OQ上，则点P是射线OQ的“双称图形”．
已知点A(2t,1)，B(2t+3,1)，图形N是以线段AB为一边在直线AB上方所作的正方形ABCD．
(1)当t=1时，直线l和正方形ABCD如图2所示．
①在H(0,3)，R(−4,2)，K(3,4)这三个点中，点______是图形N的“双称图形”；
②点E(m,2)，F(m+2,2)，G(m+1,3)，△EFG是图形N的“双称图形”，求m的取值范围；
(2)若图形N是它自身的“双称图形”，直接写出t的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、 12= 22，故A不符合题意；
B、 8=2 2，故B不符合题意；
C、 3是最简二次根式，故C符合题意；
D、 12=2 3，故D不符合题意；
故选：C．
根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答．
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：A、12+( 2)2=3=( 3)2，故是直角三角形，故错误；
B、42+32=25=52，故是直角三角形，故错误；
C、52+122=169=132，故是直角三角形，故错误；
D、22+22=8≠32，故不是直角三角形，故正确．
故选：D．
欲求证是否为直角三角形，利用勾股定理的逆定理即可．这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
3.【答案】A
【解析】【分析】
此题考查了实数的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解本题的关键．
原式各项化简得到结果，即可做出判断．
【解答】
解：A.原式= 3，正确；
B. 3+ 2为最简结果，故错误；
C.原式=15，故错误；
D.原式=3，故错误，
故选：A．
4.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D=∠B，∠A+∠B=180°，
∵∠B=2∠A，
∴∠B=120°，
∴∠D=120°，
故选：B．
根据平行四边形对角相等，邻角互补即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解答此题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：由题意得： 32+12= 10．
故答案为：D．
利用勾股定理求出直角三角形的斜边长，再确定点A表示的实数．
本题考查了实数与数轴，解题的关键是掌握数轴知识和勾股定理．
6.【答案】C
【解析】解：①AB//CD，AD=BC，不能判定四边形ABCD为平行四边形；不符合题意；
②AB=CD，AD=BC，两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形；符合题意；
③OA=OC，OB=OD，对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形；符合题意；
④AB=BC，AD=CD；不能判定四边形ABCD为平行四边形；不符合题意；
故选：C．
根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．
此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形．(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形．(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形．(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查的是三角形的中位线定理在实际生活中的运用，锻炼了学生利用几何知识解答实际问题的能力．
根据三角形的中位线定理即可判断．
【解答】
解：∵CM=MA，CN=NB，
∴MN//AB，MN=12AB，
∵MN=18m，
∴AB=36m，
故A、B、D正确，
故选：C．
8.【答案】D
【解析】解：①∵AB=AC，BE=AF=a，
∴AE=CF=b，
∵点E，F分别在直角边AB，AC上运动(不与端点重合)，
∴AF+AE>EF，
即a+b>c，
故结论①正确；
②∵∠A=90°，
∴在Rt△AFE中，AF=a，AE=b，EF=c，
由勾股定理得：AF2+AE2=EF2，
即a2+b2=c2，
故结论②正确；
③连接AD，设AD=h，如下图所示：
在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D为斜边BC上的中点，
∴AD⊥BC，AD=CD=BD=h，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2+CD2=AC2，
∴2h2=(a+b)2，
∴h2=12(a+b)2，
即h= 2(a+b)2，
∵c2=a2+b2，
∴c2−h2=(a2+b2)−12(a+b)2=12(a−b)2≥0，
当且仅当a=b时，即点E，F分别为AB，AC的中点时，12(a−b)2=0，
此时c=h，即c= 2(a+b)2，
当a≠b时，即点E，F不是AB，AC的中点时，12(a−b)2≥0，
此时c>h，即c> 2(a+b)2，
∴c≥ 2(a+b)2，且等号可以取到，
故结论③正确．
综上所述：正确的结论是①②③．
故选：D．
①由AB=AC，BE=AF=a得AE=CF=b，根据点E，F分别在直角边AB，AC上运动(不与端点重合)，则AF+AE>EF，由此可对结论①进行判断；
②根据∠A=90°，AF=a，AE=b，EF=c，由勾股定理得：AF2+AE2=EF2，由此可对结论②进行判断；
③连接AD，设AD=h，根据等腰直角三角形的性质得AD⊥BC，AD=CD=BD=h，由勾股定理得h2=12(a+b)2，即h= 2(a+b)2，再由c2=a2+b2得c2−h2=12(a−b)2≥0，当且仅当a=b时，12(a−b)2=0，此时c=h，则有c= 2(a+b)2，当a≠b时，12(a−b)2≥0，此时c>h，则有c> 2(a+b)2，由此可对结论③进行判断，综上所述即可得出答案．
此题主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形的性质和勾股定理是解决问题的关键．
9.【答案】x≥1
【解析】解：根据题意，得x−1≥0，
解得，x≥1．
故答案为：x≥1．
根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式x−1≥0，通过解该不等式即可求得x的取值范围．
此题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子 a(a≥0)叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
10.【答案】3
【解析】解：∵ABCD是矩形，
∴OA=OB．
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=60°．
∴△AOB为等边三角形．
∵BD=6，
∴AB=BO=3．
故答案为：3．
根据矩形的对角线的性质可得△AOB为等边三角形，由等边三角形的性质即可求出AB的值．
本题考查矩形的性质以及等边三角形的运用，关键是矩形性质的熟练运用．
11.【答案】70
【解析】解：在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠A=20°，则∠B=70°，
∵∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，
∴BD=CD=AD，
∴∠BCD=∠B=70°，
故答案为70．
根据直角三角形两锐角互余求得∠B=70°，然后根据直角三角形斜边上中线定理得出CD=BD，求出∠BCD=∠B即可．
本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形性质等知识点的理解和运用，能求出BD=CD=AD和∠B的度数是解此题的关键．
12.【答案】 3+1或 3−1
【解析】解：分两种情况：
(1)点Q在线段BC的延长线上，如图：
∵∠ACB=90°，
∴∠ACQ=180°−90°=90°，
∵AC=1，AQ=2，
∴QC= 22−12= 3，
∵BC=1，
∴BQ=QC+BC= 3+1；
(2)点Q在线段CB的延长线上，如图：
∵∠ACB=90°，AC=1，AQ=2，
∴QC= 22−12= 3，
∵BC=1，
∴BQ=QC−BC= 3−1．
综上，线段BQ的长为 3+1或 3−1．
故答案为： 3+1或 3−1．
分两种情况：(1)点Q在线段BC的延长线上；(2)点Q在线段CB的延长线上，分别用勾股定理求得QC的长，情况(1)中BQ=QC+BC，情况(2)中BQ=QC−BC．
本题考查了勾股定理在等腰直角三角形及一般的直角三角形的边长计算中的应用，数形结合并分类讨论是解题的关键．
13.【答案】9
【解析】解：设图1中的直角三角形另一条直角边长为b，
∴S1=32+b2=9+b2，S2=b2，
∴S1−S2=9，
故答案为9．
分别表示出S1，S2，即可求解．
本题考查了正方形的性质，利用参数表示正方形的面积是本题的关键．
14.【答案】2+2 2
【解析】解：如图，取MN的中点E，连接OE，PE，OP，
∵∠MON=90°，点E是MN的中点，
∴Rt△MON中，OE=12MN=NE=EM=2，
又∵∠MNP=90°，PN=2，NE=2，
∴Rt△PNE中，PE= PN2+NE2= 4+4=2 2，
又∵OP≤PE+OE=2+2 2，
∴OP的最大值为2+2 2，
即点P到原点O距离的最大值是2+2 2，
故答案为：2+2 2．
取MN的中点E，连接OE，PE，OP，根据勾股定理和矩形的性质解答即可．
本题考查矩形的性质，关键是根据矩形的性质和勾股定理解答．
15.【答案】解：(1)原式=2 3−3 2+3 2
=2 3；
(2)原式=4−3−3
=−2．
【解析】(1)先化简各二次根式和计算二次根式的乘法，再合并即可；
(2)利用平方差公式和二次根式的除法法则计算即可．
本题考查了二次根式的混合运算，掌握平方差公式和二次根式的性质和运算法则是解决本题的关键．
16.【答案】解：x= 5+2，
∴x2−4x−6
=(x−2)2−10
=( 5+2−2)2−10，
=5−10，
=−5．
【解析】首先对式子x2−4x−6进行配方，然后代入x的值可得到答案．
本题考查了因式分解的应用；解题中代入x值后利用了平方差公式是正确解答本题的关键，方法比较巧妙，要进行学习掌握．
17.【答案】证明：如图，连接AC交BD于点O，
∵AM//CN，AN//CM，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∴OM=ON，OA=OC，
∵BM=DN，
∴OM+BM=ON+DN，
即OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【解析】连接AC交BD于点O，先证四边形AMCN是平行四边形，得OM=ON，OA=OC，再证OB=OD，然后由平行四边形的判定即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
18.【答案】解：(1)∵∠B=90°，AB=4，BC=2，
在Rt△ABC中，AC= AB2+BC2= 42+22=2 5；
(2)∵AC2+CD2=(2 5)2+22=24，AD2=(2 6)2=24，
∴AC2+CD2=AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD
=12BC⋅AB+12CD⋅AC
=12×2×4+12×2×2 5
=4+2 5．
【解析】(1)根据勾股定理直接求出AC的长即可；
(2)先证明△ACD是直角三角形，再根据S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD求出结果即可．
本题主要考查了勾股定理和逆定理，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握勾股定理及其逆定理．
19.【答案】对角线互相平分的四边形是平行四边形 有一个角是直角的平行四边形是矩形
【解析】解：(1)如图即为补全的图形；
(2)证明：∵OA=OC，OD=OB，
∴四边形ABCD是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)，
∵∠ABC=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形)．
故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形．
(1)根据作图过程即可补全图形；
(2)根据平行四边形的判定方法和矩形的判定方法即可完成证明．
本题考查了作图−复杂作图，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
20.【答案】解：∵一张长方形纸片沿对角线BD折叠，
∴AD//BC，∠CBD=∠C′BD，AD=BC=8，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠C′BD=∠ADB，
∴BF=DF，
设AF=x，则BF=DF=8−x，
在Rt△ABF中，由勾股定理得，
42+x2=(8−x)2，
解得x=3，
∴AF=3．
【解析】根据翻折的性质得AD//BC，∠CBD=∠C′BD，AD=BC=8，再说明DF=BF，利用勾股定理解决问题．
本题主要考查了翻折的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握翻折的性质是解题的关键．
21.【答案】6 635 5524=5 524(答案不唯一，符合规律即可) nnn2−1=n nn2−1
【解析】解：(1)6 635，验证如下：
6635= 21635= 62×635=6 635．
故答案为：6 635；
(2)根据已知等式的规律可写出： 5524=5 524，…，
故答案为： 5524=5 524(答案不唯一，符合规律即可)；
(3)解：第一个等式为 223=2 23，即 2222−1=2 222−1；
第二个等式为 338=3 38，即 3332−1=3 332−1；
第三个等式为 4415=4 415，即 4442−1=4 442−1．
∴用含正整数n(n≥2)的式子表示为： nnn2−1=n nn2−1，
故答案为： nnn2−1=n nn2−1．
(1)根据已知等式的规律写出结论，再根据二次根式的乘法法则验证即可；
(2)根据已知等式的规律写出一个符合题意的数即可；
(3)根据已知等式找出规律，总结归纳得到公式即可．
本题主要考查的是探索规律题，找到规律并归纳公式、掌握二次根式的乘法法则是解决此题的关键．
22.【答案】解：(1)四边形ABCD是菱形，
理由：∵AB=BC，BO平分∠ABC，
∴AO=CO，
∵AD//BE，
∴∠DAO=∠ACB，∠ADO=∠CBO，
∴△ADO≌△CBO(AAS)，
∴DO=BO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形；
(2)∵BO平分∠ABC，∠ABE=120°，
∴∠DBC=12∠ABE=60°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD=AB=4，
∴△BCD是等边三角形，
∴BD=BC=4，
∵BD⊥DE，
∴∠BDE=90°，
∴∠E=90°−∠DBC=30°，
∴BE=2BD=8，
∴DE= BE2−BD2= 82−42=4 3，
∴DE的长为4 3．
【解析】(1)先利用等腰三角形的三线合一性质可得AO=CO，再利用平行线的性质可得∠DAO=∠ACB，∠ADO=∠CBO，从而利用AAS证明△ADO≌△CBO，进而可得DO=BO，再利用对角线互相平分线的四边形是平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形，然后利用菱形的定义可得四边形ABCD是菱形，即可解答；
(2)先利用角平分线的定义可得∠DBC=60°，再利用菱形的性质可得BC=CD=AB=4，从而可得△BCD是等边三角形，进而可得BD=BC=4，然后利用垂直定义可得∠BDE=90°，从而可得∠E=30°，进而可得BE=2BD=8，再利用勾股定理进行计算，即可解答．
本题考查了菱形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
23.【答案】4.5
【解析】解：(1)△ABC的面积=3×4−12×1×2−12×1×4−12×3×3=4.5．
故答案为：4.5；
(2)如图2中，△ABC即为所求，△ABC的面积=2a×5a−12×a×3a−12×2a×2a−12×a×5a=4a2；
(3)如图小长方形的长为n，宽为m.△ABC如图所示，△ABC的面积=4n×3m−12×m×4n−12×3m×2n−12×2m×2n=5mn．
(1)把三角形面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可；
(2)利用构图法求△ABC的面积；
(3)如图小长方形的长为n，构造三角形ABC，利用分割法求解．
本题考查作图−应用与设计作图，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用构图法求三角形面积．
24.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD//BC，∠ADC=90°，
∴∠BFE=∠DEM，∠CDM+∠EDM=90°，
又∵DM⊥EF，
∴∠DEM+∠EDM=90°，
∴∠CDM=∠DEM，
∴∠CDM=∠BFE；
(2)解：①根据题意补全图形如图所示：
②CM= 2CG，
证明：连接MG并延长使得MG=GH，
∵点G为BN的中点，
∴BG=NG，
又∵∠BGH=∠NGM，
∴△BGH≌△NGM(SAS)，
∴HG=MG，BH=NM，∠BHG=∠NMG，则BH//NM，
∴∠CBH=∠BFE，
由(1)可知，∠CDM=∠BFE，
∴∠CBH=∠CDM，
∵MN=DM，
∴BH=DM，
由正方形的性质可知，CB=CD，
∴△CBH≌△CDM(SAS)，
∴CH=CM，∠BCH=∠DCM，∠BCD=90°，
则∠BCH+∠BCM=∠DCM+∠BCM=∠BCD=90°，
∴△MCH是等腰直角三角形，
∵HG=MG，
∴CG⊥MH，则△CGM也是等腰直角三角形，则CG=MG，
∴CM= CG2+MG2= 2CG．
【解析】(1)根据正方形的性质及直角三角形两锐角互余即可证明结论；
(2)①根据题意补全图形即可；
②连接MG并延长使得MG=GH，利用SAS可证△BGH≌△NGM，再结合全等三角形的性质和正方形的性质证明△CBH≌△CDM(SAS)，进而可证明△MCH，△CGM是等腰直角三角形，即可得CM= 2CG．
本题考查正方形的性质和全等三角形的判定，等腰直角三角形性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，合理作出辅助线．
25.【答案】H、K
【解析】解：(1)当t=1时，A(2,1)，B(5,1)，
∴AB=3，
∵四边形ABCD为正方形，
∴C(2,4)，D(5,4)，
①设点(x,y)是图形N的“双称图形”，
第一次对称后的坐标为(−x,y)，
第二次对称轴的坐标为(2+x,y)，
∴2≤2+x≤5，1≤y≤4，
∴0≤x≤3，1≤y≤4，
∴H和K是图形N的“双称图形”，
故答案为：H、K；
②由①可知，E2(2+m,2)，F2(m+4,2)，G2(m+3,3)，
当△E2F2G2与正方形ABCD有交点时，
m+4≥12+m≤5，
∴−3≤m≤3；
(2)设点(x,y)是图形N的“双称图形”，
第一次对称后的坐标为(−x,y)，
第二次对称轴的坐标为(2t+x,y)，
∴A2(4t,1)，B2(4t+3,1)，C2(4t,4)，D2(4t+3,1)，
∵正方形ABCD和正方形A2B2C2D2有交点，
∴4t≤2t+34t+3≥2t，
∴−32≤t≤32．
(1)由于两条对称轴都垂直于x轴，所以经过两次对称变化后，点的纵坐标不变；根据正方形的性质，写出A，B，C，D的坐标；
①设点(x,y)是图形N的“双称图形”，根据两次对称变化的坐标变化，求出x，y的取值范围，然后判断H，R，K是否是图形N的“双称图形”；
②根据①得出的x，y的变化规律，求出E，F，G的两次对称后的坐标，然后判断当两次对称后的三角形与正方形有交点时m的取值即可；
(2)根据(1)中两次对称后坐标的变化规律，得出A，B，C，D两次对称后的坐标，然后根据两个正方形有交点求出t的取值范围即可．
本题主要考查了四边形的综合题，根据对称的性质得出坐标变化规律是本题解题的关键．
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