河南省信阳高级中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题（含答案）

这是一份河南省信阳高级中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题（含答案），共8页。试卷主要包含了已知角的终边上有一点，则的值为，已知，，，则，已知的外接圆半径为1，，则，定义向量一种运算“”如下，下列命题正确的是等内容，欢迎下载使用。
一.选择题（共8小题）
1.若复数满足，则在复平面内的共轭复数所对应的点位于（ ）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2.已知角的终边上有一点，则的值为（ ）
A.1B.C.-1D.-4
3.已知，，，则（ ）
A.B.C.D.
4.若一个圆锥的轴截面是一个底边长是2，腰长为的等腰三角形，则它的侧面展开图的圆心角是（ ）
A.B.C.2D.4
5.已知的外接圆半径为1，，则（ ）
A.B.1C.D.
6.如图，点是半径为1的扇形圆弧上一点，且，若，则的最大值是（ ）
A.1B.C.D.4
7.定义向量一种运算“”如下：对任意的，，令，下面错误的是（ ）
A.若与共线，则
B.
C.对任意的，有
D.
8.已知函数，若满足，则实数的取值范围为（ ）
A.B.C.D.
二.多选题（共3小题）
9.如图所示，一个平面图形的直观图为，其中，，则下列说法中正确的是（ ）
A.该平面图形是一个平行四边形但不是正方形
B.该平面图形的面积是8
C.该平面图形绕着直线AC旋转半周形成的几何体的体积是
D.以该平面图形为底，高为3的直棱柱的体对角线长为
10.下列命题正确的是（ ）
A.已知角的终边上一点的坐标为，则角的最小正值为
B.已知是第二象限角，则
C.若扇形周长为20，则其面积最大值为25
D.的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，，，则符合条件的有2个
11.在中，为上一点，，，若的外心恰好在上，则（ ）
A.B.
C.D.在方向上的投影向量为
三.填空题（共3小题）
12.命题“任意，”，为假命题，则实数的取值范围是 .
13.已知向量，满足，，，则等于 .
14.如图，某湖有一半径为1的半圆形岸边，现决定在圆心处设立一个水文监测中心（大小忽略不计），在其正东方向相距2的点处安装一套监测设备.为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点以及湖中的点处，再分别安装一套监测设备，且，.定义：四边形及其内部区域为“直接监测覆盖区域”，设.则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为 .
四.解答题（共5小题）
15.已知，，是同一平面内的三个向量，其中.
（1）若，且，求的坐标；
（2）若，且与垂直，求与的夹角.
16.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求；
（2）若，，D是上一点，为角的平分线，求.
17.已知函数.
（1）当时，求该函数的值域；
（2）若不等式在上有解，求的取值范围，
18.在中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足.
（1）证明：；
（2）如图，点在线段的延长线上，且，，当点运动时，探究是否为定值？
19.给出定义：对于向量，若函数，则称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数.
（1）设向量的伴随函数为，若，且，求的值；
（2）已知，，函数的伴随向量为，请问函数的图象上是否存在一点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
河南省信阳高级中学2023-2024学年高一下期04月月考（一）
数学试题
一、选择题（共8小题）
1.A；2.A；3.B；4.C；5.D；6.C；7.D；8.B；
二、多选题（共3小题）
9.BC；10.BC；11.ACD：
三、填空题（共3小题）
12.；13.；14..
15.解：（1）由，得，
又，∴，
∵，∴，
∴或.
（2）∵与垂直，∴，
即，
将，代入，得，
∴，
又，得，即与的夹角为.
16.解：（1）由题意结合正弦定理，可得，
所以，
即，
整理可得.
因为B，，
所以，
所以，
所以；
（2）由题可得在中，，，，，
所以，
解得，则，
又因为为角B的平分线，，
所以，
即，
所以.
17.【解答】解：（1）因为.
由对数函数单调性可知，当时，，
令，，即可得，，
可知的开口向上，对称轴为，
由二次函数性质可知当时，，当时，，
所以可得当时，函数的值域为.
（2）当时，可得，令，，
可得，即在上有解，
整理可得在上有解，
因为函数在上单调递增，当时，，
所以m的取值范围是.
18.【解答】解：（1）证明：，
由正弦定理可得，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）由（1）知，
∴，
在中，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
综上所述：为定值2.
19.【解答】解：（1）由题意，，
由，得，
因为，所以，
所以，
所以，
即.
（2）由题意，，设，
因为，，
所以，，，
所以，
由，得，
即，
因为，所以，
所以，又，
所以当且仅当时，和同时等于，
此时成立，
所以在函数的图象上存在一点，使得.