河南省信阳市信阳高级中学2024−2025学年高一下学期4月月考 数学试题（含解析）

这是一份河南省信阳市信阳高级中学2024−2025学年高一下学期4月月考 数学试题（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若复数满足，则的虚部为（ ）
A．B．C．1D．
2．已知在三角形中，，且，则角所对边的长度为（ ）
A．B．C．D．
3．的直观图如图所示，其中轴，轴，且，则的面积为（ ）

A．B．4C．D．8
4．给出下列六个命题：
①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；
②若，则；
③在四边形中，若，则四边形是平行四边形；
④平行四边形中，一定有；
⑤若，，则；
⑥若，，则
其中不正确的命题的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
5．设向量，是非零向量，且，向量在向量上的投影向量为，若，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．2
6．在中角A、B、C所对边a、b、c满足，，，则（ ）.
A．4B．5C．6D．6或
7．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，如图是一个正八边形的窗花，从窗花图中抽象出的几何图形是一个正八边形，正八边形的边长为是正八边形内的动点（含边界），则的取值范围为（ ）

A．B．C．D．
8．已知函数，若，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．在中，内角的对边分别为，且满足，则（ ）
A．一定为直角三角形
B．可能为等腰三角形
C．角A可能为直角
D．角A可能为钝角
10．已知点是的重心，点，，C(−2,5)，点是上靠近点B的三等分点，则（ ）
A． B． C． D．
11．如图，为测量海岛的高度以及其最高处瞭望塔的塔高，测量船沿航线航行，且与在同一铅直平面内，测量船在处测得，，然后沿航线向海岛的方向航行千米到达处，测得，（，测量船的高度忽略不计），则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
12．已知向量，，则 ．
13．如图，在中，是线段上的一点，若，则实数 ．
14．在中，角､､所对的边分别为､､，，的平分线交于点，且，则的最小值为 .
四、解答题
15．在中，内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知向量，且满足.
（1）求A的大小；
（2）若，，求的周长.
16．已知平面向量，.
(1)若，且，求的坐标；
(2)若与的夹角为锐角.求实数的取值范围.
17．已知复数（）.
（1）若复数z在复平面上对应点落在第四象限，求实数m的范围；
（2）为的共轭复数，且.
（i）若是关于x的方程（a，）的一个根，求该一元二次方程的另一复数根；
（ii）若，求的范围.
18．如图一个圆锥的底面半径为1，高为3，在圆锥中有一个底面半径为x的内接圆柱.
（1）求此圆锥的表面积与体积；
（2）试用x表示圆柱的高h；
（3）当x为何值时，圆柱的全面积最大，最大全面积为多少？
19．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知.
（1）求A；
（2）若，周长为6，求的面积；
（3）若为锐角三角形，求的范围.
参考答案
1．【答案】C
【详解】由，解得，
所以．
所以的虚部为1．
故选C．
2．【答案】C
【详解】由余弦定理可得：，
所以.
故选C
3．【答案】B
【详解】将直观图还原为原图，如图所示，则是直角三角形，其中，，

故的面积为，
故选B．
4．【答案】B
【详解】解：①两个向量相等是指大小相等，方向相同，则它们的起点和终点不一定相同，故错误；
②若，方向不同，则 不一定成立；
③在四边形中，若，则且，所以四边形是平行四边形，正确；
④平行四边形中，一定有，正确；
⑤若，，则，正确；
⑥， ，则，取时，与不一定共线，错误．
其中不正确的命题的个数为3.
故选B.
5．【答案】A
【详解】由向量在向量上的投影向量为，得，则，
由，
所以.
故选A
6．【答案】C
【详解】由得，即，
又，，故，（舍），
故选C
7．【答案】A
【详解】
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，则
过作的垂线，垂足为，
正八边形中，边长为4，所以，
所以，所以，所以，
设，则，所以，
因为是正八边形内的动点（含边界），
所以的范围为，
所以，
故选A.
8．【答案】C
【详解】函数的图象如下所示：
因为，且，令，
则，由图可知，，，且、关于对称，
所以，
又，则，
所以，
因为，所以，即的取值范围是.
故选C
9．【答案】BC
【详解】由余弦定理可得，化简可得．
当时，，此时为直角三角形；
当时，可得，即，此时为等腰三角形，即B、C选项正确.
故选BC．
10．【答案】AB
【详解】
对于A项，如图，点是的重心，点，，，设点，则，故A选项正确；
对于B项，因点是上靠近点的三等分点，则设则
即,解得，故B项正确；
对于C项，因为，则，
故,即，故C项错误；
对于D项，因则，故D项错误.
故选:AB.
11．【答案】BD
【分析】在中，由正弦定理得求出可判断AB；求出，由正弦定理求出可判断C；在中，由正弦定理求出可判断D．
【详解】在中，，，
，由正弦定理得，
即，所以，，故B正确；
且，故A错误；
故，
在中，，，
由正弦定理得，
所以，故C错误；
在中，，，
，代入，
所以，故D正确．
故选BD．
12．【答案】
【详解】向量，，则，
所以.
13．【答案】/0.4
【详解】在中，由及，得，
由三点共线，得，所以.
14．【答案】18
【详解】在中，由的平分线交于点，得，
而且，则，
化简得，即，因此
，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为18.
15．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）因为向量，且满足，
所以，所以，
又，所以；
（2）在中，由余弦定理及，得，
，所以，所以，所以，
所以的周长为.
16．【答案】(1)或；
(2)
【详解】(1)设，，
因为，所以6x＝－y，因为，所以，
解得或所以或；
(2)，，
因为与的夹角为锐角，所以
解得且，即.
【易错警示】两个向量的夹角为锐角，除了要满足两个向量之积大于0，还要考虑两个向量不能共线.
17．【答案】（1）；
（2）（i）；（ii）
【详解】（1）复数在复平面上对应点落在第四象限，
则，解得，
所以实数m的范围是.
（2）（i）由，得，
由，得，解得，
则，，依题意，是关于x的实系数方程的一个根，
则，即，
于是，解得，，原方程为，
即，解得，
所以该方程的另一复数根为.
（ii）由（i）知，为，表示复平面内复数对应点与点的距离为1，
因此在复平面内复数对应点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
而表示点到原点的距离，又，
则，即，
所以的范围是.
18．【答案】（1）表面积，体积
（2），
（3）当时，.
【详解】（1）由，，得，
所以，，
故 ，
；
（2）由相似可得，得，；
（3）记圆柱得全面积为S，
，
∵，∴当时，.
19．【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【详解】（1）在中，由及正弦定理，得，
整理得，即，
而，即，于是,
所以.
（2）由余弦定理，得，
由周长为6，得，解得，
所以的面积.
（3）在锐角中，由，得，，则，
，则，，
由正弦定理得
，
所以的范围是.