河南省信阳高级中学2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试题（含解析）

这是一份河南省信阳高级中学2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试题
一、单选题（此题共8小题，每小题5分，共40分）
1. 设，是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（ ）
A. 与B. 与，
C. 与D. 与
【答案】C
【解析】
【分析】判断向量是否共线，即可判断向量是否作为基底．
【详解】、是平面内所有向量的一组基底，
与，不共线，可以作为基底，
与，不共线，可以作为基底，
，故与共线，不可以作为基底，
与，不共线，可以作为基底，
故选：C．
2. “”是“函数在上单调递增”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】先由函数在上单调递增求出此时的范围，进一步结合必要不充分条件的定义即可求解.
【详解】解：由题意易知或，
且开口向上，且对称轴为，
结合复合函数的单调性知在上单调递增，
所以当时不能得出在上单调递增，即不满足充分性；
而函数在上单调递增可知，
显然成立，满足必要性.
故选：B.
3. 已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据图象结合五点法可得，即可得函数解析式.
【详解】设的最小正周期为，
由图可知，，即，且，所以，
此时，将代入得，
即，且，则，
可得，解得，所以.
故选：D.
4. 在中，是BC上一点，是线段AD上一点，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据已知向量关系得出,再应用待定系数法求参即可.
【详解】.
，
由是线段AD上一点，设，其中，
所以解得
故选：D.
5. 已知的图象为，为了得到的图象，只要把上所有的点（ ）
A. 向右平行移动个单位长度B. 向左平行移动个单位长度
C. 向右平行移动个单位长度D. 向左平行移动个单位长度
【答案】C
【解析】
【分析】结合诱导公式，直接求解三角函数图像平移即可.
【详解】因为，
即图像上所有的点向右平移个单位，
又，
即上述图像再次向右平移个单位，
综上，为了得到的图象，
只要把上所有的点向右平行移动个单位长度.
故选：C
6. （ ）
A. 2B. 4C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将转化为并展开即可求解.
【详解】因为，
所以，
所以.
故选：B.
7. 在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且，则的形状为（ ）
A. 等腰三角形B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形
【答案】D
【解析】
【分析】利用正弦定理变化角及三角形的内角和定理，再利用诱导公式及两角和的正弦公式，结合三角形内角的范围和三角方程即可求解.
【详解】由及正弦定理，得
,
所以,
所以,
即，
即，解得或,
当时，又，,所以或（舍），所以为等腰三角形;
当时，又，所以，所以为直角三角形;
综上所述，为等腰或直角三角形.
故选：D.
8. 在中，角所对应的边分别为，设的面积为，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由面积公式和余弦定理，基本不等式对进行变形，得到关于的关系式，结合三角函数的有界性，列出关于t的不等式，求出最大值.
【详解】，，
则设
所以，即
，
故选：A.
【点睛】三角函数最值问题，要充分使用题干中的条件及一些工具，比如正余弦定理，面积公式，基本不等式等对不等式进行变形，这道题目的难点在于使用了三角函数的有界性，辅助角公式来求解最值.
9. 已知向量满足，则下列结论正确的有（ ）
A.
B. 若，则
C. 在方向上的投影向量为
D. 若，则与的夹角为
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用向量的数量积定义式和数量积运算律计算可依次判断A,B,D,利用投影向量概念和公式可判断C.
【详解】对于A：因为，所以，故A正确；
对于B：因为，所以，因为，故B正确；
对于C：在方向上的投影向量为，故C错误；
对于D：因为，所以，
因为，所以与的夹角为，故D正确.
故选：ABD.
二、多选题（此题共3小题，每小题6分，共18分）
10. 已知函数，则（ ）
A. 在上单调递增B. 在上单调递减
C. 是的一个周期D. 的最小值为
【答案】BC
【解析】
【分析】根据时，，知A错误；当时，，由正弦型函数单调性判断方法可知B正确；由知C正确；分类讨论可求得在每段区间上的值域，由此可知D错误.
【详解】对于A，当时，，此时不单调递增，A错误；
对于B，当时，，
若，则，此时单调递增，
在上单调递减，B正确；
对于C，，
是的一个周期，C正确；
对于D，当时，，此时；
当时，；
当时，，此时；
当时，；
综上所述：的最小值为，D错误.
故选：BC.
11. 已知定义域为R的奇函数，满足，下列叙述正确的是（ ）
A. 存在实数k，使关于x的方程有7个不相等的实数根
B. 当时，恒有
C. 若当时，的最小值为1，则
D. 若关于的方程和的所有实数根之和为零，则
【答案】AC
【解析】
【分析】根据奇函数，利用已知定义域的解析式，可得到对称区间上的函数解析式，然后结合函数的图象分析各选项的正误，即可确定答案
【详解】函数是奇函数，故在R上的解析式为：
绘制该函数的图象如所示：
对A：如下图所示直线与该函数有7个交点，故A正确；
对B：当时，函数不是减函数，故B错误；
对C：如下图直线，与函数图交于，
故当的最小值为1时有，故C正确
对D：时，函数的零点有、、；
若使得其与的所有零点之和为0，
则或，如图直线、，故D错误
故选：AC
【点睛】本题考查了分段函数的图象，根据奇函数确定对称区间上函数的解析式，进而根据函数的图象分析命题是否成立
三、填空题（此题共3小题，每小题6分，共18分）
12. 已知扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的面积为______．
【答案】
【解析】
分析】利用扇形弧长和面积公式直接求解即可.
【详解】设扇形的半径为，则弧长，解得：，扇形面积.
故答案为：.
13. 若“关于的方程在内都有解”是真命题，则的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】分析可知，在内都有解，求出当时，的取值范围，即可得出实数的取值范围.
【详解】因为“关于的方程在内都有解”是真命题，
所以在内都有解．
由，得，所以，所以，
则的取值范围是．
故答案：．
14. 若函数在上有四个零点，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】利用二倍角和辅助角公式化简得到，将问题转化为在上有且仅有四个不同实数解，根据的范围，结合方程解的个数可构造不等式组求得结果.
【详解】；
若在上有四个零点，则在上有且仅有四个不同实数解，
当时，，
，解得：，即实数的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题（此题共5小题，共77分）
15. 设是不共线的两个非零向量．
（1）若，求证：三点共线；
（2）若与共线，求实数k的值，并指出与反向共线时k的取值
【答案】（1）证明见解析
（2），
【解析】
【分析】（1）要证明三点共线，即证明三点组成的两个向量共线即可.
（2）由共线性质求出参数即可.
【小问1详解】
由，
得，
，
所以，且有公共点B，
所以三点共线.
【小问2详解】
由与共线，
则存在实数，使得，
即，
又是不共线的两个非零向量，因此，
解得，或，
实数k的值是.
当时，与反向共线
16. 已知的内角的对边分别为，点在边上，且满足．
（1）若，证明：；
（2）若，求．
【答案】（1）证明见解析
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理，在中，由得，在中，由得，结合可得结论；
（2）方法一：由条件结合正弦定理得，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，结合可得关系式，由余弦定理可得答案．
方法二：因为，所以，平方可得．由余弦定理得，整理得．因为，由正弦定理得，从而可得关系式，由余弦定理可得答案．
【小问1详解】
在中，由正弦定理得，
因为，所以．
在中，由正弦定理得，
由题意得，所以．
因为，所以由正弦定理，得，
所以
【小问2详解】
方法一：因为，所以由正弦定理得．
在中，由余弦定理，得，
在中，由余弦定理，得．
因为，所以．
所以，整理得，
所以，解得或．
当时，，所以；
当时，，所以．
所以或．
方法二：因为，
所以．
因为，所以，
即①．
由余弦定理，得②，
由①②整理得．
因为，所以由正弦定理，得．
所以，解得或．
当时，，所以；
当时，，所以．
综上所述，或．
17. 某城市平面示意图为四边形（如图所示），其中内的区域为居民区，内的区域为工业区，为了生产和生活的方便，现需要在线段和线段上分别选一处位置，分别记为点和点，修建一条贯穿两块区域的直线道路，线段与线段交于点，段和段修建道路每公里的费用分别为10万元和20万元，已知线段长2公里，线段和线段长均为6公里，，设.
（1）求修建道路的总费用（单位：万元）与的关系式（不用求的范围）；
（2）求修建道路的总费用的最小值.
【答案】（1）
（2）80万元
【解析】
【分析】（1）根据题意结合正弦定理可得，，进而可得解析式；
（2）利用三角恒等变换整理可得，换元令，结合函数单调性求最值.
【小问1详解】
在中，因为，可得，
在中，可知，
由正弦定理，可得，
所以.
【小问2详解】
由（1）可知：
，
因为，则，
令，则，
且在上单调递增，可知在上单调递增，
所以在上单调递减，
当，即时，修建道路的总费用取到最小值万元.
18. 已知函数是奇函数．
（1）求实数的值；
（2）判断的单调性（不要求证明）；
（3）对任意，不等式恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）函数是增函数
（3）
【解析】
分析】（1）利用可求出，再验证即可；
（2）根据复合函数单调性的判断方法可得答案；
（3）整理得，令，转化为利用单调性求可得答案．
【小问1详解】
函数是奇函数，
，即，
，所以，且，
，即是奇函数；
【小问2详解】
函数是增函数，理由如下，
时，因为、单调递增函数，
根据复合函数单调性的判断方法可得函数是增函数，
又因为是奇函数，所以函数在上是增函数；
【小问3详解】
函数是增函数也是奇函数，则，
，即时恒成立，
所以，即，整理得，
令，根据指数函数单调性得，与都是减函数，所以也是减函数，
原问题等价于在上恒成立，
所以，只需．
即实数的取值范围是．
19. 设函数的定义域为，若存在，使得成立，则称为的一个“准不动点”.已知函数
（1）若，求的“准不动点”：
（2）若为的一个“准不动点”，且，求实数的取值范围：
（3）设函数若使得成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）0或1；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）依题意可得，利用换元法计算可得；
（2）依题意可得在上有解，参变分离可得在上有解，结合对勾函数的单调性求出的取值范围，即可得解；
（3）依题意可得，根据的单调性，求出的最值，即可得到，换元得到，参变分离，结合函数的单调性，计算可得.
【小问1详解】
当时，由可得，，
令，则，解得或，
即或，解得或，
的“准不动点”为0或1；
【小问2详解】
由得，，
即在上有解，
令，由可得，则在上有解，
故，当时，在上单调递增，，则，解得，
的取值范围；
【小问3详解】
由得，，
即，则，
又由指数函数性质可知在上单调递增，，则，
即，
令，则，从而，则，
又在上均为增函数，则，，
，即，所以实数的取值范围为.
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，，，.
（1）若，，有成立，则；
（2）若，，有成立，则；
（3）若，，有成立，则；
（4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集.