广东省大湾区联考2024年中考二模数学试题（解析版）

这是一份广东省大湾区联考2024年中考二模数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 甲地的平均海拔为，乙地的平均海拔比甲地高，乙地的平均海拔为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵甲地的平均海拔为，乙地平均海拔比甲地高，
∴乙地的平均海拔为．
故选：B．
2. 第七次全国人口普查公布的我国总人口数约为，该数用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】，
故选：D．
3. 已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则（ ）
A. B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】由数轴可得：，∴，
∴，
故选B．
4. 如图，a，b是两条平行线，三角板的直角顶点在直线b上，已知，则的度数是（ ）
A. B.
C. D. 与三角板形状有关
【答案】A
【解析】如图，
∵，，
∴，
∴，
故选A
5. 若，则（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】B
【解析】∵，
∴和是同类项，
∴，，
∴，，
∴．
故选：B．
6. 掷一枚均匀的骰子，骰子的6个面上分别刻有1、2、3、4、5、6点，则点数为奇数的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意可得，点数为奇数的概率是：，
故选C．
7. 若一元一次不等式组的解集为，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】一元一次不等式组的解集为，
所以，，
解得，，
故选：D
8. 如图，四边形平行四边形，四边形为菱形，与交于点G，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵四边形为菱形，
∴，
又∵为平行四边形，
∴，
∴，
故选A．
9. 如图，菱形的一条对角线，，P是对角线上的一个动点，E，F分别为边，的中点，则的最小值是（ ）
A. 2B. C. 4D.
【答案】C
【解析】如图，连接，交于，
∵菱形，
∴，，，，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，，
作点关于直线的对称点，连接，
∴，
∵点为边上的中点，则点也为边的中点，
∴当点、、在一条直线上时，有最小值，
连接交于，
∴当重合时，为最小值，
∵为的中点，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴的最小值是，
故选：C．
10. 若锐角三角形内的点满足，则称点为的费马点．如图，在中，，，则的费马点到，，三点的距离之和为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】过作于点，过分别作，
∵是等腰三角形，
∴，
∴，
∴点是的费马点，
∵，，
∴，
∴，，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
即的费马点到，，三点的距离之和为，
故选：．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 已知，，则______．
【答案】1
【解析】；
当，时，原式．
故答案为：1．
12. 若a，b是一元二次方程的两个根，则______．
【答案】4
【解析】∵a，b是一元二次方程的两个根，
∴，，
∴，
∴；
故答案为：
13. 如图，在矩形中，，，为边上一点，将沿翻折，若点刚好落在边上的点处，则_____．
【答案】
【解析】∵四边形是矩形，
∴，，，
由翻折性质可知，，，，
在中，由勾股定理得，
∵，，
∴，∴，∴，∴，
故答案为：．
14. 如图，已知抛物线过，两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，当时，______．
【答案】
【解析】过点D作轴交y轴于点M，过点D作轴交x轴于点N，如图
∵抛物线过，两点，
∴，解得，
∴，
∴，，
又∵，，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
∵抛物线图象开口向下，
∴，
故答案为：．
15. 如图，美术素描课堂上有很多关于黄金分割比的元素，比如脸部素描就需要考虑黄金分割比的问题，按照如下要求作出的人脸图像比较美观：（1）眉头、眼头、鼻翼在一条竖直直线上；（2）眉头和眉峰的水平距离（图中直线①和直线②的距离）和眼长大致相等（设此长度为a），眉头和眉尾的水平距离（图中直线①和直线③的距离）设为b，a与b的比例为黄金分割比；（3）眉尾、眼梢、鼻翼在同一直线上．某同学按照以上要求进行素描，已知他的素描作品中眼梢到眉尾的距离为，则眼梢到鼻翼的距离为______．（，结果保留两位小数）
【答案】3.24
【解析】如图，
由题意可得：，，，
∴，而，，
∴，
∴，
经检验符合题意；
∴眼梢到鼻翼的距离约为，
故答案为
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分
16. （1）计算：；
（2）已知，，求的值．
解：（1）．
（2），且，
．
．
17. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）直接写出时x的取值范围．
解：（1）依题意，点在反比例函数的图象上，
．
反比例函数的解析式为．
又为一次函数的图象与反比例函数的图象的交点，
．
，两点均在一次函数的图象上，
解得
一次函数的解析式为．
综上所述，反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为．
（2）由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象下方时，自变量的取值范围为或，
∴当，即当时x的取值范围为或．
18. （1）求边长为的等边三角形的面积；
（2）小明将一根长为的绳子剪成2段，分别围成两个等边三角形．问：如何剪才能够使得这两个等边三角形的面积和最小？最小面积和为多少？
解：（1）如图，在等边三角形中，过点A作于点H，则．
由勾股定理可得．
等边三角形的面积为．
（2）设第一段绳子的长为，则第二段绳子的长为，其中．
由（1）可知，第一个等边三角形的面积为，
第二个等边三角形的面积为，
两个三角形的面积和为
．
当时，取等号．
当，即将绳子从中间剪开时，两个等边三角形的面积和最小，最小面积和为．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分，
19. 如图，在中，．
（1）实践与操作：用尺规作图法作的平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）应用与计算：设（1）中的平分线交于点，若的面积为，，求点到的距离．
解：（1）的角平分线下图所示．
（2）如图，过点作于点，
为角平分线上的点，，，
，
，
，，即，
．
20. 某校为了解九年级学生对急救知识的掌握情况，从全年级1000名学生中随机抽取部分学生进行测试，所得成绩分为以下四种等级：A（优秀）、B（良好）、C（合格）、D（不合格），将数据进行整理后，绘制了两幅不完整的统计图如图所示．
已知扇形统计图中B等级所对应的扇形圆心角的度数为，根据以上信息，解答下列问题：
（1）请补全条形统计图；
（2）如果全年级学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该年级获得A等级的学生人数；
（3）为分析学生对急救知识掌握情况欠缺的原因，该校决定从D等级的学生中随机抽取两名进行调查，若D等级中有2名男生，其余均为女生，求抽取的两名学生恰好是一男一女的概率．
解：（1）随机抽取的人数为（人），
D等级人数（人），补全条形统计图如图所示．
（2）该年级获得A等级的学生人数为（人）．
（3）D等级的人数为4，
D等级中女生有2人．
设这4人分别为a，b，c，d，其中a，b为男生，c，d为女生，随机抽取两名学生，共有以下6种等可能情况：，，，，，．
其中抽到一男一女的情况共有4种，即，，，．
（抽取的两名学生恰好是一男一女）．
21. 如图，P是外一点，，是的两条切线，切点分别为A，B，C为劣弧上一点，过点C作的切线，分别交，于点D，E．
（1）若的周长为12，求的长；
（2）若，求的度数．
解：（1）由切线长定理可知，，，．
则的周长．
．
（2）如图，连接，，，
则，．
．
在四边形中，，，
即，．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分．
22. 如1图，在锐角三角形中，，，的对边分别为a，b，c．
（1）用b，c，表示的面积S；
（2）求证：；
（3）如2图，若，，且于点D，，求．
（1）解：如图1，过点C作于点E，
在中，，
．
（2）证明：由（1）知，的面积，
同理，，
．
同时除以，得．即．
（3）解：，设，则，即，．
如图，在中，，
．
由勾股定理可得，即，解得．
在中，，，由勾股定理可得，
即，解得．
，．
由（2）得：，
．
23. 如图，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点C．以点B为圆心，为半径作圆，P是上的一个动点，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到．当与在x轴上方的部分相切时，四边形为矩形．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求面积的最大值．
解：（1）如图，
当与在x轴上方的部分相切时，四边形为矩形，且，
矩形为正方形．
．
．
，
，
将，分别代入，
得解得
抛物线的解析式为．
（2）如图，将线段绕点A顺时针旋转得到，连接，．
在和中，，．
，
．
．
．
点Q在以点D为圆心，半径为的圆上运动．
连接，过点D作交的延长线于点H．
∵，
∴当时，，
∴，
，
∴，
，．
．
在等腰直角三角形中，．
点Q到直线的距离最大值为．
面积的最大值为．